則[loga13≥13],解得,[a≥127].
所以,[127≤a<1].
綜上所述,實數a的取值范圍是[127,1].
答案 [127,1]
點評 對于具有明顯幾何意義的含參不等式恒成立問題,可以利用其幾何意義建立關于參數的不等式,進而求出參數的取值范圍.
不等式解集法
若不等式[f(x)>0]的解集是集合[B],則不等式[f(x)>0]在集合[A]中恒成立等價于集合[A]是集合[B]的子集. 利用[A?B]建立關于參數的不等式,即可求出參數的取值范圍.
例3 已知[f(x)=x+a+x-2],若[f(x)≤x-4]在[[1,2]]上恒成立,則實數a的取值范圍是________.
解析 由題意知,[x+a+x-2≤x-4]在[[1,2]]上恒成立,也就是[x+a+2-x≤4-x],即[x+a≤2]在[[1,2]]上恒成立.
因為不等式[x+a≤2]的解集為[-2-a,2-a],
所以[[1,2]][?-2-a,2-a].
從而[-2-a≤1,2-a≥2,]解得,[-3≤a≤0].
答案 [-3,0]
例4 設[f(x)]是定義在R上的偶函數,且當[x≥0]時,[f(x)=2x]. 若對任意的[x∈[a, a+2]],不等式[f(x+a)][≥f2(x)]恒成立,則實數[a]的取值范圍是________.
解析 由題意知,[f(x)=2x].
則[f(x+a)≥f2(x)],即[2x+a≥2x2].
亦即[x+a≥2x]對任意的[x∈[a, a+2]]恒成立.
也就是[3x2-2ax-a2≤0]對任意的[x∈[a, a+2]]恒成立.
(1)當[a<0]時,不等式[3x2-2ax-a2≤0]的解集為[a,-a3].
則[[a,a+2]][?a,-a3].
從而[a<0,-a3≥a+2,]解得,[a≤-32].
(2)當[a=0]時,不等式[3x2-2ax-a2≤0]的解集為[0].
則[[a,a+2]][?0],這是不可能的,所以[a∈?].
(3)當[a>0]時,不等式[3x2-2ax-a2≤0]的解集為[-a3,a].
則[[a,a+2]][?-a3,a],這是不可能的,所以[a∈?].
綜上所述,實數[a]的取值范圍是[-∞,-32].
答案 [-∞,-32]
點評 對于容易求出不等式的解集的含參不等式恒成立問題,可以根據給定恒成立區間是不等式解集的子集列出關于參數的不等式(組),從而求得參數的取值范圍.
函數最值法
含參不等式恒成立問題中至少含有兩個變量,根據條件構造函數,并用求函數最值的方式解題. 一般有兩種解題策略.
(1)分離參數法. 先分離參數[k]得,[k>f(x)],或[kf(x)]恒成立[?k>f(x)max];②[k(2)不分離參數法. 不分離參數[k],直接構造含參數[k]的函數[y=g(x)],通過求含參數[k]的函數[y=g(x)]的最值,建立關于[k]的不等式,再求參數[k]的取值范圍.
例5 若不等式[x2+ax+1≥0]對[x∈0,0.5]恒成立,則實數a的最小值是( )
A. 0 B. -2
C. -2.5 D. -3
解析 兩種轉化策略:(1)分離參數法,將不等式轉化為[a≥-x+1x]. 由題意知,它對[x∈0,0.5]恒成立,構造不含參數的函數[g(x)=-x+1x],[x∈0,0.5]并求出最值,只需[a≥g(x)max]. (2)不分離參數法,直接構造含參數[a]的函數[f(x)=x2+ax+1],[x∈0,0.5],并用參數[a]表示出最小值[h(a)],只需[h(a)≥0].