淺談數形結合思想在解題過程中的應用

陳虎

【摘要】數形結合滲透于中學教材之中，高中數學的幾乎每一章節都有以數形結合的形式出現的問題，成為貫穿高中新課程的主線之一，從高中課程中知識點為主線思考數形結合思想在解題過程中的應用，希望能起到拋磚引玉的作用。

【關鍵詞】數形結合 高中數學 應用 數形結合就是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來進行思索，使抽象思維與形象思維結合，通過“以形助數”或“以數解形”，從而利用數形的辯證統一，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。數形結合滲透于中學教材之中，高中數學的幾乎每一章節都有以數形結合的形式出現的問題，成為貫穿高中新課程的主線之一，同時數形結合是歷年高考重點內容之一。

第一，在集合部分，表示集合的圖示法。在解集合題時，可以通過圖示法（如韋恩圖、數軸、坐標圖像）直觀展現集合與集合、集合與元素間的關系，使問題直觀化、形象化。

評析：本題是集合運算的逆向問題，畫圖使得解題過程快速直觀。

第二，在函數部分，圖像都是從“形”的方面來表示函數關系，形象地顯示了函數的單調性，奇偶性等性質，為研究函數數量關系問題提供了“形”的直觀性，而函數的“數”則為函數圖像提供了理論依據和證明，在解決一些抽象的函數問題時，要充分發揮圖像的直觀作用，把函數問題轉化為幾何問題，實現數形轉換。

在解決與方程的根有關的問題、反函數問題、函數的單調性問題、比較數值大小問題中應用數形結合的思想可以使問題的解決得到簡化.

例2.已知方程|x2-4x+3|=m有4個根，則實數m的取值范圍。

分析：此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個數，而求方程的根的個數問題可以轉化為求兩條曲線的交點的個數問題來解決。

解：方程|x2-4x+3|=m根的個數問題就是函數y=|x2-4x+3|與函數y=m圖像的交點的個數。

做出拋物線y=x2-4x+3=（x-2）2-1的圖像，將x軸下方的圖像沿x軸翻折上去，得到y=x2-4x+3的圖像，再作直線y=m，如圖2所示：由圖像可以看出，當0

評析：數形結合可用于解決方程的解的問題，準確合理地作出滿足題意的圖像是解決這類問題的前提。

畫出函數的草圖（圖3），由圖像可知，函數的單調遞增區間為（-∞，0]，[1，+∞），函數的單調遞減區間為[0，1]。

評析：在解決函數的單調性有關問題時，我們常需要先確定函數的單調性及單調區間，數形結合是確定函數單調性常用的數學思想，函數的單調區間形象直觀地反映在函數的圖像中。

例4.設函數f（x）=|lgx|，若0f（b），證明：ab<1。

分析：f（x）=|lgx|的圖像如圖4，由0f（b）可知必有0

證明：（1）當時0

（2）當時0

F（a）-f（b）=|lga|-|lgb|=-lga-lgb=-lgab>0，即lgab<0

∴ab<1

第三，在不等式部分，從不同角度構造函數或不等式的幾何意義，讓不等式的解集直觀地表現出來，體現出數形結合的思想，給我們以“柳暗花明”的解題情境。 第四，在向量部分：向量具有二重性，一方面具有“形”的特點，如向量及其運算的幾何意義；另一方面雙具有一套優良的運算性質。因此，數形結合思想在這類問題中應用，可將與向量的有關問題結合其幾何意義有時可轉化為一個幾何問題來處理，同時某些幾何問題也可以轉化為向量問題來解決。

第五，許多線性規劃問題，極值問題，存在著圖形背景，借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，通過圖形給出直觀的幾何描述，啟發思維，解決問題。由于篇幅關系不在再舉例說明。

綜上所述，數具有抽象概括的特點，形具有直觀形象的特點，在解決某些數學問題時，如能注意數形結合，想互補充，往往會收到事半功倍的效果。

參考文獻：

[1]章士藻.中學數學教育學.江蘇教育出版社.

[2]高中復習新構想——數學.光明日報出版社.