基于糾纏見證的路徑糾纏微波檢測方法?

朱浩男 吳德偉 李響 王湘林 苗強 方冠

(空軍工程大學信息與導航學院,西安 710077)

1 引 言

近年來,國內外對量子領域的研究和探索取得了豐碩的成果[1?4].量子理論逐步走向成熟,大量理論成果都已經在試驗中得以驗證,并且部分技術已經能夠在工程中得以應用,最具代表性的是我國于2016年8月份成功發射的“墨子”號量子科學實驗衛星,用于研究基于糾纏光的量子保密通信技術;量子計算、量子雷達[5,6]等顛覆性技術的研究也在穩步進行中.目前,比光頻段頻率更低的微波頻段受到關注,開展了研究微波頻段的量子現象[7?9],并且已經取得了初步的成果,國外一些研究小組已經在實驗中產生了空間分離的連續變量糾纏微波信號[10?13],實現了路徑糾纏.

最常見的糾纏是光學中的糾纏光子對,屬于兩體糾纏,常見的有光子數糾纏和光子偏振糾纏.但光頻光子在傳播過程中受外部環境影響大,而微波信號的波長比光信號長,具有光信號所不具備的繞射能力以及能夠在復雜環境下傳播距離更遠的優勢.一個微波光子所具有的能量要遠低于光頻光子,對單個微波光子的探測要更加困難一些,通常對糾纏微波的探測是通過對大量微波光子群疊加形成的電磁場進行測量來完成的.

對于所制備出的兩路微波信號,如何驗證其處于糾纏態成為一個很重要的問題,本文提出一種基于糾纏見證的糾纏微波信號探測方法,通過構造出探測糾纏態的糾纏見證(entanglement witness)算符[14?16],并應用微波分束器[17]在物理上實現,進行路徑糾纏微波的探測.

2 路徑糾纏微波簡介

2.1 雙模壓縮微波光子對的糾纏形式

量子糾纏是量子力學中的一種奇特現象,糾纏粒子之間能夠表現出非定域的關聯性質.路經糾纏微波信號是在微波頻段內的量子糾纏,指分布在空間上處于分離狀態的兩個傳播路徑上,且能夠保持糾纏狀態沿著各自的路徑傳播到信息系統的任意兩個部件的糾纏微波場信號,這一現象也可以被認為是微波光子群之間的糾纏.在工程上使用路徑糾纏微波就是對微波光子群組成的電磁場的場強測量而非對微波光子的直接探測,這區別于糾纏光的使用.這里對路徑糾纏微波進行理論研究和特性分析時,仍然可以在微波光子數態[18]下進行.

制備非經典的微波雙模壓縮態,其中一種常見方法是使用約瑟夫森參量放大器(Josephson parametric ampli fier,JPA)實現,約瑟夫森參量放大器實現的哈密頓量相互作用可以作為參量下轉換哈密頓量,真空態在約瑟夫森參量放大器的作用下產生雙模壓縮真空態[19].

可以定義電磁場模式的正交分量為

式中Xa,Pa分別代表a模電磁場的正交振幅分量和正交相位分量;Xb,Pb分別代表b模電磁場的正交振幅分量和正交相位分量.

當抽運作用在電磁場和頻率為νa+νb時,在約瑟夫森混合器的雙模壓縮作用下產生a模和b模的雙模孿生光子對,這對糾纏微波光子輸入輸出的正交分量有如下的關系:其中分別代表輸入端a模和b模的正交振幅分量;分別代表輸入端a模和b模的正交相位分量;分別代表輸出端a模和b模的正交振幅分量,分別代表輸入端a模和b模的正交相位分量.

由于輸入為真空態,因此對上等式兩邊求二階期望得到:

可見輸出a,b模的X分量是正相關,P分量是反相關的.由于a,b模微波光子的相位為

因此也可以認為這對糾纏微波光子的相位是共軛的.

根據上面對雙模壓縮產生的孿生光子對的分析,雙模壓縮態產生a模和b模孿生微波光子對有著相互共軛的相位;當單獨測量a模光子時它的相位是完全隨機的,因此對a模微波光子進行測量會使得其依概率隨機塌縮至任意相位,則與之糾纏的b模微波光子會同時塌縮到共軛的相位,使得正交分量的測量結果在X分量是正關聯,P分量是反關聯的.并且,這種相位上的糾纏屬于連續變量糾纏,可以表述為

對大量的微波光子構成的電磁場來說,由于場強是大量光子矢量的疊加,雖然對于大量a或b模光子,由于隨機起伏的正交分量是矢量線性疊加的,導致它們正交分量幅度出現隨機的變化,但a,b模光子群正交分量的關聯性不變,起伏幾乎完全一致,使得總體的電磁場的X分量正相關,P分量反相關.

2.2 路徑糾纏微波的制備方式

路徑糾纏微波的制備方式目前有利用約瑟夫森參量轉換器的制備方案、利用微波頻段HOM效應的制備方案、利用威爾金森功分器的制備方案、利用約瑟夫森參量轉換器的制備方案和利用超導180°混合環的制備方案等.制備路徑糾纏微波的關鍵就是制備壓縮態的微波信號和用微波分束器對壓縮態微波中的微波糾纏光子對進行分離.上面提到的超導180°混合環、威爾金森功分器，基于約瑟夫森結的約瑟夫森混合器等[17]均可作為制備路徑糾纏微波的微波分束器.

下面以采用超導180°混合環制備糾纏微波方案為例，對使用微波分束器分離糾纏光子對來制備路徑糾纏微波的方法進行簡單介紹。如圖1所示，約瑟夫森參量放大器產生的壓縮態信號[20]和50 ?負載產生的熱態作為超導180°混合環的兩路輸入信號，超導180°混合環有四個端口，其中兩個為輸入端，兩個為輸出端。兩路輸入信號分別從輸入端口進入混合環，在其內部產生干涉效應[21]，通過調節超導環周長，使兩路輸入信號在端口A,C處產生相消干涉，而端口B,D處產生相長干涉，進而在兩個輸出端口得到兩路路徑糾纏微波信號[17]，其輸入輸出關系為：

圖1 超導180°混合環產生路徑糾纏微波示意圖Fig.1.Schematic diagram of using superconducting 180 degree hybrid ring to generate path-entangled microwave signals.

3 兩種常見糾纏形式糾纏見證的構造

在制備出路徑糾纏微波以后,要驗證所得到的兩路信號是否為糾纏態成為一個關鍵的問題,這顯然是對兩體糾纏的探測.已有的糾纏探測判據中,比較著名的有糾纏見證[14]和部分轉置正定(positive partial transpose,PPT)判據[22].

糾纏見證是一種可以在物理上直觀實現的糾纏探測方式,糾纏見證算符W滿足以下三個條件:1)至少有一個負本征值;2)對所有純直積態都具有非負期望值;3)Tr(W)=1.假如量子態ρAB是可分態,那么它具有非負平均值Tr[WρAB]≥0;假若量子態ρ為糾纏態,其可以被W探測,得到Tr[WρAB]＜0.

PPT判據由Asher Peres于1996年提出,對于一個包含兩個子系統的量子系統ρAB,若對其中一個子系統做部分轉置后得到的矩陣仍然是一個密度矩陣,即有非負本征值,則這個量子態為可分態;而對于糾纏態,對其中一個子系統做部分轉置后得到的矩陣是非正定的,有負本征值.

下面將根據PPT判據,分別對常見的兩種2?2糾纏進行糾纏見證算符的構造,并給出它們對應的糾纏見證算符形式.

3.1 |ψ〉=A|01〉+B|10〉形糾纏見證算符的構造

下面將結合PPT判據來構造2?2量子態的糾纏見證算符,據此探測兩路信號是否糾纏.一種常見的兩比特糾纏態為

其中|ψ〉=A|01〉+B|10〉,A,B為復系數即概率幅,且|A|2+|B|2=1.

此量子態是部分轉置非正定的,是一個糾纏態.因此密度矩陣的部分轉置ρT?I就有負的本征值,并且設其對應的歸一化本征態為|e?〉,即

因此有

由糾纏見證算符的定義,顯然|e?〉〈e?|T?I可作為糾纏態ρ=|ψ〉〈ψ|的糾纏見證,糾纏見證算符W為

在上述過程中,我們可以得到:

由此得到負本征值對應的本征態為

設在上述糾纏態中,系數A,B的相位差為φ,因此W的形式如下:

我們發現,若上述相位差φ=π時,即系數A,B反相時,糾纏見證算符W就等效于一個厄米交換(SWAP)算符V,其表述如下:

其中|x〉,|γ〉分別表示兩個量子態.

3.2 |ψ〉=A|00〉+B|11〉形糾纏見證算符的構造

對于另一種常見的兩比特糾纏態為

其中|ψ〉=A|00〉+B|11〉,且|A|2+|B|2=1. 其部分轉置矩陣ρT?I矩陣為

可以得到負本征值對應的本征態為

同樣的上述糾纏態中,當系數A,B的相位差?=π時,因此糾纏見證W′的形式如下:

綜上,兩種不同糾纏態糾纏見證算符是有所差異的,同時彼此之間也有一定的聯系,第一種糾纏態的糾纏見證W可以用一個受控SWAP門[23]來實現,在受控SWAP門之前再添加一個量子門I?X,使得I?X門和受控SWAP門的串聯線路等效于W′作為第二種糾纏態的探測線路,其本質是先將第二種糾纏轉化為第一種糾纏形式,然后用受控SWAP門來實現糾纏探測,其線路圖如圖2所示.

圖2 第二種糾纏轉化為第一種糾纏的量子線路Fig.2.A quantum circuits to convert the second type entanglement into the fi rst one.

4 應用微波分束器進行路徑糾纏微波信號的探測

4.1 路徑糾纏微波的糾纏見證

路徑糾纏微波的糾纏是屬于兩體連續變量糾纏,并且糾纏形式為空間分離的糾纏微波光子對相位上的共軛,假如其中一個微波光子塌縮至α相位,那么與之相糾纏的微波光子必然塌縮至相位α?.由于在制備糾纏微波時,雙模壓縮真空態的壓縮幅度會受到實驗設備和外部環境等因素的限制而不會達到無窮大,所以糾纏微波光子對所塌縮的相位并不會完全精確地共軛,而是會有很小的誤差.因此實際中所制備糾纏微波的糾纏態維度并不會達到無窮大,可以把它看作是兩體多維的糾纏態:

其中r,t分別表示糾纏微波光子對空間分離后傳播的兩個不同路徑;N為糾纏的維度,會受到雙模壓縮真空態壓縮幅度的影響,壓縮幅度越大,N也就越大.

接著對路徑糾纏微波態做進一步的整理,根據前面的討論,單獨一路中路徑微波光子的相位為α∈[0,2π),令相位βi=α?i,則路徑糾纏微波的糾纏形式可以重新表述為

通過上式的表述,利用共軛相位的對稱性可以將微波糾纏態分解為無限維的(|01〉+|10〉)形2?2糾纏的疊加態.(|01〉+|10〉)形糾纏的糾纏見證算符為:

因此上述糾纏見證算符也能夠作為大量(|01〉+|10〉)形糾纏疊加構成的路徑糾纏微波地探測.

4.2 應用微波分束器構造糾纏見證

使用微波分束器作為干涉儀構造SWAP門,可以實現上述的糾纏探測方法,此方法能夠在物理上進行直觀觀察.微波分束器不僅可以用來進行路徑糾纏微波的制備,同樣可以用來進行路徑糾纏微波的探測和驗證.其主要的過程為將兩路糾纏的微波信號通過兩個端口送入微波分束器后,然后對兩個輸出端口進行微波光子符合計數,通過符合計數率來觀察兩路信號是否糾纏.

下面在微波光子數態表象下進行理論上的推導,介紹利用微波分束器構造糾纏見證算符的具體過程.

1)首先將兩路量子態微波信號分別從兩個入口輸入微波分束器,所輸入的量子態可以表示為

其中r,t分別表示兩個輸入路徑.

2)兩路路徑糾纏微波信號送入微波分束器后,經過微波分束器的作用,把兩個輸出信號路徑設為u,d,可以得到如下的輸出態:

3)接下來對u,d兩端口輸出的信號進行微波光子的符合計數,符合計數是當兩路的計數器同時有光子計數時,進行一次微波光子計數.在這里通過微波光子的符合計數,目的在于去除路徑為u,u和d,d部分的信號,即(23)式中

部分,而只留下傳輸路徑為u,d和d,u的信號,得到的量子態為

最終得到輸出的末態為

兩路信號經過微波分束器和微波光子符合計數的過程,末態中出現了厄米交換算符V.

圖3 應用微波分束器進行路徑糾纏微波檢測示意圖Fig.3.Schematic diagram of using microwave beam splitter to detect path entangled microwave signals.

接下來對上述末態密度矩陣進一步分析,由于在最后符合計數過程中沒有對輸出信號進行偏正測量,因此符合計數的結果就正比于末態|ψf〉密度矩陣的跡.末態密度矩陣為

對密度矩陣ρ′求跡可以得到

可見通過微波分束器可以得到厄米交換算符V作用在微波量子態密度矩陣上得到Tr[Vρ]的值,而根據前面分析,算符V是(|01〉?|10〉)形糾纏的糾纏見證算符,因此通過微波分束器就能夠在物理上實現對此形式糾纏的探測.根據Tr[Vρ]實部的正負可以判斷所輸入的量子態是否(|01〉?|10〉)形糾纏,能夠看出若兩路量子態是可分態或不是此類形式的糾纏,則Re{Tr[Vρ]}≥ 0使得Tr[ρ′]小于或等于1;若信號糾纏是這一形式糾纏,則Re{Tr[Vρ]}＜0使得Tr[ρ′]大于1,并且兩路信號的糾纏度越大,則Tr[ρ′]越大,導致微波光子的符合計數率越高.直接得到Re{Tr[Vρ]}的正負信息比較困難,可以通過先后輸入兩路功率相同的糾纏態和標準直積態微波信號,在輸出端使用進行微波光子符合計數,通過對微波光子計數率進行對比來判斷Re{Tr[Vρ]}的正負,即觀察輸出端兩路是否發生微波光子計數率的翻轉,來判別所制備的量子態是否為(|01〉?|10〉)形糾纏態.

在實際的工程中,單個微波光子的能量很弱,導致很難對微波光子進行單光子計數.為了解決這一問題,需要改變對量子態微波的測量方式.我們知道光子的符合計數率正比于二階關聯函數〈Ir(t)It(t)〉, 這里Ir(t),It(t)分別為r,t兩路的瞬時光強,瞬時光強又正比于這一時刻場強的平方.這樣對同一時刻兩路信號場強的平方做互相關,兩路信號場強平方的互相關值的大小就正比于兩路微波光子的符合計數率的大小.這樣就把較為困難的微波光子數測量轉化為對場強的測量,減小了處理難度.

目前,已有研究者應用上述類似方法在光學上進行了偏振糾纏態的檢測[24];國外研究者通過構造的驗證矩陣是否含有負特征值進行了糾纏微波的檢測[10].

4.3 路徑糾纏微波的糾纏見證的物理實現

在前面的分析中,應用微波分束器可以構造出(|01〉?|10〉)形糾纏的糾纏見證算符V.而路徑糾纏微波的糾纏形式為

這是N/2個(|01〉+|10〉)形糾纏的疊加,所以微波分束器并不能夠直接作為糾纏微波的探測.這就需要其他的量子器件與微波分束器結合起來實現路徑糾纏微波的檢測,通過觀察可以發現,若能夠把糾纏微波的糾纏形式變為

則成為多個(|01〉?|10〉)形二維糾纏的疊加態,這樣就能夠應用微波分束器來進行糾纏探測了.

實現這一轉換過程需要對路徑t的微波量子態進行連續變量量子邏輯操作,使t路徑微波光子相位在[0,π),即微波光子的Pb分量大于零時,對微波光子進行反相操作,其余情況下不做變化.這個過程可以認為是連續變量的受控相位門,如何在物理上實現這個量子態轉換過程目前也有一定的難度,這也有待于實現量子計算的器件進一步發展.綜上所述,利用連續變量受控相位門與微波分束器的串聯量子線路,就能夠在物理上實現路徑糾纏微波的探測.

5 總結與展望

本文介紹了利用約瑟夫森混合器制備非經典雙模壓縮態微波的原理,并通過諧振器或微波分束器將糾纏的光子對分離產生路徑糾纏微波的方法.接著結合PPT判據和糾纏見證的定義,推導了兩種2?2糾纏態的糾纏見證算符的形式.然后將連續變量糾纏的微波糾纏態進行分解,把糾纏微波看作多個2?2糾纏疊加的糾纏態,并由此證明利用連續變量受控相位門與微波分束器的組合電路能夠在物理上構造路徑糾纏微波的糾纏見證算符,用于路徑糾纏微波的檢測方法,并對試驗結果進行了理論上的分析.本文提出的糾纏微波檢測方法相比于量子態重構,態估計等糾纏檢測方法更加簡便直觀,一定程度上減少了計算操作,并有更大的容許誤差.

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