拖曳體激發內波時空特性實驗及其理論模型?

陳科王宏偉盛立尤云祥

1)(上海交通大學,海洋工程國家重點實驗室,上海 200240)

2)(高新船舶與深海開發裝備協同創新中心,上海 200240)

3)(中國艦船研究設計中心上海分部,上海 201108)

4)(中國人民解放軍92537部隊,北京 100161)

1 引 言

自20世紀中期,對密度分層流體中運動物體及其尾跡產生的內波問題一直是國內外水動力學及海洋遙感探潛反潛等方面的研究者所感興趣的[1].從拖曳體產生內波相關速度的角度[2],可以將密度分層流體中拖曳體產生的內波分為兩大類:一類是體積效應內波,它是由物體本身排水體積及其尾部跟隨拖曳體做定常運動的分離泡共同產生的;另一類是尾跡效應內波,它是由物體尾部湍流尾跡或脫落渦以及混合區的重力塌陷等產生的.

對拖曳體激發內波而言,體積效應內波與尾跡效應內波的轉換或占優問題與Froude數Fr=U/(DNmax)密切相關,其中U和D分別是物體運動速度和最大回轉直徑,Nmax為密度分層流體的最大浮頻率.針對球體的實驗研究發現[2?7]:當Fr＜Frc=2.0時,體積效應內波占優;而當Fr＞Frc時,尾跡效應內波占優.考慮到實際水下航行體通常是一個細長體,趙先奇等[8]實驗研究了長徑比λ=L/D=9的拖曳圓柱體,結果表明,臨界Froude數Frc不再近似為2.0,而是近似為4.0.王進等[9]以長徑比為7的細長回轉體(一端為流線型而另一端為鈍體型)為對象,研究了頭部和尾部形狀對轉捩后內波波高隨拖曳速度的變化規律.同時期,王進等[10]又以3個不同長徑比(λ=1,4,9)實驗模型為對象進行了實驗研究,并結合前述實驗結果[8,9],擬合出臨界Froude數Frc與長徑比λ近似滿足線性關系Frc=0.2391λ+1.7579,且轉捩后內波波高隨拖曳速度線性增大的規律與長徑比無關.最近,王宏偉等[11]通過對稱布置電導率探頭陣列方法,對長徑比為7.7的細長回轉體(也是一端為流線型而另一端為鈍體型)在密度躍層下方5個不同潛深處運動產生內波特性進行了實驗研究,結果表明,軸對稱細長回轉體產生的尾跡效應內波關于物體中縱剖面是不對稱的,內波波高隨潛深呈指數衰減,并給出了定量表達.

對于定常運動物體產生體積效應內波,理論上可以用定常移動的點源或偶極子來模擬[12?21],其中又以Milder[19]提出的模型最為成熟.在Milder[19]的模型中,其利用二維Fourier變換得到水平波數域上的內波控制方程,結合“剛蓋假設”得到上下剛性邊界條件,求解內波控制方程對應的特征值問題,結合對應的Green函數,通過卷積和留數定理,得到波數域上位移表達式,最后通過Fourier逆變換得到空間域上的位移場.該方法能估算有限深任意密度分層流體中勻速運動物體生成內波垂向位移場.Robey[2]利用Milder[19]模型進行了數值計算,給出了圓柱體源對稱軸長度、直徑以及移動速度的方法,并與實驗獲得的內波波形結構及波高進行了比較,結果符合良好.尤云祥等[20]嘗試將圓柱體源改為橢球體源,改進對稱軸長度的表達,與Robey[2]實驗結果比較,結果也符合很好.

在尾跡效應內波方面,已有很多實驗文獻報道[2?11,22?26];在理論和數值研究方面,也有學者進行了探索性研究[2,20,26?33].Dupont和Voisin[32]提出移動振蕩球形源模型,模擬物體尾部周期性渦泄生成內波問題,與實驗結果比較,在內波波系及波形方面,兩者符合良好;但是該模型是在浮力頻率為常數和無界條件下導出的,對于分層環境和邊界適應性較差.Robey[2]利用Milder[19]定常內波模型,將尾流等效為圓柱體模型,結合實驗得到的內波相關波速和尾流增長規律,給出了尾流等效圓柱體移動速度、長度和直徑的方法,并與實驗結果進行了比較,內波波高分布與實驗符合良好,但波形結構有些差異.梁川等[33]受尾流周期性渦泄現象啟發,提出移動脈動源方法,豐富了內波波形波系的表達,但在波高方面并未做研究.尤云祥等[20]指出,理論和數值的研究結果很難與實驗完全符合,在不同方面存在差異,這是由于尾跡激發源成分較為復雜,不僅有周期性渦泄、湍流等隨機脈動問題,還包括各種不穩定結構、內波破碎及混合與塌陷等.

需要指出的是,目前有關水下運動物體激發內波特性研究尚有不完善之處.其一,目前的等效源理論模型是針對拖曳球的,而對拖曳細長體產生體積效應內波激發源的參數設置等問題,迄今尚不清楚.其二,王宏偉等[11]的最新實驗研究結果表明:軸對稱細長回轉體在拖曳運動下產生的尾跡效應內波關于物體中縱剖面是不對稱的,分解后發現即存在正對稱成分又存在反對稱成分,而在已有理論模型研究中,移動奇性源(點源、偶極子以及等效質量源等)的設置都是軸對稱的,這對于上述實驗結果的預測是不合適的.其三,已有細長體模型是圓柱體[8]或只有一端為流線型的回轉體[9?11],而實際潛艇頭部和尾部應均為流線型,對于此類細長體的實驗研究仍未見報道.

有鑒于此,本文在王宏偉等[11]的最新實驗研究啟發下,同樣將電導率探頭在整個橫剖面內對稱布置,對1個球體(直徑為10cm)和2個頭部和尾部均為流線型的細長回轉體(最大回轉直徑均為10cm而長度分別為50cm和80cm)在拖曳運動下產生內波特性進行了實驗研究;同時,本文在尤云祥等[20]針對拖曳球生成內波的等效質量源理論模型的基礎上,結合上述3個模型的實驗結果,提出了不同長徑比模型的體積效應激發源的參數設置方法以及尾跡效應激發源的正對稱和反對稱等效源的組合設置及其參數設置等具體方法.

2 實驗系統及方法

實驗在解放軍理工大學重力式分層流水槽系統中進行,該系統由水槽主體、分層流制取系統、循環拖曳系統、內波動態測量系統和實驗模型等組成,實驗系統示意圖及相關說明見文獻[11],不再贅述.實驗模型為1個球體和2個細長回轉體,特征直徑均為D=10cm,細長回轉體模型均由一個長為11cm的流線型頭部及一個長為12cm的流線型尾部制作而成,總長度L分別為50和80cm,如圖1所示.模型內部中空,用于配重.若將球體看作長徑比為1的模型,則兩個細長體模型的長徑比分別為λ=L/D=5和8.為下文陳述方便,將這3個模型按長徑比從小到大依次簡稱為model A,B和C.采用雙線循環拖曳法驅動實驗模型,其拖曳方法與文獻[11]一致.

圖1 兩個細長體模型照片(model B,model C)Fig.1.Photograph of two slender bodies(model B,model C).

為下文陳述方便,建立直角坐標系oxyz.水槽長度方向為x軸,寬度方向為y軸,深度方向為z軸,oz軸垂直向下為正,oxz面為水槽中縱剖面.本文實驗采用強躍層分層流體.實驗中,首先快速注入密度為1000 kg/m3的淡水至厚度為25cm,靜置一段時間后,通過水槽底部的兩個蘑菇型圓盤進水口緩慢地注入密度為1022 kg/m3的鹽水,直到總水深h=80cm.利用電導率探頭,采用垂直下降的方式,測量水槽中密度分層流體的密度剖面及浮頻率剖面,結果如圖2所示.其中,浮頻率由下式定義:

式中,g為重力加速度,ρ為密度垂向分布.因z軸向下,故式中省略負號.由圖2(a)可知,在本實驗分層流體系統中,上層為厚度約20cm的密度均勻層;中間層為厚度約15cm的密度連續分布的過渡層;下層為厚度約45cm的密度均勻層.考慮到密度垂向剖面隨實驗變化,取實驗過程中某次工況下的剖面作為示意圖,密度分層流體的最大浮頻率在水面下zP=25cm處,并在Nmax=1.86 rad/s附近變化.

圖3給出了實驗中電導率探頭布置示意圖,在水槽長度方向不同x軸位置布置兩組電導率探頭陣列,所有探頭的垂向位置均位于z=zP處;第一組陣列沿著水槽寬度y方向對稱布置23個電導率探頭,用P0,P±1,···,P±11對各探頭進行編號,每個探頭沿y方向間隔Δy1=5cm,探頭P0在水槽橫向正中間處.該組電導率探頭陣列用來測量模型運動產生內波的時空特征.第二組陣列在沿著水槽寬度y方向對稱布置8個電導率探頭,其y軸位置分別與第一組的P±2,P±4,P±6和P±8探頭對應,將其分別編號為Q±2,Q±4,Q±6和Q±8,各探頭沿y方向間隔Δy2=10cm,并與第一組探頭在x方向的間距為Δx=146cm.該組探頭用來測量分析模型運動產生內波沿ox軸方向傳播的相關速度.

圖2 (a)密度及(b)浮頻率剖面Fig.2.Pro files of(a)density and(b)buoyancy frequency.

圖3 坐標系及探頭布置示意圖Fig.3.Schematic of the coordinate system and arrangement of probes.

將實驗模型置于自由面下d=37cm處,即實驗模型中心軸線距離電導率探頭為12cm.在每次實驗中,電導率探頭采樣時間均為10 min,然后等待約40 min,再進行下一個工況的實驗.實驗模型的運動速度范圍為,對應的Froude數的范圍為,Reynold數的范圍為6000.其中,ν為模型回轉中心所在深度處背景流體的運動學黏性系數.在每次實驗后,最大浮頻率的值略有變化.為此,在每次實驗前重新測量一次密度剖面,以獲得浮頻率的最大值,用來計算相應的Froude數Fr.

3 理論模型

對于密度分層流體中拖曳體激發內波問題,無論是拖曳體自身排水體積產生的體積效應內波,還是其尾部湍流尾跡等產生的尾跡效應內波,其激發源都相當于某種體積效應,理論上均可用具有一定移動速度和體積的等效源Q(x,y,z,t)來簡化處理.

假設流體是無黏不可壓縮的,物體運動激發的內波是小振幅的.將等效源Q加入到連續性方程中,在Boussinesq近似下,可將內波線性化方程簡化到隨體坐標系中為[2,19,20]

其中Δh為水平Lapalace算子,η為垂向位移,Us為源的移動速度,

對于內波問題,由于它引起的水面位移很小,可做“剛蓋”處理,因此垂向位移滿足邊界條件η=0(z=0,h).記為η 關于水平變量的二維Fourier變換,水平波數矢量為k,其縱向和橫向分量分別為kx和ky,為k的幅值,則(2)式經過二維Fourier變換后為[2,20]

其中ω=kxUs為移動質量源產生內波的頻率.

上述定解問題對應的特征值問題為[2,20]

對給定的k,特征值問題(4)有無數個離散的特征值ωm和歸一化特征函數?m(m=1,2,3,···),每一個離散值對應一個內波模態.在求得特征值ωm(k)后,內波相速度cpm與群速度cgm可以分別表示為[2,20]

為求得內波垂向位移場,需定義Green函數G(z;z0)滿足如下方程[2,19]:

特征函數系{?m}在[0,h]上是一個完備的正交系,由此可得[2]

再由(3),(6)和(7)式可求得水平波數空間下的垂向位移解為[2,20]

(8)式中,?m(z)是觀測深度處的特征函數值,其深度與實驗中電導率探頭所在深度(也即最大浮頻率所在深度zP)對應;而是移動源回轉中心所在深度的特征函數導數值,其深度與實驗模型中心所在深度對應.

對于等效質量源的設置,尤云祥等[20]設計了一個移動速度為Us的橢球體模型,設橢球長軸為2a,橢球回轉直徑為2b,其在x=Ust+ξ處截面積可表示為[20]

則移動源Q可表示為[20]

實驗研究表明[11],體積效應內波關于水槽中縱剖面幾乎是對稱的,因此用(10)式中與物體幾何形狀相近的等效源來模擬體積效應內波的激發源是合理的.尤云祥等[20]僅給出了針對拖曳球的參數設置方法,而針對細長體模型,該等效源中的參數如何設計是本文的創新之處.

實驗研究還表明[11],尾跡效應內波關于水槽中縱剖面是不對稱的,通過奇偶分解法發現其既有對稱成分也有反對稱成分.為此,對尾跡效應內波激發源,分別設計為關于水槽橫剖面y方向一對正對稱的激發源組合和一對反對稱的激發源組合,如圖4所示.具體表達式如下:

其中Q1為一對正對稱的激發源組合,Q2為一對反對稱的激發源組合.這里仍借用橢球體源,即,S(ξ)的表達式同(9)式是一致的,只是回轉半徑b分別用b1和b2代替.比較(10)—(12)式可知,正對稱等效源組合相當于將回轉半徑為b1的等效源分別沿y軸正負方向平移b1個單位后再相加組合而成,相當于y方向兩個對稱源疊加;而反對稱等效源組合相當于將回轉半徑為b2的等效源分別沿y軸正負方向平移b2個單位后再相減組合而成,相當于y方向源匯疊加.

圖4 拖曳細長體的體積效應和尾跡效應激發源示意圖Fig.4.Schematic of the body-effect and wake-effect sources for towed slender body.

對于(8)式,逆變換只能在一個維度上有理論解,而另一個維度需要數值計算.已有理論[2,19,20]通常將kx做Fourier逆變換回xˉ,并利用留數定理得到

對于體積效應等效源,選擇(10)式,則(13)式的具體形式為[20]

對于尾跡效應等效源,選擇正對稱組合源時,則(13)式的具體形式為

當選擇反對稱組合源時,則(13)式的具體形式為

比較(14)—(16)式可得,正對稱組合源所得結果表達式(15)比體積效應激發源所得結果表達式(14)多出了2cos(kyb1)乘積因子,而反對稱組合源所得結果表達式(16)比(14)式多出了2i sin(kyb2)乘積因子.而等效源的移動速度和尺寸的確定依賴于實驗結果,將在下一節中詳細闡述.

4 實驗結果與分析

本節重點研究不同長徑比模型在拖曳下運動產生兩類內波的轉捩特性,轉捩前后兩類內波的波高變化規律和位移場特性以及轉捩前后兩類內波的時空特征及其對稱性等問題,為理論模型提供先驗參數.

4.1 內波相關速度

關于內波速度的說法較多,包括內波波致流速、線性相速度和非線性相速度等[34],也包括前文提到的相速度和群速度等,但本節的內波相關速度與上述速度有所不同,它只是用來表征內波相對于運動物體是否定常.本節參照Robey[2]對于內波相關速度的測量方法,設P和Q是位于水槽同一縱剖面上前后布置的兩個電導率探頭,探頭位于水下同一個深度,兩個探頭之間的縱向距離為Δx.對各探頭測到的密度擾動時歷進行相關性分析,記Δt為相關性峰值對應的時間,此即內波從起始探頭P傳播到另一個探頭Q所需的時間,定義內波相關速度為Uiw=Δx/Δt.

在圖5中,給出了3個模型生成內波相關速度Uiw隨拖曳速度U變化特性的實驗結果,其中虛線表示Uiw=U.由圖5可知:存在一個臨界拖曳速度Uc(豎線所示),當U＜Uc時,在水槽不同縱剖面上,內波相關速度均與實驗模型的拖曳速度一致,表明模型拖曳擾動產生內波相對模型的運動是定常的;當U＞Uc時,在水槽不同縱剖面上,內波相關速度均出現突然下降的現象,而且要遠小于模型的拖曳速度,表明此時模型拖曳擾動產生內波相對模型的運動是非定常的.進一步觀察發現,3個模型的臨界速度不同,分別為Uc=36,50和60cm/s.

對拖曳球擾動產生內波的轉捩特性問題,Robey[2]利用具有強躍層的溫度分層水槽,針對直徑D=10cm的球體,得到臨界Froude數Frc=Uc/(DNmax)≈2.0.王進等[9,10]利用具有強躍層的密度分層水槽,進一步研究了回轉直徑D=7cm的4個不同長徑比(λ=1,4,7和9)的軸對稱回轉拖曳體產生內波的轉捩特性問題,發現Frc與長徑比λ之間存在線性增長關系Frc=0.2391λ+1.7579.

圖5 內波相關速度Uiw隨拖曳速度U的變化(a)model A;(b)model B;(c)model CFig.5.Internal wave correlation velocity Uiwversus towing speed U:(a)model A;(b)model B;(c)model C.

本文實驗模型回轉直徑為D=10cm,最大浮力頻率隨著實驗進行會逐漸減小,大致范圍為Nmax≈2.0—1.6,由平均密度剖面得到的最大浮力頻率Nmax≈1.86 rad/s.將上述3個臨界速度無量化,得到Frc≈1.94,2.69,3.23,經過線性擬合得到

本文結果同樣表明,長徑比對兩類內波之間的轉捩特性有明顯影響,長徑比越大,臨界Froude數Frc越大.但本文擬合得到的Frc與λ的線性關系與王進等[9,10]得到的線性關系略有不同,本文斜率略偏小.注意到本文細長回轉體模型頭部和尾部均為流線型,而王進等[9,10]的細長回轉體模型只有頭部為流線型.所以本文細長體模型有效長度其實小于總長,這使得體積效應內波向尾跡效應內波轉捩的臨界Froude數Frc偏小.再者,本文細長回轉體的回轉直徑大于王進等[9,10]細長回轉體的回轉直徑,在同樣尺度的水槽下,本文模型產生內波受到水槽邊壁和底部等反射的影響比王進等[9,10]要大.雖然兩者線性關系存在略微差異,但兩者對Frc隨長徑比λ增大而線性增大這一規律的預測是一致的.

進一步觀察發現,轉捩后,3個模型的內波相關速度Uiw均在8—22cm/s之間的一個條帶內,無量綱化得到Friw=Uiw/(DNmax)=0.43—1.18.結果表明,轉捩后長徑比對尾跡效應內波相關速度的影響很小.

4.2 內波波高

對內波波高的統計方法,在文獻[2,7—10]中,主要采用某個傳感器處內波位移時歷的峰-峰幅值作為波高,但這一峰-峰幅值究竟是相鄰峰-峰幅值最大值,還是最大峰與最大谷的差值,并沒有給出明確的說法.且文獻[2,7—10]只選取某個探頭處的峰-峰值作為該速度下的波高,而未考慮空間上其他探頭處的波高,因此有一定局限性.

本文對第一組23個探頭采集到的密度擾動信號取其前100 s的時間序列,將采集到的密度擾動信號換算為相應的內波位移信號,分別取最大峰與最大谷的差值作為該探頭的波高H(y),得到無量綱波高H(y)/H0在橫剖面上的分布,如圖6所示,其中H0=H(0),為中間探頭y=0處的波高,圖中實線為B=0.2 m的如下高斯函數

高斯分布是正態分布的別稱,其半寬值B相當于正態分布中的標準差,可以為下文平均波高的統計提供理論依據.由圖6可知:在?0.25 m ＜y＜0.25 m范圍內,在不同長徑比下,H(y)/H0隨y變化的散點圖近似與高斯分布一致;但在?0.25 m＜y＜0.25 m范圍外,H(y)/H0隨y變化的散點圖與高斯分布偏離很大,這主要與水槽側壁導致的內波反射有關.由此可見,在前100 s的時間內,拖曳模型產生內波在?0.25 m＜y＜0.25 m范圍內,受水槽側壁的影響較小.為此,采用如下方法統計內波波高:在?0.25 m＜y＜0.25 m范圍內,對9個電導率探頭P0,P±1,P±2,P±3和P±4所得內波位移時歷的最大峰-峰幅值進行統計,取其平均值為內波波高,記為Hm.

圖6 轉捩前波高H(y)/H0隨y軸分布(a)model A;(b)model B;(c)model CFig.6.Distribution of wave height H(y)/H0along y-axis before transition:(a)model A;(b)model B;(c)model C.

圖7給出了3個模型產生內波波高Hm隨拖曳速度U的變化規律的實驗結果.由圖7可知,對不同長徑比模型,在各自轉捩速度前,內波波高隨拖曳速度變化規律均為先增大后減小,而在各自轉捩速度后,內波波高隨拖曳速度增大而近似線性增大.記轉捩前波高峰值對應速度為Up,則3個模型的Up分別為10,14和18cm/s,無量綱化得到Frp=Up/(DNmax)=0.54,0.75和0.97.關于Lee波波高(波幅)隨拖曳Fr的變化規律,已有實驗研究[2,5,8?11]均得到先增大后減小這一規律.對于拖曳球,Chomaz等[5]在鹽分層流體中得到Lee波峰值對應Frp=0.5—0.6;Robey[2]在溫度分層流體中得到Frp=0.7—0.8;本文拖曳球Frp=0.54,與文獻[2,5]實驗結果基本一致,說明這些規律是普適的.細微的差異可能跟密度剖面等的測量誤差導致Nmax變化較大有關.王進等[9,10]對回轉直徑D=7cm的4個不同長徑比(λ=1,4,7,9)的軸對稱回轉拖曳體的實驗研究發現,細長體的波高隨Fr的變化規律同球體相似,也是先增大后減小,Lee波峰值對應Frp與長徑比λ之間也存在線性增長關系Frp=0.0957λ+0.7254.本文結果同樣是Frp隨λ增大而增大,經過線性擬合可得

圖7 內波波高Hm隨U的變化(a)model A;(b)model B;(c)model CFig.7.Internal wave height Hmversus U:(a)model A;(b)model B;(c)model C.

本文結果同樣表明,長徑比對Lee波峰值對應Froude數Frp有明顯影響.但本文擬合得到的Frp與λ的線性關系與王進等[9,10]得到的線性關系略有不同,本文斜率略偏小.原因同上一節轉捩點隨長徑比變化規律的解釋相同,仍然是有效長度不同而導致的差異.進一步觀察還可以發現,轉捩后,3個模型內波波高隨拖曳速度增大而近似線性增大,且線性增大的斜率幾乎一致.這意味著,轉捩后長徑比對尾跡效應內波波高的影響很小.

4.3 內波時空形態特征

為下文陳述方便,首先介紹移動源致內波的等相線理論[13].記(cpm)0為第m模態的內波臨界相速度,當內波激發源移動速度Us＞(cpm)0時,該模態內波只有散波;當Us＜(cpm)0時,該模態內波既有散波又有橫波.在本文實驗所獲密度分層流體的浮頻率剖面下,經計算可得前兩個模態的臨界相速度分別為18.1cm/s和3.7cm/s.本文實驗中拖曳速度的范圍為6—160cm/s,該速度范圍均大于第二模態及更高階模態內波的臨界相速度.因此,在本文實驗工況下,二階及更高階模態內波只有散波.

在圖8中,給出了model B在不同速度下運動產生內波時空形態特征的實驗結果.其中,前6個速度為轉捩前的情況,后4個速度為轉捩后的情況,Lee波峰值對應速度Up=14cm/s,臨界速度Uc=50cm/s.此外,圖中橫坐標為水槽寬帶方向,范圍為[?0.55,0.55](單位為m),縱坐標為時間,范圍為[0,120](單位為s).

首先分析轉捩前的內波時空形態特征.當U=6,8,10cm/s時,可以觀察到兩個模態的波系,其中外層波系為第二模態內波,由于U＞(cp2)0,因此只有散波,且張角變化較小;內層波系為第一模態內波,由于U＜(cp1)0,因此既有散波也有橫波,且散波張角隨速度的增大而增大.當U=14cm/s時,第二模態內波很弱,主要為第一模態內波,由于此時U仍小于(cp1)0,第一模態內波既有散波也有橫波.當U=20,34cm/s時,由于U＞(cp1)0,因此第一模態內波只有散波,而且其張角隨U的增大變化較小.

在轉捩后,實驗模型的速度均大于(cp1)0.根據等相線理論[13],此時內波將只有散波而沒有橫波.但由圖8(g)—(j)可見,轉捩后的內波既有散波又有橫波,而且隨著拖曳速度的增大,其空間形態特征變化較小.進一步觀察圖8(e)—(f),可以發現:在轉捩前內波時空形態特征圖中,也存在這種既有橫波又有散波且空間形態特征變化較小的內波,而且隨著拖曳速度的增大,其影響逐漸顯著.由此可見,轉捩后尾跡效應內波為主控內波,其主要特征表現為:既有橫波又有散波,而且內波時空形態特征相似.同時,在轉捩前,雖然體積效應內波為主控內波,但在拖曳速度較大時,尾跡效應內波也是存在的.由圖8還可發現,轉捩前,體積效應內波關于水槽中縱剖面是對稱的;轉捩后,尾跡效應內波關于中縱剖面是不對稱的.

圖8 model B在不同速度下的內波時空波形結構Fig.8.Time-space internal wave patterns at different towing speeds for model B.

5 理論計算與實驗結果比較

體積效應內波的產生機制可歸結為物體本身及其回流區產生的排水效應,由于這兩類激發源均跟隨物體一起運動,因此體積效應內波相對于物體的運動是定常的.尾跡效應內波的產生機制較為復雜,包括湍流渦激發的隨機內波,尾跡塌陷產生的內波以及晚尾跡擾動產生的內波等.本文實驗結果表明:當Fr＜Frc時,體積效應內波為主控內波;當Fr＞Frc時,體積效應內波會迅速衰減直至消失,此時尾跡效應內波會取代體積效應內波而成為主控內波.而且尾跡效應激發源并不跟隨物體一起運動,其運動速度要遠小于模型的拖曳速度,其密度擾動具有時空隨機性.在利用(14)—(16)式計算運動物體的激發內波垂向位移場時,移動源的速度Us、回轉直徑2b(或2b1與2b2)、長度2a等是關鍵參數.本節嘗試利用上一節實驗結果,分別對轉捩前的體積效應內波激發源和轉捩后的尾跡效應內波激發源的參數設置給出具體確定方法,并與實驗結果進行比較分析.

5.1 轉捩前比較

首先確定轉捩前的等效源參數.已有研究[2,20]和本文實驗結果均表明:轉捩前,內波相關速度Uiw等于物體拖曳速度U,內波的運動相對于拖曳體是定常的,因此移動源的速度Us可取為Us=U,這時內波的激發源就是物體的體積效應.

等效源的幾何尺寸與運動物體尺寸及其尾部流場是相關的.針對拖曳球的實驗結果,Robey[2]設計了一個圓柱體形等效源,轉捩前,取移動源回轉直徑2b=D(球直徑)與長度2a=3D這兩個幾何尺寸,后者所得計算結果與實驗結果符合更好.尤云祥等[20]改進移動源的表達,轉捩前,仍取移動源的回轉直徑2b=D,但將長度取為2a=c(2Fr)nD,其中,常數c和n取三組不同組合,得到計算結果更加符合Robey實驗結果.目前對細長體激發體積效應內波的激發源的尺寸設置未見報道.考慮到拖曳體尾部仍有一定長度的跟隨物體一起定常移動的分離泡,為簡化處理,將分離泡的長度取為2D,因此,本文對細長體的體積效應內波激發源的尺寸設置如下:

圖9即為轉捩前利用本文(14)式的橢球回轉體模型和(20)式中等效源的尺寸參數獲得的內波垂向波高計算結果與實驗結果比較圖,同時給出了等效源的長度恰為拖曳體長度的計算結果.由圖9可知,對于model A,無論從波高值上,還是Lee波峰值對應速度Up的預報上,a/b=3的計算結果比a/b=1的計算結果與實驗結果的符合程度更高.這意味著,拖曳球的體積效應不僅包含其體積本身,還包含跟隨它一起做固定移動的分離泡,與已有的研究結果相一致[2].對于本文中研究的細長體,根據理論模型,以a/b=5和a/b=8的假設所得結果分別與model B和model C的實驗結果符合程度更高,即細長體的等效源長度恰好與其本身長度相等,并不需要在模型中考慮分離泡的作用.對這種現象的一個合理的解釋是:本研究中的細長體頭部和尾部均為流線型,其尾流中分離泡的作用區域和強度都要小于球體的尾流,故在設定模型參數時,并不需要額外增加長度.

綜上所述,對拖曳球的體積效應的模擬,等效源的尺寸取為a/b=3比a/b=1更為合理;對本文具有流線型頭部和尾部的細長體模型的體積效應的模擬,等效源的尺寸取為a/b=λ更為合理.

圖9 轉捩前實驗與計算所得內波波高比較Fig.9.Comparison of experimental and numerical internal wave height before the transition.

下面比較分析移動源產生內波波形結構與波系分布等特征.圖10給出了model A在轉捩前6個速度下,由(14)式計算獲得的內波垂向位移的波形結構圖,同時給出了實驗結果.其中,計算波形圖為前三個模態的計算結果.圖中橫坐標和縱坐標的說明與圖8一致.由圖10可知,從波形結構和波系分布角度,兩者符合都很好.計算結果沒有邊壁反射,比實驗波形結構圖更加清晰.當U=6,8,10cm/s時,可以明顯地觀察到兩個模態的波系,其中外層為第二模態的波,由于U＞(cp2)0,因此只有散波;內層為第一模態的波,由于U＜(cp1)0,因此既有散波也有橫波.當U=14,18cm/s時,第二模態內波逐漸減弱,當U=18cm/s時,第二模態內波幾乎不可見;隨著拖曳速度的增大,第一模態內波張角逐漸增大,由于此時U仍小于(cp1)0,因此既有散波也有橫波.當U=20cm/s時,由于U＞(cp1)0,因此只有散波,而實驗波形圖中間隱約出現一類張角較小的波系,該波系既有橫波也有散波,這一波系在計算波形圖中沒有體現,這是尾跡效應內波逐漸顯現所造成的.但從相關波速上看,仍然以體積效應內波為主,這也說明了圖9中理論模型預測結果與實驗結果符合很好但稍有差異的原因.其他兩個細長體模型的比較規律類似,鑒于篇幅,不再贅述.

圖10 model A轉捩前實驗與計算所得波形圖比較Fig.10.Comparison of experimental and numerical internal wave pattern before the transition for model A.

為進一步比較計算與實驗的符合程度,從圖10中取出y=?0.2 m處的位移波動的時歷進行比較,如圖11所示,僅取前100 s的時歷進行分析.由圖11可知:當速度較小時,計算所得位移波動時歷在周期、相位和振幅上與實驗結果都符合很好,尤其是前5個周期內;當速度增大至U=18cm/s時,兩者在一段時間后出現差異,計算結果在約5個波動周期后趨于平靜,而實驗結果在整個時間歷程都存在波動,這是實驗模型尾部逐漸出現的尾跡效應內波所引起的.理論上,在(cp1)0＜U＜Uc時,計算波形圖中沒有橫波,而實驗波形圖中出現橫波,這是兩者在波形圖上產生差異的本質.盡管如此,從波高的量值及變化趨勢上,如圖9所示,計算結果與實驗結果符合很好.這意味著,轉捩前,本文理論模型及其參數設置在波高及其變化趨勢預測上是合理的,在波形預測上也是大致符合的.

圖11 model A轉捩前在y=?0.2 m處實驗和計算所得位移時歷比較Fig.11.Comparison of experimental and numerical time series at y=?0.2 m before the transition for model A.

5.2 轉捩后比較

其次確定轉捩后的等效源參數.已有研究[2?11]和本文實驗結果均表明:轉捩后,內波相關速度Uiw小于物體拖曳速度U,內波的運動相對于拖曳體是非定常的.因此移動源的速度Us可取為Us=Uiw,這時內波的激發源就是物體的尾跡效應.

尾跡效應內波激發源的尺寸與拖曳體尾跡中一類大尺度湍流相干渦結構相關.由文獻[5,6]可知,水下拖曳體尾跡中主控渦的Strouhal數St=fD/U=0.16—0.2,其中,f為主控渦的頻率.如果取St=0.16,那么可得主控渦的流向長度近似為,激勵頻率近似為,其中為主控渦移動速度.由文獻[11]和本文實驗結果可知,轉捩后內波相關速度Froude數Friw在一個條帶內變化,條帶均值約為1.0.為此,將Friw近似取為1.0,轉捩后內波相關速度近似為.將主控渦移動速度取為內波相關速度,即Ueddy=Uiw,那么可得f≈Nmax/(2π),這正好近似為密度分層流體最大浮頻率.Robey[2]取,則主控渦的流向長度近似為,轉捩后內波相關速度近似為0.8DNmax,將主控渦移動速度取為內波相關速度,仍可得f≈Nmax/(2π).

對移動源的回轉直徑,可用湍流尾跡增長公式進行估算[2]

其中c為待定常數.在Robey[2]圓柱體模型中,c=0.25;在尤云祥等[20]回轉橢球體模型中,c=0.4.兩者所使用的理論模型有所差異,因此系數有所差異,可見常數c是一個需要與實驗比較而確定的常數.而且在本文尾跡效應激發源理論模型中,既有正對稱組合源,也有反對稱組合源,因此與已有理論模型[2,20]是有區別的.這里,c1對應b1,反映正對稱組合源回轉直徑待定系數;c2對應b2,反映反對稱組合源回轉直徑待定系數.

對圖8中波形圖存在非對稱性這一現象,可通過對稱位置處時歷的和平均或差平均來獲取正對稱部分和反對稱部分的信號.為此,將Δz分解為關于y的偶函數和奇函數兩個成分:

(22)式中,Δzs關于y為偶函數,該函數描述關于水槽中縱剖面對稱的內波成分;Δza關于y為奇函數,該函數描述關于水槽中縱剖面反對稱的內波成分.

圖12給出了利用本文(15)式的正對稱源組合和(16)式的反對稱源組合模型獲得的拖曳體產生內波的垂向波高計算結果,同時給出了利用(22)式分解后的實驗結果.所有計算中,移動源的速度Us=10cm/s(在轉捩后相關速度范圍內),移動源的長度2a=5D.而對于移動源的回轉直徑2b的設置,根據(21)式,正對稱激發源中待定系數c1均為0.22;反對稱激發源中待定系數c2分別為0.32,0.29和0.29.由圖12可知,無論是正對稱的波高還是反對稱的波高,計算結果從趨勢預測上與實驗結果符合較好.對同一個實驗模型,系數c1＜c2,但正對稱的計算結果大于反對稱的計算結果,這正是(15)和(16)式中的激發源分別多出了2cos(kyb1)和2i sin(kyb2)乘積因子造成的結果.由此表明,從波高預測上,上述正反對稱源的組合設計是合理的.對于正對稱的計算結果與實驗結果的比較,3個實驗模型的系數相同,這進一步說明長徑比對正對稱的尾跡效應內波波高的影響很小.而對于反對稱的比較結果,細長體的系數略小于球體的,說明流線型的頭部和尾部結構使得細長體尾跡產生的反對稱內波成分略小于球體尾跡產生的反對稱內波成分.

下面比較分析移動源產生內波波形結構與波系分布等特征.以model C為例,圖13分別給出了當U=60,80cm/s時,由上述正對稱和反對稱激發源組合計算獲得的內波正反對稱波形圖,同時給出了由(22)式分解所得的正反對稱實驗波形圖.其中,正對稱計算波形圖中疊加了Us=U的體積效應內波.由圖13可知,轉捩后實驗波形圖中主要存在兩類V形波系,其中外層張角較大的V形波系相對于水槽中縱剖面是對稱的,這是體積效應內波的成分;內層張角較小的V形波系既有正對稱成分,也有反對稱成分,這是移動速度較慢的尾跡效應內波.正對稱源的計算波形圖在波形和波系上與實驗結果符合很好,但反對稱源的計算波形圖與實驗結果有些差異,但從圖12波高的預測上來看,反對稱等效源的設置仍然是合理的.

從圖13實驗結果還可進一步發現:轉捩后尾跡效應內波還會出現塌陷現象.但計算結果中并沒有反映出這一塌陷內波.實際上,運動物體激發內波成分是復雜的,尤其是轉捩后尾跡效應內波的激發源更是無法歸結為哪一類激發源,既有大尺度湍流尾跡產生內波,也有混合區塌陷產生內波,且在有限尺寸的水槽內,水槽邊壁導致的內波反射疊加,使得某些內波波系或增強或減弱,這也是理論計算無法預測的.

圖13 model C轉捩后實驗與計算所得波形圖比較Fig.13.Comparison of experimental and numerical internal wave pattern after the transition for model C.

6 結 論

在具有密度躍層的分層流體中,采用沿水槽中縱剖面對稱布置電導率探頭陣列的方法,對1個球體和2個不同長徑比流線型細長體在拖曳運動下激發內波時空特性進行了系列實驗.結果表明:存在一個與長徑比為線性關系的臨界Froude數Frc,當Fr＜Frc時,拖曳體產生的內波相對于拖曳模型是定常的,這種內波稱為體積效應內波(Lee波);Fr＞Frc時,拖曳體產生的內波相對于拖曳模型是非定常的,且內波波形中既有正對稱成分也有反對稱成分,這種內波稱為尾跡效應內波.

根據實驗結果,從內波激發源的角度,采用在線性化質量方程中添加一個具有一定移動速度和體積的等效源的方法,結合內波垂向位移特征值問題,利用Fourier變換,建立了計算不同長徑比拖曳體生成內波垂向位移場的一種理論模型.

針對不同長徑比拖曳體生成體積效應內波,提出了計算移動源速度、回轉直徑和長度的方法;針對尾跡效應內波中既有正對稱也有反對稱這一特性,提出了正對稱和反對稱的等效源組合方法及其相應的參數設置方法.利用上述方法獲得的內波波高、波形結構和波系分布等計算結果,與實驗結果均符合良好,表明所建立的理論模型及其參數設置是合理的和有效的.

實際潛艇通常是靠螺旋槳等推進裝置運動的,這時如何來確定兩類內波的轉捩特性,并如何設計移動源及參數設置等問題,將在后續研究中做進一步探索性研究.

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