金雅芳
(浙江省紹興市上虞區浙江省春暉中學,浙江 紹興)
【例題】在△ABC中,acosB=bcosA,且邊BC上的中線長為4.求△ABC面積的最大值.
【分析】從面上看,本題非常符合解三角形的考試要求:掌握正弦定理、余弦定理及其應用,并能對面積公式進行適當應用;也非常符合解三角形的本質:考查方向從邊到角或是從角到邊,在邊角互化的過程中體會函數思想、化歸思想.其實先利用正弦定理,馬上可得:
sinAcosB=sinBcosA?sin(A-B)=0,即 A=B.
☆流程圖:設變量→建立函數關系式→求一元單變量函數的最值問題.
【解法1】取線段BC的中點為M,設AC=BC=2x,則CM=x可得
由①可得:
則
則
研究②式,也可利用asinx+bcosx的最值建立不等式關系:
可化簡為5S-4ScosC=32sinC
移項得:4ScosC+32sinC=5S ③
☆流程圖:看圖形特征→建立直角坐標系→聯系一元單變量函數的結構特征→求最值.
在代數式的轉化過程中,很多時候均可以采用幾何元素來進行考查.
如研究上面②式也可采用:
【解法2】題中已知三角形為等腰三角形,也可考慮建系完成.
以線段AB所在直線為x軸,中垂線為y軸建立直角坐標系,設 A(-a,0),B(a,0),C(0,b),又設邊 BC 的中點為
現行新課標數學教材(普通高中數學課程標準,人民教育出版社,A版)主編寄語中指出:數學是自然的,是水到渠成、渾然天成的,不僅合情合理,甚至很有人情味,學習數學要摸索學習的方法,數學學習要摸清數學學科素養,積極培育學生的學科思維能力.數學又是自由的,是包羅萬象的基礎,對抽象、一般的事物,要積極發揮想象的空間.因而,在數學教學中,也要使數學概念的呈現、思維的形成發展、方法的生成應用、學習能力的提升成為自然、必然而水到渠成的,使學生體會到數學的自然、有用、有趣、嚴謹而生動,從而充滿興趣地積極參與到數學教學活動中,主動思考探究數學知識、方法,形成數學思想,提升數學學習能力.明年全國推進新一輪的課程改革,浙江省又是改革先鋒,作為數學老師,期待著數學“芯片”的產生!