一元二次方程應用題的幾類經典題型

摘要：列一元二次方程解應用題的關鍵是：弄清已知量與未知量，分清它們之間的數量關系，從而將實際問題轉化為方程模型，本文舉例說明列一元二次方程解應用題的幾類常見的典型題目。

關鍵詞：應用題；增長率；利潤；探索；數字問題

列一元二次方程解應用題是中考的重點內容，也是進一步學習二次函數的基礎，要認真地審清題意，弄清已知量與未知量，分清它們之間的數量關系，尋求隱含的相等關系。假設未知數分直接假設和間接假設，應根據題目中的數量關系正確設出未知數?，F就列一元二次方程解應用題中遇到的常見幾類的典型題目，舉例說明。

一、 增長率問題

【例1】為了進一步發展水利工程，服務農業，自2015年以來，某鄉鎮加大了水利工程經費的投入，2015年經費6000萬元，2017年水利工程經費8640萬元。假定該鎮這兩年投入水利工程經費的年平均增長率相同。

（1）求這兩年投入水利工程經費的年平均增長率；

（2）如果該鎮水利工程經費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預算2018年該鎮投入水利工程經費多少萬元？

解：（1）設這兩年投入水利工程經費的年平均增長率為x，由題意得

6000（1+x）2=8640，解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）。

答：該這兩年投入水利工程經費的年平均增長率為20%；

（2）8640×（1+0.2）=10368（萬元），

答：2018年該鎮投入水利工程經費10368萬元。

二、 商品的利潤問題

【例2】某商場準備進一批服裝，單價40元。經市場預測，銷售定價為52元時，可售出180件，定價每增加1元，銷售量凈減少10件；定價每減少1元，銷售量凈增加10件。因受庫存的影響，每批次進貨件數不得超過180件，商場若想獲利2000元，則應進貨多少件？定價為多少元？

解：設每件商品的定價是x元，由題意得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，整理得x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60。當x=50時，進貨件數為180-10×（50-52）=200>180，不符合題意，舍去；當x=60時，進貨件數為180-10×（60-52）=100<180，符合題意。

答：當該服裝每件定價為60元時，進貨100件，可獲利2000元。

三、 列一元二次方程解決與幾何圖形有關的問題

【例3】如圖，某小區有一塊長40m、寬32m的長方形地塊要種植花圃，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬的小路，要使種植面積為1140m2，求小路的寬。

解：設小路的寬為xm，依題意有

（40-x）（32-x）=1140，

整理，得x2-72x+140=0。

解得x1=2，x2=70（不合題意，舍去）。

答：小路的寬應是2m。

說明：本題考查了一元二次方程的應用，應熟記長方形的面積公式。另外求出4塊種植地平移為一個長方形的長和寬是解決本題的關鍵。

四、 探索存在問題

【例4】將一條長為20m的圍欄分成兩段，并以每一段圍欄的長度為周長做成一個正方形。

（1）要使這兩個正方形的面積之和等于13m2，那么這段圍欄剪成兩段后的長度分別是多少？

（2）兩個正方形的面積之和可能等于11cm2嗎？若能，求出兩段圍欄的長度；若不能，請說明理由。

解：（1）設剪成兩段后其中一段為xm，則另一段為（20-x）m。

則根據題意，得x42+20-x42=13，解得x1=12，x2=8，

當x=12時，20-x=8，當x=8時，20-x=12，

答：這段圍欄剪成兩段后的長度分別是8m和12m。

（2）不能。理由是：不妨設剪成兩段后其中一段為ym，則另一段為（20-y）m。則由題意得y42+20-y42=11，整理，得y2-20y+112=0，移項并配方，得（y-10）2=-12<0，所以此方程無解，即不能剪成兩段使得面積和為 11m2。

五、 數字問題

【例5】有一個兩位數，它的個位數字與十位數字的和是8。把這個兩位數的個位數字與十位數字互換后得到另一個兩位數，兩個兩位數的積為1612。求新的兩位數。

解：設新的兩位數的個位數字為x，則十位數字為8-x。

依題意得：（10x+8-x）[10（8-x）+x]=1612，

解得 x1=2，x2=6，

當x=2時，8-x=6，新的兩位數是62；當x=6時，8-x=2，新的兩位數是26。

答：新的兩位數是26或62。

綜上所述，列一元二次方程解應用題要認真審題，關鍵是找出等量關系，可以通過關鍵詞語尋找，也可以通過學過的公式、規律尋找；要歸納解決實際問題的一般歩驟，體會方程的建模思想、數形結合思想的運用；求出未知數的值后，要注意檢驗求出的未知數的值是否符合實際意義。

作者簡介：

李志若，福建省泉州市，泉州師范學院附屬鵬峰中學。endprint