基于進化粒子濾波的數據域直接跟蹤方法

逯志宇, 巴 斌, 任衍青, 王大鳴

(信息工程大學信息系統工程學院, 河南 鄭州 450001)

0 引 言

目標跟蹤是對目標位置和速度的實時估計,無論是在民用領域還是軍事領域,都是不可或缺的重要技術。尤其隨著航空航天事業的蓬勃發展,以及現代戰爭信息化的轉變,運動目標位置與速度的實時估計和預測具有重要研究價值,已成為一個十分活躍的研究方向[1]。

傳統跟蹤方法首先利用接收信號估計含有目標位置信息的到達時間(time of arrival, TOA)[2]、到達角度(angle of arrival, AOA)[3]、到達時間差(time difference of arrival, TDOA)[4]或到達頻率差(frequency difference of arrival, FDOA)[5]等位置參數,然后通過求解這些參數構成的跟蹤方程獲得目標運動軌跡。由于跟蹤方程非線性較強,在目標位置和速度的聯合估計中面臨高維搜索問題,為此文獻[6]提出了一種加權兩步最小二乘算法對定位方程進行求解,然后利用卡爾曼濾波(Kalman filtering, KF)方法對估計結果進行平滑得到運動軌跡。雖然這種方法簡單易于實現,但是在低信噪比條件下性能惡化嚴重,跟蹤效果不佳。為了解決此問題,擴展卡爾曼濾波(extended KF, EKF)被引入到跟蹤系統中[7],不需要求解跟蹤方程,而是根據位置參數對目標運動狀態進行實時估計,相對KF方法具有更好的性能。但是,EKF算法利用泰勒級數展開近似非線性函數,并且只保留了一階項,在低信噪比下會帶來較大誤差,甚至濾波發散[8]。針對EKF算法的缺點,很多改進算法被提出,如無損卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)[9]、積分卡爾曼濾波(quadrature Kalman filter, QKF)[10]、容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filtering, CKF)[11]、粒子濾波(particle filter, PF)[12]等,這些算法在非線性函數擬合上能夠達到更高階的近似,跟蹤性能不斷提升。

雖然經過算法改進,傳統兩步跟蹤算法的精度不斷提高,但這種跟蹤方法在本質上仍然存在兩點不足:一是在參數估計階段忽略了觀測站之間的聯系,各觀測站之間參數估計過程相互獨立,并未考慮定位參數來自于同一目標這一先驗信息,損失了部分位置信息;二是第一步參數估計將引入處理誤差,誤差的傳遞和累積不可避免,導致第二步跟蹤精度受限。因此兩步方法是次優的,不能獲得最佳的估計精度[13]。與之相比,近些年被提出的直接定位(direct position determination, DPD)算法不需要參數估計和位置解算分步計算,而是基于采樣信號直接估計目標位置,避免了兩步定位算法的缺點,能夠獲得更好的定位效果,已得到廣泛的研究[14-19]。

文獻[20-21]首先詳細闡述了DPD算法的基本原理,并給出了利用角度和時延信息的最大似然估計方法。針對最大似然估計高復雜度問題,文獻[22]提出了子空間數據融合DPD算法,文獻[23-24]提出了最小方差無失真響應(minimum variance distortionless response, MVDR)算法,均降低了參數估計維度,減輕了計算壓力?？紤]觀測站運動場景,文獻[25]提出了異步觀測條件下的多運動站DPD算法,文獻[26]提出了基于時間和多普勒信息的DPD算法。將數據域直接位置解算思想引入到目標跟蹤領域,以基于TOA[27]、TDOA[28]和FDOA[29]等信息的DPD算法為基礎,文獻[30-31]提出了一種目標直接跟蹤(direct trajectory determination, DTD)算法,給出了利用時延和多普勒頻率信息的算法原理,證明了DTD算法性能優于傳統兩步跟蹤算法。然而上述文獻利用了離散時延和多普勒信息,引入量化誤差,在采樣率較低時嚴重影響跟蹤精度,性能仍有待進一步提高。

綜上所述,為了進一步提高目標跟蹤性能,本文提出了一種利用連續時延和多普勒信息的直接跟蹤算法。與現有文獻相比,本文的貢獻在于,進一步提高了目標直接跟蹤精度,并利用進化PF方法提高跟蹤收斂速度,使算法更具實用價值。同時,本文還推導了所提跟蹤模型的克拉美羅下界(Cramer-Rao lower bound, CRLB),給出了基于直接數據域跟蹤的誤差界限。

1 數據域直接跟蹤模型

設xk為目標發送的信號,假設信號模型為

x(t)=s(t)ej2πfct

(1)

式中,fc是載頻;s(t)是信號的包絡。設采樣點數為Nk,第l個觀測站在第k次觀測時得到采樣信號為

nk=1,2,…,Nk

(2)

(3)

(4)

(5)

Bτl,k(ok)=diag{exp(-j2π/Nknkτl,k(ok)/Ts)}

(6)

令

Bvl,k(ok)=diag{exp(j2πTsvl,k(ok)nk)}

(7)

聯合式(5)～式(7),令

Hl,k(ok)=Bvl,k(ok)VHBτl,k(ok)V

(8)

Hl,k(ok)包含了目標的位置和速度參數,由于利用了時間和多普勒信息,稱之為時頻觀測矩陣。因此可將接收信號表示為

rl,k=Bvl,k(ok)VHBτl,k(ok)Vxk+wl,k=Hl,k(ok)xk+wl,k

(9)

令

(10)

則所有觀測站的接收信號聯合表示為

rk=Hk(ok)xk+wk

(11)

通過上述方法,使用連續時間信息避免了量化誤差的引入,將進一步提升跟蹤性能。系統基于接收信號的狀態方程和觀測方程可以表示為

ok+1=Fok+σk

(12)

rk=H(ok)xk+wk

(13)

式中,F為狀態轉移矩陣;σk為零均值高斯白噪聲,表示目標狀態的抖動誤差,其協方差矩陣為

(14)

2 PF直接跟蹤算法

在兩步跟蹤算法中,時間和頻率等參數作為觀測量,可采用的濾波方法較多,如EKF、UKF、CKF、PF等,并且在高信噪比條件下,性能相差并不明顯。但是在直接跟蹤方法中,由于觀測量是接收信號,非線性更強,導致EKF、UKF等方法效果并不理想,所以在直接跟蹤中選擇能夠處理更強非線性問題的PF算法較為合理。

(15)

根據大數定理,當M足夠大時,p(ok|rk)將收斂于真實的后驗概率。粒子權重計算公式為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

根據式(11),利用最小二乘準則,xk可表示為

(21)

將式(21)代入式(20),可以得到

(22)

(23)

從而得到估計結果為

(24)

根據式(17),下一時刻的采樣粒子為

(25)

為了解決PF存在的退化和貧化問題,基于遺傳進化思想的粒子空間構造(evolutionary particle filter, EPF)方法較為常用,即對某些粒子進行變異來增加粒子的多樣性,然后根據一定的準則選擇出優質粒子進行下一代的計算。下面給出一種進化策略,由變異操作和選擇方法組成。在每一代濾波過程中,根據式(25)產生的新粒子,利用式(26)進行如下操作。

(26)

基于數據域的運動目標直接跟蹤算法相比于兩步跟蹤算法精度得到了提升。針對其高度非線性特點,本節給出了利用進化PF的迭代求解算法,與文獻[31]所用的標準PF相比,目標跟蹤效率得到提升,仿真實驗中將進一步證明所提算法的有效性。結合上述原理分析,可以將基于EPF的直接跟蹤(EPF-DTD)算法概括如下:

步驟2根據式(26)對采樣粒子進行變異操作,得到新的粒子集;

步驟5根據權重大小對粒子進行篩選,選擇權重較大的一半作為優質粒子;

步驟6利用優質粒子,根據式(24)得到本次迭代的目標狀態估計;

步驟7利用輪盤賭方法對粒子進行重采樣,根據式(25)得到下一代粒子;

步驟8如果迭代終止,將本次結果作為輸出,否則跳轉步驟2進行下一次迭代。

3 CRLB

CRLB給出了無偏估計量的方差下限,對研究模型的理論性能具有重要意義。本節將推導一種所提直接跟蹤模型CRLB的遞歸求解算法,給出目標狀態的估計性能界限。

設P(r,o)是(r,o)聯合概率分布,則費希爾信息矩陣(Fisher information matrix, FIM)可以表示為

(27)

式中,Δ為偏導算子,表示為

(28)

(29)

則o2的FIM矩陣可以表示為

(30)

式中,J2也稱為o2的信息子矩陣。

Pk+1=PkP(rk+1|ok+1)P(ok+1|ok)

(31)

從而k時刻的FIM矩陣可以表示為

(32)

進一步,在k+1時刻可以得到

(33)

根據式(31),可以得到

lgPk+1=lgPk+lgP(rk+1|ok+1)+lgP(ok+1|ok)

(34)

所以式(33)可以表示為

(36)

令

(37)

顯然,有式(38)成立

(38)

從而有

(39)

根據式(30),第k+1時刻對新增ok+1的信息子矩陣為

(40)

化簡可得

(41)

根據式(32)有

(42)

所以結合式(41)和式(42),可以得到CRLB的遞推公式為

(43)

結合第1節給出的跟蹤模型,式(37)可以表示為

(44)

式中

(45)

表示在k+1時刻狀態ok+1獨立的FIM矩陣,根據式(11)和式(27),有

(46)

利用鏈式法則,可以得到

(47)

式中

(48)

(49)

(50)

(51)

4 仿真分析

為了驗證所提算法的性能,本節將對EPF-DTD算法的跟蹤精度和CRLB進行仿真,并與文獻[31]中提出的時延和多普勒信息離散化直接跟蹤算法(簡記為PF-DTD)和基于時頻差的兩步跟蹤算法(簡記為PF-TDOA/FDOA)進行對比。

為了說明各算法的跟蹤性能,在信噪比20 dB條件下,得到算法的跟蹤效果如圖1所示,運動方向由下向上,跟蹤誤差變化曲線如圖2所示?？梢钥闯?3種算法在經過短暫的調整后都能以一定的誤差跟蹤目標,其中PF-DTD算法的跟蹤精度和速度比PF-TDOA/FDOA算法略有提升,證明直接跟蹤方法具有一定優勢。但是由于PF-DTD算法對時延做了量化處理,引入了部分量化噪聲,直接跟蹤方法的性能優勢并未完全展現。EPF-DTD算法避免了量化問題,并且對PF算法做了改進,所以在跟蹤速度和精度上相對于PF-DTD算法具有較大的提高。在圖1的放大圖中可以看到,當目標做折線運動時,EPF-DTD能夠在短時間內快速的跟蹤目標運動變化,并且誤差能夠保持在較低水平,而PF-DTD和PF-TDOA/FDOA算法的跟蹤速度相對較慢,誤差變化較大,進一步證明了本文所提算法的有效性。

圖1 不同算法位置跟蹤過程Fig.1 Position tracking of different algorithms

圖2 不同算法位置均方根誤差Fig.2 Root mean square error (RMSE) of location for different algorithms

在相同條件下,圖3和圖4是速度跟蹤效果以及誤差曲線。從圖中可以看出,PF-DTD和PF-TDOA/FDOA算法的速度跟蹤能力大致相同,且誤差較大,而EPF-DTD算法能夠在短時間內達到較好的跟蹤效果,最終誤差能夠維持在較低水平。當目標做折線運動時,EPF-DTD可以快速跟蹤目標速度變化,而PF-DTD和PF-TDOA/FDOA算法的跟蹤效果相對較差。出現這種現象的原因是,速度的跟蹤能力取決于FDOA信息的處理能力,PF-TDOA/FDOA算法對FDOA參數的估計精度較低,影響了跟蹤精度,PF-DTD算法中的量化誤差也間接影響了速度的跟蹤效果,而EPF-DTD算法避免了上述問題,因此速度跟蹤效果較為理想。

為了說明EPF-DTD算法的跟蹤性能,得到其CRLB隨迭代次數k和信噪比的變化曲線如圖5所示?？梢钥闯?隨著信噪比的增加,算法的跟蹤精度不斷提高,證明了算法的跟蹤性能。隨著迭代次數的增加,在高信噪比條件下,跟蹤精度相應提高,并且能夠快速收斂；但是在較低信噪比條件下,收斂速度變慢,需要較長時間才能夠穩定。原因在于,一方面,觀測信號較弱時,無法快速消除先驗假設引進的誤差；另一方面,由于目標運動,不同位置所能達到的理論估計精度會有波動,在信噪比較低時會對跟蹤性能帶來影響。

圖4 不同算法速度跟蹤誤差Fig.4 Speed tracking error of different algorithms

圖5 EPF-DTD算法的CRLB隨迭代次數k和信噪比的變化曲線Fig.5 CRLB of EPF-DTD algorithm over signal-to-noise ratio (SNR) and k

進一步,令迭代次數k=100,對各算法進行50次蒙特卡羅仿真實驗,將不同算法位置估計誤差隨信噪比的變化趨勢進行對比,其結果如圖6所示?？梢钥闯?PF-DTD算法與PF-TDOA/FDOA算法在高信噪比條件下性能相近,但在低信噪比條件下,PF-DTD算法性能有明顯提升,證明了直接跟蹤思想的正確性。相比于PF-DTD和PF-TDOA/FDOA算法,本文提出的EPF-DTD算法在跟蹤精度上有較大地提升,證明算法構造連續時延信息模型以及利用EPF算法求解的有效性。同時可以看到,EPF-DTD算法能夠接近CRLB,由于實際濾波中粒子數量有限,與CRLB仍有微小距離,但在高信噪比條件與CRLB基本吻合。

圖6 不同算法性能隨信噪比變化曲線Fig.6 RMSE of position versus SNR of different algorithms

為了驗證不同采樣頻率對算法的影響,在fs=1 MHz和fs=0.5 MHz條件下對EPF-DTD算法和PF-DTD算法的跟蹤誤差進行了仿真,結果如圖7所示?？梢钥闯?采樣頻率對EPF-DTD算法的影響較小,不同采樣率下算法的跟蹤性能相近。而PF-DTD算法由于受量化誤差的影響,當采樣頻率下降時,性能下降較快。結果說明，本文所提EPF-DTD算法有效避免了PF-DTD算法的量化誤差問題,可以在較小采樣率下獲得優異的跟蹤性能。

圖7 不同采樣頻率時算法跟蹤誤差對比Fig.7 Comparison of tracking error at different sampling rates

5 結 論

本文針對目標跟蹤問題,提出一種利用連續時延信息,并基于進化PF的直接跟蹤方法,給出了詳細的模型構建、原理分析和CRLB推導過程。所提算法利用觀測站接收信號直接進行目標跟蹤,具有比兩步定位更高的跟蹤精度,同時進化PF方法提高了算法的計算效率。仿真實驗給出了所提算法與其他算法的性能對比,證明了算法能夠獲得更好的跟蹤性能,具有一定實用價值。

參考文獻：

[1] 楊峰,張婉瑩.一種多模型貝努利粒子濾波機動目標跟蹤算法[J].電子與信息學報,2017, 39(3):634-639.

YANG F, ZHANG W Y. Multiple model bernoulli particle filter formaneuvering target tracking[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2017, 39(3): 634-639.

[2] 冷雪冬, 巴斌, 逯志宇,等. 基于回溯篩選的稀疏重構時延估計算法[J]. 物理學報, 2016, 65(21): 701-710.

LENG X D, BA B, LU Z Y, et al. Sparse reconstruction time delay estimation algorithm based on backtracking filter[J]. Acta Physica Sinica, 2016, 65(21): 701-710.

[3] XU J, MA M D, LAW C L. AOA cooperative position localization[C]∥Proc.of the IEEE Global Telecommunications Conference on Signal Processing, 2008: 1-5.

[4] CHAN Y T, HO K C. Joint time-scale and TDOA estimation: analysis and fast approximation[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2005, 53(8): 2625-2634.

[5] 嚴航, 朱珍珍. 基于積分抽取的時/頻差參數估計方法[J].宇航學報, 2013, 34(1):99-105.

YAN H, ZHU Z Z. Fast algorithm for joint estimation of DTO and DFO based on integrate-and-dump filters[J]. Journal of Astronautics, 2013, 34(1): 99-105.

[6] HO K C, XU W W. An accurate algebraic solution for moving source location using TDOA and FDOA measurements[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2004, 52(9): 2453-2463.

[7] LIN C M, HSUEH C S. Adaptive EKF-CMAC-based multisensor data fusion for maneuvering target[J]. IEEE Trans.on Instrumentation and Measurement, 2013, 62(7): 2058-2059.

[8] GUSTAFSSON F, HENDEBY G. Some relations between extended and unscented Kalman filters[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2012, 60(2): 545-555.

[9] JULIER S J, UHLMAN J K. Unscented filtering and nonlinear estimation[J].Proceedings of the IEEE,2004,92(3):401-422.

[10] IENKARAN A, SIMON H, ROBERT J E. Discrete-time nonlinear filtering algorithms using Gauss-Hermite quadrature[J]. Proceedings of the IEEE, 2007, 95(5): 953-977.

[11] 逯志宇, 王大鳴, 王建輝, 等. 基于時頻差的正交容積卡爾曼濾波跟蹤算法[J]. 物理學報, 2015, 64(15): 25-32.

LU Z Y, WANG D M, WANG J H, et al. A tracking algorithm based on orthogonal cubature Kalman filter with TDOA and FDOA[J]. Acta Physica Sinica, 2015, 64(15): 25-32.

[12] GUSTAFSSON F. Particle filter theory and practice with positioning applications[J]. IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine, 2010, 25(7): 53-81.

[13] BOSSE J, FERRéOL A, LARZABAL P. Performance analysis of passive localization strategies: direct one step approach versus 2 steps approach[C]∥Proc.of the IEEE Statistical Signal Processing Workshop, 2011: 701-704.

[14] BAR-SHALOM O, WEISS A J. Direct emitter geolocation under local scattering[J].Signal Processing,2015,117:102-114.

[15] WANG D, ZHANG G, SHEN C Y, et al. A direct position determination algorithm for constant modulus signals with single moving observer[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 43(5): 1622-1633.

[16] WANG D, ZHANG R J, ZHANG T. A direct position determination approach for radio emitters in presence of mutual coupling[J]. Acta Electronica Sinica, 2017, 45(5): 1130-1138.

[17] YIN J X, WU Y, WANG D. Direct position determination of multiple noncircular sources with a moving array[J]. Circuits Systems & Signal Processing, 2017, 36(10): 4050-4076.

[18] LU Z Y, WANG J H, BA B, et al. A novel direct position determination algorithm for orthogonal frequency division multiplexing signals based on the time and angle of arrival[J]. IEEE Access, 2017, PP(99): 1-9.

[19] TIRER T, WEISS A J. Performance analysis of a high-resolution direct position determination method[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2017, 65(3): 544-554.

[20] WEISS A J. Direct position determination of narrowband radio frequency transmitters[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2004, 11(5): 513-517.

[21] WEISS A J, AMAR A. Direct position determination of multiple radio signals[J]. Eurasip Journal on Advances in Signal Processing, 2005, 2005(1): 37-49.

[22] AMAR A, WEISS A J. A decoupled algorithm for geolocation of multiple emitters[J]. IEEE Trans.on Signal Processing, 2007, 87(10): 2348-2359.

[23] TIRER T, WEISS A J. High resolution direct position determination of radio frequency sources[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2016, 23(2):192-196.

[24] TZAFRI L, WEISS A J. High-resolution direct position determination using MVDR[J]. IEEE Trans.on Wireless Communications, 2016, 15(9): 6449-6461.

[25] 馮奇,曲長文,周 強. 多運動站異步觀測條件下的直接定位算法[J]. 電子與信息學報, 2017, 39(2): 417-422.

FENG Q, QU C W, ZHOU Q. Direct position determination using asynchronous observations of multiple moving sensors[J]. Journal of Electronics & Information Technology,2017,39(2):417-422.

[26] 逯志宇,任衍青,巴斌,等.基于分段信號相關累加的變速度多站聯合直接定位方法[J].物理學報, 2017, 66(2):70-79.

LU Z Y, REN Y Q, BA B, et al. An improved direct position determination method based on correlation accumulation of short-time signals with variable velocity receivers[J]. Acta Physica Sinica, 2017, 66(2):70-79.

[27] LI J Z, YANG L, GUO F C, et al. Coherent summation of multiple short-time signals for direct positioning of a wideband source based on delay and Doppler[J]. Digital Signal Processing, 2015, 48(3):58-70.

[28] VANKAYALAPATI N, KAY S, QUAN D. TDOA based direct positioning maximum likelihood estimator and the Cramer-Rao bound[J]. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems, 2014, 50(3): 1616-1646.

[29] POURHOMAYOUN M, FOWLER M. Distributed computation for direct position determination emitter location[J]. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems, 2014, 50(4): 2878-2889.

[30] SIDI A J, WEISS A J. Tracking of a moving emitter based on delay and Doppler shift using a particle filter[C]∥Proc.of the IEEE Convention of Electrical & Electronics Engineers in Israel, 2010: 001012-001016.

[31] SIDI A Y, WEISS A J. Delay and Doppler induced direct tracking by particle filter[J]. IEEE Trans.on Aerospace & Electronic Systems, 2014, 50(1): 559-572.