具大角動量的奇異徑向對稱擾動系統的周期軌道

尹麗杰，王燕華，李勝軍

(海南大學 信息科學技術學院, 海南 ?？?570228)

具大角動量的奇異徑向對稱擾動系統的周期軌道

尹麗杰，王燕華，李勝軍

(海南大學 信息科學技術學院, 海南 ?？?570228)

應用拓撲度理論，首先研究了Hill方程奇異徑向對稱擾動系統周期軌道的存在性及軌道的運動特征，最后得到了在排斥奇異情形下大的角動量及大的向徑旋轉.

周期軌； 奇異徑向對稱系統； 拓撲度理論

考慮徑向對稱系統

(1)

(2)

的非線性奇異徑向對稱擾動. 關于純量奇異微分方程

正周期解的存在性以及多重性已經吸引了諸多學者的關注，可以參考文獻[2-5].

由于系統(1)的每個解x∶I→R2{0}在其最大存在區間I?R滿足x(t)≠0，把系統(1)的解表示成極坐標的形式

x(t)=ρ(t)(cosφ(t),sinφ(t))，

(3)

另一方面，近幾年來關于徑向對稱開普勒型系統

(4)

周期軌道的存在性問題，Fonda等在文獻[6-11]中進行了研究，其中f允許在原點有奇異性. Fonda把系統用向徑和角度來表示，并把角動量作為參數來考慮. 如文獻[11]所述，自然界中的許多物理現象可用系統(4)來描述，例如描述引力場中物體運動的牛頓方程.

在文獻[6-8]中考慮了如下系統

(5)

其中,c(t),e(t)是T-周期函數，γ≥1，得到如下定理[8].

定理1假設γ≥2，c是局部可積的T-周期函數,存在常數c1，c2使得

則對任意局部可積的T-周期函數e, 存在k1≥1,使得任意的正整數k≥k1, 系統(5)有周期解xk(t), 其最小周期為kT,且在一個周期里剛好轉一圈, 即在極坐標意義下滿足φ(t+kT)=φ(t)+2π.

當a(t)≡0時,系統(1)即為系統(4), 或者說, 系統(1)可以寫成類似于系統(4)的形式

關于系統(1)和系統(4)的證明有本質上的區別，文獻[6-11]中的結果不能包含筆者所需結果，并且既不需要Landesman-Lazer條件，也不需要非共振條件，但在文獻[8-11]中，這些假設條件是必須的. 另一方面，考慮的是排斥奇異，而文獻[7]處理的是吸引奇異(排斥奇異和吸引奇異有本質的不同[1]).

本文結果敘述如下

定理2假設Hill方程(2)有正的Green函數，且滿足以下條件

1 預備知識

假設Hill方程滿足以下條件

(6)

的解ρ(t)可以表示為積分形式

當假設條件(G)成立，引入如下記號

其中，M>m>0，0<σ<1.

相比于系統(4)，系統(1)有一個優勢，就是可以直接利用等價系統(3)的Green函數的性質，為了證明本文結果，需要引理2和引理3，其中引理2是Leray-Schauder全局連續性原理[12].

(7)

在[μ1,μ2]×?G上無解，則方程(7)的解包含一條連接{μ1}×G與{μ2}×G的連通分支.

在敘述引理3之前，先介紹相關的符號和概念.

給定Banach空間X,Z分別為

degLS(L-M0,Ω)=(-1)mdegB(F,Ω∩Rm,0),

其中，degLS，degB分別表示Leray-Schauder度和Brouwer度.

2 定理2的證明

2.1引理的證明定義截斷函數fn∶R×R→R，

同時考慮一族方程

(8)

注意到ρ是方程(8)的T-周期解當且僅當ρ滿足積分方程

其次，證明μ足夠大時，方程(8)有T-周期解. 為此，考慮同倫方程

(9)

和

(10)

證明如果ρ是方程(9)的周期解，則ρ滿足

因此，

證畢.

證明用反證法. 設ρn是方程

(11)

因此，

與μn→+∞矛盾.

證畢.

成立.

證明首先可以選取足夠大的R>0，使得

ρ(t)≥σ‖ρ‖≥σR.

另一方面，由于

即與上面的假設相矛盾，因此‖ρ‖

其次又由條件(H), 得到

下面將證明，存在常數L>0，使得

于是，

證畢.

(12)

的解.

證明定義如下算子

L∶dom(L)?C1[0,T]→L1(0,T)，

和

N∶[A,B]×C1[0,T]→L1(0,T)，

容易知道式(12)的第一個方程等價于以下算子方程

Lρ=N(μ,ρ)，

由于Hill方程滿足條件(G),L可逆，因此

ρ-L-1N(μ,ρ)=0.

(13)

定義

為了計算拓撲度，考慮同倫方程(9)，由引理6和同倫不變性，考慮方程(9)λ=0時的情況，即方程

等價于以下系統

其中，Y=(ρ,μ)，以及F(Y)定義為

由a(t)的正性和

可知F有唯一零點，設為(ρ0,μ0)，且其Jacobian行列式|JF(ρ0,u0)|>0，由引理3，I-L-1N(μ,·)的Leray-Schauder度等于F的Brouwer度，即

結論得證.

證畢.

將定義函數Φ:→R為

顯然，Φ是連續函數，下面證明Φ的像是一個區間.

成立.

證明令(μ,ρ)是的元素且則

將上式兩邊積分，得

另一方面，

于是，

得到

證畢.

Φ(μ,ρ)=θ，

顯然，ρ是T周期的，且式(3)的第一個方程成立. 定義

則φ(t)滿足式(3)的第二個方程，且

即結論成立.

證畢.

因此，(ρ,μ)是系統(3)的解.

x(t+T)=x(t)exp(iθ)，

(14)

綜上可知，定理2得證.

證畢.

[1] Lazer A, Solimini S. On periodic solutions of nonlinear differential equations with singularities[J]. Proc. Amer. Math. Soc., 1987 (99): 109-114.

[2] Ren J, Cheng Z, Siegmund S. Positive periodic solution for Brillouin electron beam focusing system[J]. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 2011 (16): 385-392.

[3] Jiang D, Chu J, Zhang M. Multiplicity of positive periodic solutions to superlinear repulsive singular equations[J]. Joumal of Differential Equations, 2005 (211): 282-302.

[4] Torres P J. Existence of one-signed periodic solutions of some second-order differential equations via a Krasnoselskii fixed point theorem[J]. J. Differential Equations, 2003 (190): 643-662.

[5] Torres P J. Non-collision periodic solutions of forced dynamical systems with weak singularities[J]. Discrete Contin. Dyn. Syst.,2004 (11): 693-698.

[6] Fonda A, Toader R. Periodic orbits of radially symmetric Keplerian-like systems: A topological degree approach[J]. Journal of Differential Equations, 2008 (244): 3 235-3 264.

[7] Fonda A, Urena A J. Periodic, subharmonic, and quasi-periodic oscillations under the action of a central force[J]. Discrete Contin. Dyn. Syst., 2011 (29): 169-192.

[8] Fonda A, Toader R. Periodic solutions of radially symmetric perturbations of Newt-onian systems[J]. Proc. Amer. Math. Soc., 2012 (140): 1 331-1 341.

[9] Fonda A, Toader R. Radially symmetric systems with a singularity and asymptotically linear growth[J]. Nonlinear Anal, 2011 (74): 2 485-2 496.

[10] Fonda A, Toader R. Periodic orbits of radially symmetric systems with a singularity: the repulsive case[J]. Adv. Nonlinear Stud, 2011 (11): 853-874.

[11] Fonda A, Toader R, Zanolin F. Periodic solutions of singular radially symmetric systems with superlinear growth[J]. Ann. Mat. Pura Appl. 2012 (191) : 181-204.

[12] Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications[M]. New York: Springer, 1986.

PeriodicOrbitsofSingularRadiallySymmetricSystemswithALargeAngularMomentum

Yin Lijie, Wang Yanhua, Li Shengjun

(College of Information Sciences and Technology, Hainan University, Haikou 570228, China)

In the report, the theory of topological degree was used to study the existence of periodic orbits of radically symmetric systems with a repulsive singularity. The periodic orbits rotate around the origin with both large angular and large amplitude was obtained.

periodic orbits; singular radically symmetric systems; topological degree theory

2017-10-10

國家自然科學基金(11461016)；海南省自然科學基金(117005)；海南省高等學校教育教學改革研究(Hnjg2017-6)；海南大學青年基金(hdkyxj201718)

尹麗杰(1993-), 女, 山東德州人,海南大學2016級碩士研究生, 研究方向:變分與拓撲方法,E-mail:18315913978@163.com.

李勝軍(1976-), 男, 湖南婁底人,副教授,博士,研究方向：泛函算子理論研究, E-mail: shjli626@126.com

1004-1729(2017)04-0295-08

O 177

ADOl10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0046