復雜預應力對立管參激振動特性的影響分析

王 威，陳爐云

（1.中國艦船研究設計中心，武漢 430064；2.上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240）

0 引 言

立管結構是海洋平臺系統連接海面與海底的通道，承擔著油氣輸送的功能，是海洋油氣開發的關鍵部件。海洋平臺隨著海洋波浪的作用而發生升沉運動，給立管頂端一個位移時程響應，引起立管軸向力隨浮體運動而發生變化，并導致立管在水平方向振動，這種現象稱為參激振動。參激振動可引發立管的參數共振并導致結構破壞。Hsu[1]最早關注海洋細長結構物的參激共振問題，對限制海域的纜索的振動不穩定性問題進行了研究。張杰等[2-3]分析了立管固有振動特性的變化規律，對比了設計參數對固有振動特性的影響。唐友剛等[4]研究了立管在剪切流中的參激-渦激耦合振動問題，分析了參數激勵對橫向渦激振動的影響。邵衛東等[5]對變張力作用下的立管結構振型進行了對比，分析考慮重力因素后的結構特性的變化。Kuiper[6]分析了立管內外流體壓力差、結構阻尼、截面扭轉和剪切變形等因素對立管參激振動的影響。Chen等[7]以8種常見邊界約束為例，探討了邊界條件對立管固有振動特性的影響。Chatjigeorgiou[8-9]分析了結構阻尼對立管參數激勵振動穩定性的影響，研究參數激勵頻率為立管一階固有頻率2倍時的結構響應。Park等[10]對立管的參激-渦激耦合振動問題進行了時域分析，對比了水深、環境條件和立管模態對振動幅值的影響。楊和振等[11]對參數激勵下深海立管的參量不穩定性進行探討，分析阻尼參數對參激振動穩定區域的影響。Fujiwara等[12]采用大比尺模型試驗，驗證了參激參數對渦激振動的影響，并進一步給出了數值計算的結果。

立管結構是一個復雜的焊接殼體結構，結構中通常都存在一定的預應力。預應力產生的原因有：焊接殘余應力、靜水壓力、油氣壓力和其他靜載荷等，預應力大小及方向隨位置而變化，將其定義為復雜預應力。預應力對結構性能有巨大的影響，研究含預應力的結構動力學特性具有重要的理論意義。Chen等[13]通過對非線性方程組的求解，分析了含初應力的結構動力響應問題。Matsunaga[14]基于二維高階剪切理論，分析了含軸向預應力的簡支圓柱殼自由振動問題，對比了剪切效應和轉動效應對振動頻率的影響。Zeinoddini等[15]將管道內流動水壓力定義為均勻靜載荷，對比了管內流速對結構響應的影響。Zhang等[16]以圓柱薄殼結構為例，分析了初始預應力、表面壓力和結構形狀等因素對結構振動的影響。陳爐云等[17]基于應用變分原理分析了含局部預應力的圓柱殼結構動力響應方程和預應力對聲輻射功率和聲指向性的影響。劉勇[18]建立了含復雜預應力的平板結構和圓柱殼結構的振動微分方程，提出了自由振動和強迫振動的解析方法。

本文基于預應力基本理論，以立管的純參激振動問題為研究對象，將殘余應力、水壓靜應力及軸向力定義成復雜預應力，分析復雜預應力對立管結構頻率、模態等動力特性的影響。

1 立管參激振動基本模型

1.1 頂張力立管概述

對于典型頂張力立管的參激振動分析，首先對立管進行適當假設：立管結構簡化為一維梁模型；立管頂部張力是一個與波浪頻率相關的函數；立管幾何尺寸、材料性質沿長度方向不變；立管的應變很小，應力應變滿足線性關系；僅考慮管內流體質量，忽略流速引起的動力效應。

基于上述假設，將立管與海洋平臺浮體相連的張緊器簡化為一個彈簧機構，該機構將平臺對立管的位移激勵轉化為力激勵，定義等效彈簧剛度為K。由于張緊器剛度遠小于立管的軸向剛度，立管的兩端約束可視為兩端鉸支邊界。以立管頂部為原點建立直角坐標系，定義z方向為立管軸向方向，y方向為立管位移方向，建立立管模型，如圖1所示。

1.2 立管參激運動基本方程

根據立管結構基本假設，應用Euler-Bernoulli理論，純參數激勵下的立管運動方程為：

圖1 立管模型示意圖Fig.1 Simply supported riser

式中：w（ z,t）為立管橫向振動位移；T（ z,t）為立管張緊力；cS為立管結構的阻尼系數為立管單位長度上水平外激勵力；EI為彎曲剛度，為單位長度的立管結構質量，D0和D1分別為立管的外徑和內徑，ρs為立管結構材料密度；mf=為單位長度的管內油氣質量，ρf為管內油氣密度為單位長度的立管附連水質量，ρw為海水密度，Ca為附連水質量系數。

假設立管兩端為鉸支支撐，則其邊界條件滿足：

此時，立管張緊力T z,（）t可寫成：

2 梁結構預應力模型

立管可簡化為Euler-Bernoulli梁結構，并遵循“平斷面假定”。下面基于梁結構理論開展含預應力的立管結構應力分析。

2.1 預應力類型

在梁結構動力響應中，結構除受動載荷作用外，還受其它形式的靜載荷的作用?？蓪⑦@些靜載荷引起的應力定義成復雜預應力。此外，結構軸向張緊力引起的軸向拉應力也可定義成預應力。此時，結構的預應力包括：梁結構張緊力、靜水壓力和焊接殘余應力，它們滿足線性疊加關系：

式中：σT為張緊力引起的應力為結構截面面積，T z,（）t為結構張緊力；σH為靜水壓力引起的應力，σH=f（）h，h為水深；σR為焊接殘余應力，在文中只考慮z方向焊接殘余應力，并有σR=σR,z。在文中，只考慮z方向復雜預應力σr=σr,z

2.2 預應力假設

因結構中存在著預應力，其運動方程受預應力與動位移間耦合作用影響。在結構動力響應分析中，設預應力與振動引起的動應力滿足線性疊加關系。在預應力作用下，結構靜態平衡方程可寫成：

式中：σr,z為預應力，P為靜外載荷。若預應力為焊接殘余應力，則有P=0；若預應力是由靜水壓力引起，P為靜水壓力函數，則有為水深；若預應力是由梁結構的張緊力引起，則有P=T（ z,t）。

此時，含預應力的梁結構動力響應運動方程為：

3 基于復雜預應力的梁結構運動微分方程

以梁結構動力響應特性為研究對象，分析預應力與結構振動位移的耦合關系，建立含復雜預應力的梁結構運動控制微分方程，提出梁結構自由振動的求解方法。

3.1 梁結構模型

梁結構的長度為L，其截面面積為S，如圖2所示。建立直角坐標系，z軸與梁長度方向重合且位于梁中性層上。定義對稱面yOz，梁彎曲發生在yOz平面內。定義垂直z軸的位移w為撓度，其正向與y軸正向相同。

圖2 梁結構幾何模型Fig.2 Beam geometry model

當梁結構發生振動時，選取梁結構中微元體，其長度為dz。微元體中的力和力矩包括兩部分：預應力與位移的耦合力；振動位移引起的力和力矩。對于微單元dz，其軸向截面拉力Nr,z可寫成：

根據梁彎曲理論，梁結構任意處應變εz可寫成:

式中：w（ z,t）為振動位移。根據虎克定律，正應力σz為

此時，作用在微元體截面上的彎矩可寫成:

式中：Mz為σz在梁斷面引起的彎矩；I為梁結構慣性矩；E為梁結構材料彈性模量。

3.2 耦合項分析

設結構在z軸方向分布預應力σr,z是變量z的函數。在力平衡條件下，含預應力的結構微元體受力情況如圖3所示。

當結構發生振動時，預應力與振動位移相互作用會引起耦合。假設預應力大小和分布在振動過程中保持不變，并引起微元體應變。此時，梁截面單位長度距中性面的變形ly可寫成:

根據“平斷面假定”，單位長度梁結構體積V可寫成：

由（12）式可知，微元體的振動過程中其體積不變，因而截面拉力Nr,z在振動過程中亦不變。當梁結構處于靜止狀態時，截面拉力Nr,z平行于z軸，且在其他方向上無分量。由于預應力σr,z始終與橫截面保持垂直，故預應力不產生新的耦合彎矩和轉矩。

受振動位移w的作用，截面拉力Nr,z產生繞y軸的轉角，其轉角大小為?w/?z。此時，截面拉力Nr,z在y方向上的分量ΔNy,z可寫成如下形式：

由（13）式可知，分量ΔNy,z是預應力和振動位移的函數，它改變了微元體的力平衡方程，是預應力與振動位移間的耦合力，如圖4所示。

圖3 預應力引起的截面力Fig.3 Section force caused by pre-stress

圖4 微元體耦合力Fig.4 Element body coupling force

3.3 平衡方程

根據梁結構的小撓度彎曲理論，分析微元體的力和力矩平衡方程。含復雜預應力的彈性梁在z方向的力平衡條件恒滿足。在y方向力平衡方程中，有剪力Qz和y方向的耦合力ΔNy,z，其力平衡方程為：

式中：m為微元體結構等效質量。因預應力不產生耦合力矩，即含預應力的彈性梁結構在y方向的力矩平衡條件恒滿足。在z方向，力矩平衡方程滿足：

將（15）式代入（14）式，可得如下微分形式：

3.4 基于復雜預應力的立管運動微分方程

將（7）、（10）式代入（16）式，則含復雜預應力的梁結構自由振動微分方程可寫成：

4 含復雜預應力的梁結構自由振動

下面對梁結構自由振動問題進行分析，開展立管振動特征分析。

4.1 自由振動方程

設梁兩端為絞支支撐，滿足兩端邊界條件的位移表達式可寫成級數形式：

式中：φ（z）為振形函數；β=π/L，L為梁長度；i為虛數單位；ω為圓頻率；Bn為梁結構位移系數；N為級數的項數。

引入正交三角級數 sin（ ξβ z），其中 ξ為正交參數。 將（18）式代入（17）式，利用三角級數的正交性，沿梁從z=0到z=L積分，可得：

4.2 典型梁振動特征

下面以幾種典型預應力分布形式為例，分析含復雜預應力的梁結構自由振動特性。

（1）若復雜預應力為σr,z，（19）式可直接簡化為簡單梁結構的自由振動方程，其特征方程為EI

（2）若復雜預應力為均勻分布，即σr,zS＝T0，則（18）式可簡化為復雜梁結構的振動方程，其特征方程為

當σr,z為拉應力時，梁結構的固有頻率將升高；當σr,z為壓應力時，梁結構的固有頻率將降低。

（3）若復雜預應力沿軸向方向變化，它是一維復雜預應力，可用三角函數來擬合：

根據（26）式，其解形式可建立N個方程，將其聯立并寫成矩陣形式：

（4）設復雜預應力沿軸向方向變化，并用更復雜的三角級數來擬合：

式中：各參數的物理意義與（24）式相同。由于復雜預應力的表達式更為復雜，級數項增多，這導致預應力影響矩陣R發生變化，此時矩陣R不再是稀疏矩陣。由于復雜預應力的級數項是線性相加關系，矩陣R可表示為：

4.3 模態分析

針對典型復雜預應力分布情況，建立兩端鉸支立管的自由振動特征方程。復雜預應力可用三角級數來擬合，采用（32）式來描述立管結構中復雜預應力具有普適性。含復雜預應力的特征方程為線性方程組，令其特征方程系數的行列式為零，即：

求解（33）式，可獲得含復雜預應力的梁結構的固有頻率和振型。若結構中不存在預應力，即R=0，（33）式可退化為經典彈性梁自由振動特征方程；若結構中存在著預應力，即不再是對角矩陣。

表1 計算模型參數Tab.1 Parameters of the model system

5 算 例

5.1 立管模型

在開展立管參激振動數值計算中，立管結構基本參數參考文獻[2]，如表1所示。

5.2 定軸力下立管振動特性

忽略立管自重影響，立管結構內的軸向拉力為立管頂端靜張緊力，即T（ z,t）=T0，復雜預應力為立管結構的振型函數可寫成分離變量法計算定軸力下立管振型函數φ（）z。圖5所示為立管前三階振型，振型是標準正弦函數。

圖5 立管振型示意圖Fig.5 Mode shapes of the riser

5.3 變軸力下立管振動特性

考慮立管自重的影響作用，但忽略平臺升沉的影響，內部張緊力沿水深增加而減少，即此時結構內復雜預應力立管結構的振型函數可寫成

圖6所示為立管前三階振型，在立管結構應力分布是水深 z的函數時，立管振型有明顯變化，它不再是標準正弦函數，振型振幅最大點向海底方向偏移。

圖6 立管振型示意圖Fig.6 Mode shapes of the riser

5.4 變軸力與殘余應力聯合作用下立管振動特性

下面分析分布著復雜焊接殘余應力且受變軸力作用下的立管結構振動特性。焊接殘余應力分布形式如圖7所示，其最大值約為149 MPa。應力為正表示為拉應力、應力為負則表示為壓應力。

在立管結構中的復雜殘余應力的大小可擬合成三角級數。在本研究中，采用20階級數對焊接殘余應力進行擬合，并寫成管結構中的復雜預應力可寫成將其代入到方程（19）中，可得立管結構的振型函數為

圖8所示為含有焊接殘余應力的立管結構前三階振型，此時立管振型不再是標準正弦函數，焊接殘余應力使立管的振動振型由光滑的曲線變成帶有較多突變的粗糙曲線，靠近海底處更為明顯，這表明焊接殘余應力影響立管的橫向振動。

對比圖5、圖6和圖8可知，在復雜預應力作用下，立管的振型變得更為復雜，復雜預應力對立管橫向振動具有重要影響。因此，在立管結構動力響應分析中考慮復雜預應力的影響是十分必要的。

表2所示為三種工況下立管結構前6階固有頻率的對比。

由表2可知，在焊接殘余應力作用下，立管固有頻率變小。由于存在復雜預應力，立管固有頻率值與不考慮預應力的固有頻率值相差較大，在前幾階頻率影響更為明顯。

圖7 殘余應力分布Fig.7 Distribution of pre-stress

圖8 立管振型示意圖Fig.8 Mode shapes of the riser

表2 固有頻率計算Tab.2 Comparison of natural frequencies of the riser

6 結 論

文章基于預應力理論，開展立管參激振動分析，得出如下結論：在立管振動特性分析中考慮焊接殘余應力因素可更為全面地描述結構的力學特性和總體性能；分析復雜預應力對立管振動特性的影響，可為通過控制結構復雜預應力達到實現提高立管結構綜合性能的目標提供技術參考。

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