滑動軸承支撐下齒輪耦合轉子系統彎扭耦合振動特性分析

李同杰，靳廣虎，朱如鵬，安魯陵

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滑動軸承支撐下齒輪耦合轉子系統彎扭耦合振動特性分析

李同杰1, 2，靳廣虎1，朱如鵬1，安魯陵1

(1. 南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京，210016； 2. 安徽科技學院 機械工程學院，安徽 滁州，233100)

在綜合考慮齒輪副齒側間隙以及滑動軸承的油膜力等非線性因素的基礎上，建立滑動軸承?雙轉子?齒輪耦合系統的非線性動力學模型。通過數值仿真的方法研究耦合系統參數對齒輪副嚙合沖擊特性的影響規律，以及系統穩定性隨轉速的分岔規律。研究結果表明，滑動軸承的油膜對齒輪耦合轉子系統的混沌運動具有顯著的鎮定作用；滑動軸承間隙以及轉子質量偏心設計不當將會導致系統齒輪副產生單邊沖擊現象。

齒輪耦合轉子；滑動軸承；耦合非線性動力學模型；嚙合沖擊；分岔

齒輪耦合轉子系統是各種傳動系統的核心部分，其動特性的優劣直接影響著減速器的運行品質，所以齒輪轉子的研究一直都是一個學術熱點[1?8]。由于大型減速器基本上都是采用滑動軸承支撐，所以把滑動軸承集成到齒輪耦合轉子系統模型中，研究滑動軸承?齒輪?轉子耦合系統的動力學就具有重要的工程應用價值。該耦合系統的早期研究多以線性模型為主，或者僅僅考慮某單一方面的非線性因素，例如在對滑動軸承的處理上，眾多學者把軸承假設為支撐力隨轉子橫向位移線性變化的線彈性軸承[9?10]；在對齒輪嚙合力的處理上，忽略了齒側間隙可能導致的齒輪副的嚙合沖擊非線性[11?12]。同時綜合考慮了滑動軸承油膜力非線性以及齒輪副嚙合沖擊非線性的研究較少。BAGUET等[13]利用有限元研究了單對齒輪?轉子?軸承耦合模型，考慮了非線性時變剛度和非線性支撐，對比了非線性支撐和線性支撐下系統動態響應之間的區別，并研究了軸承和齒輪載荷的動態特性。THEODOSSIADES等[14]研究了油膜力和嚙合力共同作用下齒輪耦合轉子系統的動態響應，分析了油膜穩定性，研究了不同參數組合下系統的幅頻響應。GAO等[15]在綜合考慮了齒側間隙、傳動誤差和時變嚙合剛度等非線性因素的基礎上，研究了滑動軸承與滾動軸承混合支撐下匯流傳動齒輪轉子系統的運動分岔特性。然而，目前針對滑動軸承支撐下齒輪耦合轉子系統振動特性的研究還不完善，尤其是滑動軸承非線性油膜力對齒輪副嚙合沖擊特性的影響規律方面的研究尚未見報道。本文作者將綜合考慮滑動軸承的非線性油膜力以及齒輪副的嚙合沖擊力等非線性因素，建立滑動軸承支撐下齒輪耦合雙軸轉子的集中參數形式的非線性動力學模型，推導系統關于齒輪副嚙合點相對位移的運動微分方程，通過數值仿真的手段初步研究滑動軸承非線性油膜力對齒輪副嚙合沖擊特性的影響，并對系統運動狀態的穩定性隨轉速的分岔規律進行研究。

1 動力學模型

滑動軸承支撐下齒輪耦合雙軸轉子系統的非線性動力學模型如圖1所示。

圖1(a)中，主動轉子(下標1標注)以及從動轉子(下標2標注)均受滑動軸承支撐，主、從動齒輪均固定于轉軸跨中，2個轉子均為Jeffcott轉子，即轉子的2個軸頸運動規律完全對稱?；瑒虞S承作用給轉子的非線性油膜力分解到固定坐標x和y(=1, 2)上的投影分別為F，F；表示相應齒輪的齒數，表示相應轉子所承受的扭矩。每個轉子的平面運動均存在2個橫向振動位移(,)和1個扭轉振動位移，這樣整個系統的動力學描述就需要6個廣義坐標，即(1,1,1,2,2,2)。為齒輪副的嚙合力，齒輪副的時變嚙合剛度以及齒側間隙決定了分段非線性力的本質；為轉子質量偏心；為轉子的偏心變化相位；為轉子的轉動角速度；g為轉子重力；b為齒輪基圓半徑；為齒輪壓力角。

運用剛體平面運動微分方程可以建立系統廣義坐標(1,1,1,2,2,2)下的運動微分方程，如式(1)所示。

圖1 滑動軸承支撐下齒輪耦合雙軸轉子系統的非線性動力學模型

不考慮動力學模型中轉子所承受外扭矩的波動，即扭轉振動方程中的外扭矩1和2為定值；相較于嚙合力而言，重力對各自齒輪產生力矩的轉動效應非常微弱，所以扭轉振動方程中忽略了重力對齒輪回轉中心的力矩。按照齒輪傳動的物理關系，有傳動比=2/1，21，1=101，2=202，其中，0為初始相位。

1.1 齒輪副嚙合力的非線性表達

齒輪副動態嚙合力與嚙合點的相對位移有關，為了方便表達，引入齒輪副嚙合點的相對位移

式(2)關于時間2次求導后，結合方程(1)可得齒輪副嚙合點相對位移的振動微分方程

這樣，齒輪副的動態嚙合力可以表達為

式(4)中，近似按矩形波周期時變的嚙合剛度()可以展開成為以齒輪副嚙頻(=11)為基頻的Fourier級數，取一次諧波項為

其中：m為嚙合剛度的均值，a為嚙合剛度波動幅值，為剛度波動初相位。

式(4)中的間隙非線性函數(,)充分考慮了齒輪副可能會出現的3種嚙合狀態，即正常嚙合、空嚙合以及齒背嚙合[16]

1.2 滑動軸承油膜力的非線性表達

作用在轉子軸頸上的非線性油膜力F，F經Sommerfeld 系數可實現量綱一化，即

國內外專家學者的研究發現，滑動軸承的量綱一油膜力與轉子徑向位移以及徑向速度成非線性關 系[17?18]，其表達如式(8)所示：

式中：

1.3 相對坐標下的量綱一化方程

2 運動狀態穩定性的分岔特性

仿真案例中的基本參數如下：齒輪模數=3 mm，齒輪1=40，2=80，齒輪壓力角=20°，齒側間隙=10 μm，主動輪轉子質量1=10.6 kg，從動輪轉子質量1=14.6 kg，主動轉子半徑1=20 mm，從動輪轉子直徑2=30 mm，根據減速器滑動軸承參數的工程取值范圍[19]，軸承半徑相對間隙取=0.2‰~1.5‰，軸承寬徑比/=2，潤滑油動力黏度=0.018 N·s/m2。

忽略系統質量偏心的影響(1=2=0)，方程(9)就退化為僅受齒輪副嚙合頻率激勵的非光滑非線性系統。取主動轉子軸承半徑間隙為1=20 μm，從動轉子軸承半徑間隙為1=30 μm，考查主動轉子轉速1在500~900 rad/s之間變化時系統運動狀態穩定性的分岔規律。

圖2表明：總體上，在500~810 rad/s之間的低速區間系統振動呈現周期狀態，在810~900 rad/s之間的高速區間內系統振動呈現復雜運動狀態。

圖2 非線性油膜力作用下系統全局分岔圖

圖3 線彈性軸承支撐下系統的全局分岔圖

在500~810 rad/s的低速區間內，隨著轉速的變化系統的周期運動的形態也不是一成不變的。在轉速區間500~610 rad/s內，系統振動表現為周期一狀態，其中當1=550 rad/s時，周期一運動的時域圖、相圖以及Poincare?截面圖如圖4所示；在轉速區間610~ 690 rad/s內，系統振動以周期二狀態為主，期間出現了短暫的周期三運動狀態，當1=620 rad/s時，周期二運動的時域圖、相圖以及Poincare?截面圖如圖5所示；在轉速區間690~740 rad/s內，系統振動又回到周期一狀態，當轉速增大到740~810 rad/s區間，周期一運動又分岔為周期三運動，其中當1=770 rad/s時，周期一運動的時域圖、相圖以及Poincare?截面圖如圖6所示。圖7所示為1=900 rad/s時，系統復雜運動的時域圖、相圖以及Poincare?截面圖，其中Poincare?截面圖所呈現的封閉圈說明發生在810~900 rad/s高速區間的復雜運動為擬周期運動。

圖8所示為1=680 rad/s時，線彈性軸承支撐下齒輪耦合轉子系統穩定運動的時域圖、相圖以及Poincare?截面圖，其中Poincare?截面圖所呈現的分形現象說明線彈性軸承支撐下齒輪耦合轉子系統的復雜運動為混沌。

圖4 ω1=550 rad/s時滑動軸承齒輪耦合轉子系統穩定運動吸引子的形態

圖5 ω1=620 rad/s時滑動軸承齒輪耦合轉子系統穩定運動吸引子的形態

圖6 ω1=770 rad/s時滑動軸承齒輪耦合轉子系統穩定運動吸引子的形態

圖7 ω1=900 rad/s時滑動軸承齒輪耦合轉子系統穩定運動吸引子的形態

圖8 ω1=680 rad/s時線彈性軸承支撐下齒輪耦合轉子系統穩定運動吸引子的形態

綜合以上仿真圖形分析可知：在較低轉速的工況下，滑動軸承支撐下齒輪耦合轉子的振動表現為形態各異的周期狀態，在較高轉速工況下系統振動則會呈現出擬周期運動形態；滑動軸承油膜力對齒輪耦合轉子的混沌運動具有顯著的鎮定作用。

3 系統參數對齒輪副嚙合沖擊特性的影響

3.1 滑動軸承間隙的影響規律

固定轉速1=720 rad/s，轉子質量偏心=0，為了研究方便，主從動轉子滑動軸承間隙取同一值，即1=2=。圖9所示為不同滑動軸承間隙下系統齒輪副動態嚙合力的波動規律。

從圖9可以看到：當軸承間隙=100 μm時系統齒輪副能夠正常嚙合；當軸承間隙減小到=10 μm時系統齒輪副發生了單邊沖擊現象，即齒輪副出現了空嚙合到正常嚙合的循環沖擊現象；當軸承間隙繼續減小到=8 μm時，系統齒輪副的單邊沖擊現象進一步加劇。以上仿真結果說明：滑動軸承間隙對齒輪的嚙合狀態影響非常顯著，間隙選取不當可能導致齒輪單邊沖擊現象的發生。

在軸承間隙區間4~100 μm范圍內離散選取有限多個間隙點，重復數值計算得到每個軸承間隙值對應的齒輪副嚙合力波動的最小值，把上述數據點描成曲線即可獲得滑動軸承間隙對齒輪嚙合狀態具體的影響規律，如圖10所示。顯然，在4~12 μm之間的較小間隙區間內系統齒輪副動態嚙合力波動的最小值為0，意味著該軸承間隙區間內齒輪副出現了單邊沖擊現象；在12~100 μm之間的較大軸承間隙區間內齒輪副正常嚙合，并且隨著間隙的增大嚙合力波動的最小值按照一種上凸單調曲線遞增。

圖9 不同滑動軸承間隙時系統齒輪副的動態嚙合力

圖10 系統齒輪副最小嚙合力隨軸承間隙的變化規律

3.2 轉子偏心的影響規律

以下固定轉速1=720 rad/s，主從動轉子的軸承間隙均為50 μm，為了研究方便，主從動轉子的質量偏心假定為同一值，即1=2=。圖11所示為不同質量偏心下系統齒輪副的動態嚙合力的波動規律，

從圖11可以看到，當轉子質量偏心取=3.0 μm時系統齒輪副能夠正常嚙合；當質量偏心增大為=3.1 μm時系統齒輪副開始出現單邊沖擊現象；當質量偏心增大到=4.0 μm時，系統齒輪副的單邊沖擊現象進一步加劇。以上仿真結果說明，轉子質量偏心對齒輪的嚙合狀態也有著非常顯著的影響，間隙值選取不當可能導致齒輪副單邊沖擊現象的發生。

在轉子質量偏心區間0~4 μm范圍內離散選取有限多個偏心點，重復數值計算得到每個轉子質量偏心對應的齒輪副嚙合力波動的最小值，把上述數據點描成曲線即可獲得轉子質量偏心對齒輪嚙合狀態具體的影響規律，如圖12所示。顯然，在3.1~4.0 μm之間的較大質量偏心區間內系統齒輪副動態嚙合力波動的最小值為0，意味著該偏心區間內齒輪副出現了單邊沖擊現象；在0~3.0 μm之間較小的偏心區間內齒輪副正常嚙合。需要特別說明的是，隨著轉子偏心量的逐漸增大，齒輪副動態嚙合力的最小值并非逐漸減小而達到零值，而是在偏心增大到3.1 μm附近時，經過一個“階躍”突然歸零，所以找出“階躍”發生時的偏心閥值對避免齒輪副單邊沖擊現象的發生有著重要的價值。

圖11 不同質量偏心下系統齒輪副的動態嚙合力

圖12 系統齒輪副最小嚙合力隨質量偏心的變化

4 結論

1) 在綜合考慮滑動軸承的非線性油膜力以及齒輪副的嚙合沖擊力等非線性因素的基礎上，建立了滑動軸承支撐下齒輪耦合雙軸轉子系統的非線性動力學模型，推導了系統關于齒輪副嚙合點相對位移的運動微分方程。

2) 在較低轉速的工況下，滑動軸承支撐下齒輪耦合轉子的振動表現為形態各異的周期狀態，在較高轉速工況下系統振動則會呈現出擬周期運動形態；滑動軸承油膜力對齒輪耦合轉子的混沌運動具有顯著的鎮定作用。

3) 滑動軸承間隙以及轉子質量偏心對齒輪的嚙合狀態影響非常顯著，軸承間隙以及轉子偏心量選取不當會導致齒輪單邊沖擊現象的發生；轉子質量偏心所導致的單邊沖擊具有突然“階躍”發生的特征，所以找出“階躍”發生時的偏心閥值對避免齒輪單邊沖擊現象的發生有著重要的指導意義。

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(編輯 趙俊)

Nonlinear bending-torsional dynamics of geared rotor system supported by sliding bearing

LI Tongjie1, 2, JIN Guanghu1, ZHU Rupeng1, AN Luling1

(1. College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016, China; 2. College of Mechanical Engineering, Anhui Science & Technology University, Chuzhou 233100, China)

A nonlinear dynamic model of geared rotor system coupling with sliding bearing was established taking nonlinear oil film force of the bearing and backlash of the system into account. By using the method of numerical simulation, some influence laws of the system parameters on meshing impact properties of the gear pair and system bifurcation characteristics about motion stability were studied based on the nonlinear dynamic model. The results reveal that slide bearing nonlinear oil film force can calm the chaos of the system, and improper sliding bearing clearance value and rotor eccentricity will lead to a unilateral impact phenomenon.

geared rotor system; sliding bearing; coupled nonlinear dynamic model; meshing impact; bifurcation

TH132

A

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.03.008

1672?7207(2018)03?0566?08

2017?03?09；

2017?05?18

國家自然科學基金資助項目(51475226)；安徽省教育廳自然科學重點項目(KJ2015A179)；安徽省科技公關計劃項目(1604a0902134，1501031095) (Project(51475226) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(KJ2015A179) supported by Key Natural Science Fund of Education Department of Anhui Province; Projects(1604a0902134, 1501031095) supported by Science and Technology Agency of Anhui Province)

李同杰，博士，副教授，從事齒輪傳動系統動力學研究；E-mail: litongjie2000@163.com