“分數除法解決問題”教學研究報告

文︳長沙市岳麓區濱江小學數學組 瀟湘數學教育工作室

“分數除法解決問題”教學研究報告

文︳長沙市岳麓區濱江小學數學組 瀟湘數學教育工作室

一、問題

“分數除法解決問題”是人教版數學教材六年級上冊中的教學內容。它是在學生掌握了分數乘法計算、解決問題和分數除法計算的基礎上進行教學的，是小學階段解決問題中的一大難題。

從教材編排上看，這一類問題是“求比一個數多（少）幾分之幾是多少”的稍復雜分數乘法解決問題的延伸。教師在教學這一類問題時，會訓練學生按如下步驟進行解題：一找關鍵句，通常是找含有分率的句子；二定單位 1，“的”前“比”（是）后的量為單位1；三列算式，單位1已知用乘法，單位1未知用除法，多則加、少則減，然后進行訓練。

按照這種方法，學生似乎只需機械地記憶并套用公式，但在練習時卻頻繁出錯。這種情況一直困擾著眾多教師。學生為什么練習中會頻繁出錯？我們該如何幫助學生解決這個問題，切實提高學生解決此類問題的能力？為此，我們數學組進行了思考和實踐。

1.教學實踐中的問題

為了切實掌握學生的學習起點，以及練習中出現的問題，我們隨機抽取了90名六年級學生進行了教學前測。前測要求是只寫出數量關系式，測試題目和結果統計如下：

（2）磁懸浮列車的運行速度可達到430千米/時，普通列車比它慢，普通列車的速度是多少？

（3）有一組互相咬合的齒輪，小齒輪每分鐘轉400周，大齒輪每分鐘轉的周數比小齒輪少，大齒輪每分鐘轉多少周？

（4）有一組互相咬合的齒輪，大齒輪每分鐘轉80周，比小齒輪每分鐘轉的周數少，小齒輪每分鐘轉多少周？

題號 正確率 錯誤率找錯單位1 審題不清或書寫錯誤（1） 84.4% 6.7% 8.9%（2） 82.2% 10% 7.8%（3） 80% 8.9% 11.1%（4） 60% 26.7% 13.3%

從前測結果統計來看，學生未學習這一內容，在寫“求比一個數多（少）幾分之幾是多少”的關系式時，正確率在80%左右，而在寫“已知比一個數多（少）幾分之幾的數是多少，求這個數”的關系式時，正確率下降到60%。通過對學生的前測結果進行分析，結合對教師的調查，我們發現在教與學中主要存在以下問題。

（1）前面的學習中沒有與“比一個數多（少）幾分之幾”這類數量關系相匹配的題型，也就是說這一內容與學生之前的學習出現了斷層。學生沒有可供借鑒的學習經驗，出錯也就在所難免。

（2）教學分數乘法時直接列式計算，不要求寫關系式。很多老師在教學第一單元分數乘法應用題時，訓練學生審題后直接列式計算。由于這個知識點比較簡單，學生整體掌握得較好。但是，一旦接觸分數除法應用題后，尤其是遇到分數乘除法應用題的對比練習時，學生難以根據數量關系式找出它們的聯系與區別，容易將兩類題混淆，導致出錯。

（3）審題不清，錯誤地轉換單位1。比如：王軍體重50千克，王軍的體重比李明輕，李明有多重？不少學生會將“王軍的體重比李 輕”理解為“李明的體重比王軍重”。究其原因，主要有兩點。一是“王軍的體重比李明輕”這句話的意思高度濃縮，學生難以理解。其實，這句話的完整表達是“王軍的體重比李明輕了李明體重的”，單位1是李明，關系式為：李明的體重-李明的體重×=王軍的體重。二是整數解決問題方法負遷移的影響。因為在解決整數的應用題時，王軍的體重比李明輕20千克，等同于李明的體重比王軍重20千克，即王軍的體重=李明的體重-20，或者李明的體重=王軍的體重+20，用加減法即可解決。受整數解決問題方法的影響，碰到“王軍的體重比李明輕”時，學生便會錯誤地將它等同于“李明的體重比王軍重”。正是這一轉化過程中單位1被錯誤地轉換導致出錯。

2.教學對策

（1）注重對學生審題、寫數量關系式的訓練。審題是學生明確題目要求、理清各要素之間關系的重要步驟。在教學分數乘法應用題時，應訓練學生審題、練習寫數量關系式，包括求一個數的幾分之幾是多少以及求比一個數多（少）幾分之幾是多少這兩類數量關系式。我們認為，注重對數量關系的分析，找準數量關系式，是解決分數問題的關鍵。比如，

（2）將分數乘法和分數除法解決問題作為對比練習。教學時，可以把分數除法解決問題與分數乘法解決問題結合起來，理清它們之間的聯系與區別，讓學生在比較的過程中發現，數量關系式只與關鍵句有關。不管單位1是已知還是未知，我們都可以用乘法數量關系式解決這些問題。求一個數的幾分之幾是多少以及求比一個數多（少）幾分之幾是多少這兩種題背后的解題策略是一致的。

按照以上思路，我們進行了如下的教學嘗試。

二、實踐

1.復習引入，解決求比一個數少幾分之幾是多少的實際問題。

師：已知爸爸的體重是75千克，你知道小明的體重是多少千克嗎？為什么？

生1：不知道，因為少了一條信息，不知道爸爸的體重和小明的體重之間的關系。

生1：爸爸重些，小明輕些。

生2：小明比爸爸輕。

師：如果這樣表示爸爸的體重，小明的體重可以怎樣在圖上表示呢？（學生上臺畫圖，如下圖所示）

師：那怎樣把小明的體重和爸爸的體重之間的關系表示出來呢？

生3：爸爸的體重×（1-）=小明的體重。

師：還有不同的想法嗎？

生4：爸爸的體重-爸爸的體重×小明的體重。

師：這就是爸爸的體重和小明的體重之間的關系，我們把這種關系式叫做數量關系式。你能根據數量關系式求出小明的體重嗎？（生練習）

師：誰來說一說你是怎么做的？

生5：把爸爸的體重換成75，得：75-75×=35（千克）。

師：用這種方法做的同學請舉手。有沒有同學是根據另一種關系式做的？

生6：把爸爸的體重換成75，得 75×（1-1=35（千克）。

師：看來數量關系式很重要，它是解決這類問題的突破口。

設計意圖：課伊始，老師故意隱藏關鍵句，讓學生體會到這個信息的重要性。接著根據關鍵句寫數量關系式，再讓學生匯報如何根據關系式列算式。最后小結數量關系式的重要性，為下一環節的教學埋下伏筆。

2.新授。

師：跟剛才的圖相比，你有什么發現？

生7：比爸爸輕沒有變?，F在知道小明的體重是35千克，要求爸爸的體重是多少千克。

師：你能把這道題的數量關系式也寫出來嗎？（生寫，師巡視）有的同學是這樣寫的：小明的體重×（1-）=爸爸的體重。你是怎么想的？

生8：把小明的體重看作單位1，得：小明的體重×（1-=爸爸的體重。

師：你們同意他的想法嗎？（不同意）誰來擺一擺？你可以用適當的數字、適當的符號把這個關系式擺出來。

生9：爸爸的體重×（1-=小明的體重。

生10：小明的體重÷（1-）=爸爸的體重。

師：你們同意嗎？（同意）但是仔細觀察，這兩種擺法本質上是相同的。還有不同的擺法嗎？

生11：爸爸的體重×=小明的體重。

師：大家看看，他這個數量關系式對不對？（不對）他求的是什么？

生12：他求的是比爸爸輕的那部分體重。

師：誰能幫他改一改？

生13：爸爸的體重-爸爸的體重×=小明的體重。

師：數量關系式整理好了，你們發現了什么？

生：跟前面題的數量關系式是一樣的！

師：也就說明它們的數量關系沒有改變?，F在請你們根據這個數量關系式列出算式并計算。（生練習后匯報）

師：你是怎么列出算式的？為什么？

生14：因為爸爸的體重不知道，我把爸爸的體重設為x千克。我的算式是x-x=35。

師：如何在圖上體現？（生在黑板上對線段圖進行調整，如圖所示）

師：如何體現到數量關系式當中呢？

生15：x-x×=小明的體重。

師：也就是說我們要把相應的量替換出來。剛才爸爸的體重是75千克，我們就換成75?，F在爸爸的體重不知道，我們就用x代替。這樣就根據數量關系式列出了方程，只要解出方程就順利解答出問題了?？磥碛脭盗筷P系式可以有效地解決這類問題。細心的同學有沒有發現，之前的練習和現在的例題有什么異同？

生16：它們的條件不同，關鍵句相同，數量關系式也相同。

師：也就是說同樣的關鍵句可以解決兩類問題，一類是單位1已知的情況，另一類是單位1未知的情況，都可以通過數量關系式找到突破口。

設計意圖：在學生結合圖示寫數量關系式的基礎上，教師展示錯誤轉換單位1的情況，師生一同對數量關系式糾錯，加深學生對數量關系式的理解。再結合數量關系式，選擇合適的方法解決問題。

3.鞏固練習。

師：你學會用數量關系式解決問題了嗎？我們來試試看。

②有一組互相咬合的齒輪，小齒輪每分鐘轉400周，大齒輪每分鐘轉的周數比小齒輪少。大齒輪每分鐘轉多少周？

③有一組互相咬合的齒輪，大齒輪每分鐘轉80周，比小齒輪每分鐘轉的周數少。小齒輪每分鐘轉多少周？

課后，我們對鞏固練習②③題的完成情況進行了統計，結果見下表。

題號 正確率 錯誤率錯誤轉換單位1 審題或計算錯誤② 91.1% 4.5% 4.4%③ 82.2% 11.1% 6.7%

從統計結果來看，相對于前測，學生解決問題的正確率有了一定的提高。在解決問題的過程中，學生不再只關注單位1已知還是未知，用乘法還是用除法，而是更加重視理解題意，找出數量關系式，體會到了用方程解決問題的優越性。

三、討論

經過教學設計與實踐，我們對這節課的教學有了進一步的思考。

1.重視數量關系式的理解與應用。

寫出數量關系式對解決此類問題有事半功倍的效果。借助數量關系式，可以溝通已知量和未知量之間的聯系，從整體上對問題進行把握和建構。學生難以寫出數量關系式時，教師需要放慢速度，結合線段圖幫助學生理解。在學習分數乘法應用題時就要給學生充足的時間練習寫數量關系式，包括“求一個數的幾分之幾是多少”和“求比一個數多（少）幾分之幾是多少”兩類題型。在這一過程中，教師要注重引導學生發現，如果正確寫出了數量關系式，解題時直接將數據代入數量關系式即可。有了這樣的經驗基礎，在學習分數除法解決問題時，學生只需將這一方法進行遷移，把數量關系式中未知的量換成x，問題就能迎刃而解。最后引導學生歸納，不管單位1已知還是未知，我們都可以用這兩類數量關系式解決這些問題。在后續練習中，教師要將分數乘除法解決問題進行交叉重組，幫助學生理清兩種問題的區別與聯系，選擇合適的解題策略，從而建立有效的解題模型。

2.借助數量關系式用方程解決這類問題。

解決這類問題通常有兩種方法。一種是用分數除法列式解答，這是一種算術思維。實際教學中，教師習慣于按照“一找關鍵句、二定單位1，單位1已知用乘法、單位1未知用除法，多則加、少則減”的方式讓學生進行操練，并告訴學生用對應分量÷對應分率=標準量，即量率對應法則。這種解題模式過分注重迅速從題中提取數據，尋求數據間的對應關系，淡化了學生解題過程中的理解和感悟，不利于學生解決問題能力的培養和思維的發展。另一種是列方程解決問題，這是一種代數思維，也是一種關系思維，是通過把已知的和未知的關系用等式刻畫出來，然后代入數據，逐步解答。最新的人教版數學教材將分數除法的解決問題部分由原來的算術解法修改為引入方程解決問題。在教學過程中，我們發現方程的確能有效地降低除法逆運算的思維難度。在后續用百分數解決濃度或利潤問題時，數量關系更加復雜。比如：在10千克濃度為20%的食鹽水中加入5%的食鹽水和白開水各若干千克，得到了濃度為10%的食鹽水。如果加入的食鹽水是白開水質量的2倍，那么加入白開水多少千克？毋庸置疑，遇到這種更復雜的問題，引入方程的思路十分有必要。用方程解決問題是一種順向思維，可以直接通過數量關系式找到突破口，解決問題的方法更符合學生的思維特點，普適性更強。所以，我們認為學生應該從這里開始進行方程的入門練習，從易到難，為后續學習奠定基礎。

（執筆：謝凝、吳波勇、余鋇、陳雷、陳澤榮、羅朝霞、鄭志剛、徐旺、李闖）