數學的四種解題思想

劉長春

函數方程思想就是用函數、方程的觀點和方法處理變量或未知數之間的關系，即把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數關系表達出來，并研究這些量間的相互制約關系，最后解決問題，這就是函數思想。應用函數思想解題，確立變量之間的函數關系是一關鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：（1）根據題意建立變量之間的函數關系式，把問題轉化為相應的函數問題；（2）根據需要構造函數，利用函數的相關知識解決問題；（3）方程思想：在某變化過程中，往往需要根據一些要求，確定某些變量的值，這時常常列出這些變量的方程或（方程組），通過解方程（或方程組）求出它們。函數與方程是兩個有著密切聯系的數學概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數的知識和方法解決，很多函數的問題也需要用方程的方法支援，函數與方程之間的辯證關系，形成了函數方程思想。

運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式，或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。

一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：f（x）、f（x）的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。

函數知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數思想的幾種常見題型是：遇到變量，構造函數關系解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數觀點加以分析；含有多個變量的數學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數關系；實際應用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問題也可以用函數方法解決。

[數形結合思想]

數形結合注意三點：一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義，又分析其代數意義；二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；三是正確確定參數的取值范圍。數形結合的本質是：幾何圖形的性質反映了數量關系，數量關系決定了幾何圖形的性質。把數作為手段的數形結合主要體現在解析幾何中，歷年高考的解答題都有關于這個方面的考查（即用代數方法研究幾何問題）。而以形為手段的數形結合在高考客觀題中體現。我們要抓住以下幾點數形結合的解題要領： （1）對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解即可； （2）對于研究函數、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數的圖象求解（函數的零點，頂點是關鍵點），做好知識的遷移與綜合運用； （3）可分別通過構造距離函數、斜率函數、截距函數、單位圓x2+y2=1上的點及余弦定理進行轉化達到解題目的。

[分類討論思想]

當問題的對象不能進行統一研究時，就需要對研究的對象進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結果，最后綜合各類結果得到整個問題的解答，即化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。

有關分類討論的數學問題需要運用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：（1）涉及的數學概念是分類討論的；（2）運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；（3）求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性；（4）數學問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導致不同的結果的；（5）較復雜或非常規的數學問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的。

分類討論是一種邏輯方法，在中學數學中有極廣泛的應用。根據不同標準可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標準出發，做到不重復，不遺漏，包含各種情況，同時要有利于問題研究。

分類討論的思想方法的步驟：（1）確定標準；（2）合理分類；（3）逐類討論；（4）歸納總結。

簡化分類討論的策略：（1）消去參數；（2）整體換元；（3）變更主元；（4）考慮反面；（5）整體變形；（6）數形結合；（7）縮小范圍等。

解題時把好“四關”：（1）深刻理解基本知識與基本原理，把好“基礎關”；（2）找準劃分標準，把好“分類關”；（3）保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關”；（4）注意對照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗關”。

[化歸與轉化思想]

所謂化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜的問題通過變化轉化為簡單的問題，將難解問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題轉化為已解決的問題。

立體幾何中常用的轉化手段有：1.通過輔助平面轉化為平面問題，把已知元素和未知元素聚集在一個平面內，實現點線、線線、線面、面面位置關系的轉化； 2.過平移或射影達到將立體幾何問題轉化為平面問題，化未知為已知的目的； 3.等積與割補； 4.類比和聯想；5.曲與直的轉化；6.體積比，面積比，長度比的轉化。解析幾何本身的創建過程就是“數”與“形”之間互相轉化的過程。解析幾何把數學的主要研究對象數量關系與幾何圖形聯系起來，把代數與幾何融合為一體。

化歸與轉化思想是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。轉化有等價轉化與非等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉化后的結果仍為原問題的結果。非等價轉化其過程是充分或必要的，要對結論進行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應用時一定要注意轉化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。

著名的數學家雅潔卡婭曾提出：“解題就是把要解題轉化為已經解過的題?！睌祵W的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程。等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換；它可以在宏觀上進行等價轉化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數學語言的翻譯；它可以在符號系統內部實施轉換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數形結合法、求值求范圍問題等，都體現了等價轉化思想，我們更是經常在函數、方程、不等式之間進行等價轉化?？梢哉f，等價轉化是將恒等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。在數學操作中實施等價轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為煩瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數式、從無理式到有理式、從分式到整式等；或者將比較難以解決、比較抽象的問題，轉化為比較直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程，比如數形結合法；或者從非標準型向標準型進行轉化。按照這些原則進行數學操作，轉化過程省時省力，有如順水推舟，經常滲透等價轉化思想，可以提高解題的水平和能力。