帶攻擊角度約束的浸入與不變制導律

劉柏均, 侯明善, 余 英

(西北工業大學自動化學院, 陜西 西安 710129)

0 引 言

為了在日益復雜和激烈的戰場環境下獲得更好的打擊效能,帶攻擊角度約束的制導問題研究受到了廣泛的重視[1]。比例導引律由于其簡單易實現的特點,被廣泛應用于制導系統中。因為選取固定導航比的比例導引律無法滿足攻擊角度要求,文獻[2-3]提出基于定向制導方案的分步比例導引律，文獻[4-5]提出帶終端落角約束的偏置比例導引律,以上制導律形式簡單,能夠在保證制導精度條件下滿足攻擊角度要求,且易于工程實現。

近年來,針對帶攻擊角度約束的制導律設計問題,基于現代控制理論的研究成果比較豐富。在最優控制理論和微分對策理論方面,文獻[6]應用Schwarz不等式,分別設計了一種控制系統為一階慣性環節和無慣性環節情況下帶落角約束的一般加權最優制導律;文獻[7]提出一種非線性微分對策制導律,得到了具有攻擊角度約束的狀態相關黎卡提方程的解析解。在滑模變結構控制理論方面,文獻[8]提出一種有限時間收斂滑模制導律,然后通過非線性反步設計將該制導律推廣到考慮自動駕駛儀動態延遲的情形上;文獻[9]提出一種帶攻擊角度約束的非奇異快速終端滑模制導律,該制導律具有本質上連續和快速收斂的特性;文獻[10]采用一種新的非線性飽和函數來構造積分滑模面中的積分項,提出一種含攻擊角度約束的全局積分滑模制導律;文獻[11]提出一種帶有攻擊角度約束的無抖振滑模制導律,通過在輸入的導數項中引入切換項進行擾動補償,從而有效消除了制導指令的抖振現象。在反演控制理論方面,文獻[12]結合反饋線性化方法,利用積分反演定理設計了二階子系統的虛擬控制律,提出一種考慮自動駕駛儀動態特性的含攻擊角度約束的反演制導律；文獻[13]結合滑?？刂品椒?采用擴張狀態觀測器估計系統干擾,設計了一種帶終端角度約束的反演制導律。

在現代非線性控制理論中,為了便于研究高階非線性系統的鎮定問題, Astolfi和Ortega于2003年首次提出浸入與不變(immersion and invariance, I&I)非線性自適應控制方法[14]。該方法不需要構造Lyapunov函數,其主要思路是:將目標系統嵌入到對象里,并使得在一個不變流形上,它的特性和對象(漸近)一致[15]。雖然該方法提出的時間不長,但由于其顯著的非線性控制和自適應性能,受到了研究者的廣泛關注[16-19]。

本文針對含命中點角度約束的機動目標攔截制導問題,基于同一種設計思想,設計一種新的I&I復合制導律。首先設計I&I干擾估計器,再設計I&I制導律,I&I制導律設計過程將I&I估計器跟蹤誤差考慮在內。然后基于輸入-狀態穩定理論證明閉環制導系統穩定性。所設計的I&I估計器階數低、待設計參數少、跟蹤誤差收斂速度快。所設計的I&I制導律不含開關函數、結構簡單、制導精度高。

1 問題描述

為方便分析,考慮平面攔截問題,導彈和目標運動的幾何關系如圖1所示。圖1中,導彈M和目標T均視為質點,極坐標系下的彈目相對運動關系滿足:

(1)

(2)

(3)

(4)

式中,r表示彈目相對距離;q表示彈目視線角;θM和θT分別為導彈彈道角和目標航向角;aM和aT分別為導彈和目標的法向加速度;VM和VT分別為導彈和目標的速度。

圖1 彈目相對運動幾何關系Fig.1 Geometric of relative motion

假設導彈和目標的速度均為常數,將式(2)對時間求一階導數并整理可得

(5)

(6)

因此,制導問題可描述為:設計導彈的加速度控制量u,使得當t→tf時,彈目視線角滿足q→qd,彈目相對距離滿足|r(t→tf)|≤rmin,其中rmin為給定的脫靶量精度指標。

2 I&I復合制導律

圖2 閉環制導系統結構框圖Fig.2 Structure of the closed-loop guidance system

2.1 I&I干擾估計器設計

對于系統(6),考慮如下拓展系統:

(7)

首先在拓展狀態空間(x2,z1)T上定義一維流形

M1={(x2,z1)T∈R2|d-z1-h(x2)=0}

(8)

定義流形外坐標,即估計器跟蹤誤差為

(9)

對式(9)求導得

(10)

為使流形M1具有吸引性,選擇自適應律

(11)

則式(10)可以寫為

(12)

令h(x2)=k1x2,k1>0,則式(12)可以寫為

(13)

(14)

(15)

式中,u為待設計的I&I制導律。

2.2 I&I制導律設計

根據文獻[14]提出的I&I控制器設計方法,為將系統(6)的二階模型降為一階,首先定義以下映射函數:

α:R→R,π:R→R2,φ:R2→R,v:R2×1→R

然后構造一全局漸近收斂到零的一階目標系統

(16)

式中,ξ∈R為目標系統狀態變量,不妨選取映射函數

π(ξ)=(π1(ξ),π2(ξ))T=(ξ,-aξ)T

(17)

那么在系統(6)的狀態空間上,一種簡單的一維流形可定義為

M2={x∈R2|φ(x)=ax1+x2=0}

(18)

設流形外動態行為的坐標為

z2=φ(x)=ax1+x2

(19)

則z2滿足

(a+A)x2+Bv(x,z2)+d

(20)

設計I&I控制律為

(21)

則式(20)可以寫為

(22)

此時,閉環制導系統狀態方程還包括

(23)

(24)

u=v(x,z2)=v(x,φ(x))=

(25)

代入相關參數,將I&I制導律重寫為

(26)

2.3 閉環系統穩定性證明

(27)

考慮由式(22)和式(13)構成的如下修正閉環級聯系統

(28)

定理1級聯系統(28)是輸入-狀態穩定的。

證明分析可知f1和f2均是全局Lipschitz的。根據引理2,系統(28)的兩個子系統均是輸入-狀態穩定的。令t0=0,由假設1和引理1可知,存在KL類函數β1和β2以及K類函數γ1和γ2,使得

(29)

(30)

將式(30)代入式(29)有

(31)

根據級聯系統(28)的狀態變量z的定義和向量范數的性質,考慮不等式組

|z2(0)|≤‖z(0)‖

可知

(32)

其中

β(‖z(0)‖,t)=β1(‖z(0)‖,t)+γ1(β2(‖z(0)‖,t))+

β2(‖z(0)‖,t)

根據定理1,修正閉環級聯系統(28)是輸入-狀態穩定的。

證畢

為了能夠直接說明制導系統(6)的穩定性,可根據式(32),設‖z(t)‖的上界為Δ,考慮到|z2(t)|≤‖z(t)‖,則式(19)可以寫為

且a>0

(33)

如果將z2視為有界輸入,那么x1可視為一階濾波器的輸出,可知狀態x1及其導數x2軌跡最終一致有界。

因此,在估計器(14)前饋補償和制導律(25)作為輸入的共同作用下,即使系統未知擾動d時變,閉環制導系統的穩定性也可以保證。

3 仿真驗證和分析

為驗證本文所提出的I&I干擾估計器和I&I制導律的有效性,在Matlab平臺進行仿真。仿真參數設置為:彈目初始距離r0為5 000 m,初始視線角q0為30°;導彈飛行速度VM為常數500 m/s,導彈初始彈道角θM0為45°;目標飛行速度VT為常數250 m/s,目標初始航向角θT0為120°;重力加速度g取9.8 m/s2,導彈最大法向過載設定為10g。給定脫靶量精度指標rmin為0.1 m。期望終端視線角qd分別取20°、30°和40°(分別記為情況1,2,3)。設定目標法向機動加速度為

(34)

I&I制導律(26)中參數設置為:a=0.8,c=0.8。I&I干擾估計器(15)中參數設置為:k1=100,輔助項初值z1(0)=0,得到仿真結果如表1所示。從表1可以看出,本文提出的I&I制導律攔截時間短,脫靶量小,能以較小的攻擊角度誤差攔截機動目標。

表1 I&I制導律仿真結果

為進行基本制導性能對照,選取文獻[20]中提出的終端滑模制導律(terminal sliding mode guidance law, TSMGL)一并仿真,TSMGL設計為

s=x2+C|x1|a1sgnx1

(35)

(36)

TSMGL相關參數設置與文獻[20]相同。以期望終端視線角qd取40°為例,仿真計算得到的彈目運動軌跡、視線角、視線角速率和制導指令特性曲線如圖3～圖6所示。從圖3可見,在I&I制導律和TSMGL作用下,導彈均能快速攔截機動目標,彈道光滑,I&I制導律比TSMGL攔截速度提高約0.1 s。從圖4可見,I&I制導律作用下彈目視線角誤差能夠在約8 s收斂到期望值40°左右,且保持穩定;而在TSMGL作用下,彈目視線角收斂速度在約4～9 s收斂緩慢,且始終沒能跟蹤上期望值。從圖5可見,I&I制導律作用下彈目視線角速率能夠收斂到零附近,直到制導最后一刻前不發散,受目標機動影響小;而在TSMGL作用下,彈目視線角雖然能提前收斂到零附近,但在制導結束時刻以前一段時間內有明顯發散趨勢。從圖6可見,I&I制導律指令除在制導初始時刻由于估計器誤差較大產生突變,在后續制導時間里保持光滑連續,在約0.8 s后不再出現飽和現象,命中點附近過載要求低;而TSMGL指令在約3～4 s仍處于飽和狀態。

圖3 導彈和目標飛行軌跡Fig.3 Trajectories of missile and target

圖4 彈目視線角曲線Fig.4 Line of sight angle

圖5 彈目視線角速率曲線Fig.5 Line of sight angular rate

圖6 導彈過載指令曲線Fig.6 Missile acceleration command

(37)

為保證與I&I估計器的一致性,式(37)中各微分方程初值均設為零,各項參數選取與文獻[22]相同,仿真得到的干擾估計器跟蹤誤差曲線如圖7所示。從圖7可以看出,I&I估計器和NDOB估計誤差均能快速收斂到零附近,但NDOB在初始時刻產生了明顯的振蕩現象。在后續制導時間里,由于開關函數的存在,NDOB的估計值在真值附近連續小幅上下抖動,這也將造成制導指令產生小幅抖振,而I&I估計器的估計結果能夠光滑地漸近收斂到真值附近,這一定程度上也保證了制導指令的光滑性。仿真中I&I估計器增益k1取值越大,估計誤差收斂越快,但會造成初始時刻產生估計峰值,這也成為了圖6中制導初始時刻I&I制導律指令達到飽和的原因。因此，實際仿真和應用過程中k1的選取還需要綜合考慮,也可考慮將其設計為時變增益。

圖7 干擾估計器跟蹤誤差曲線Fig.7 Tracking error of disturbance observers

根據以上分析可知,本文設計的I&I制導律對機動目標在保證攔截精度條件下,能夠實現攻擊角度約束,視線角收斂到期望值的速度快、時間短,制導指令光滑連續。將目標機動的綜合作用視為系統干擾,采用I&I方法進行估計并進行制導補償,能夠有效補償目標機動影響,且估計器只有一階,待設計參數少,估計精度高。仿真結果證明了本文提出的制導律的可行性。

4 結 論

本文針對含攻擊角度約束的機動目標攔截問題,基于I&I非線性控制理論設計了干擾估計器和制導律,通過理論推導和仿真分析可以得出以下3點:

(1) 在制導律設計中,將估計器的估計誤差影響考慮在內,推導出的制導律直接包含估計結果;

(2) 在推導干擾觀測器和制導律過程中,雖然將系統干擾變化率作為零處理,但針對干擾變化快速的情況,基于輸入-狀態穩定理論證明了閉環制導系統的穩定性,說明該處理方法的合理性;

(3) 和現有的滑模制導律相比,本文的制導律設計方法簡單,由于沒有引進切換函數,制導指令光滑連續,便于執行機構實現。

后續的研究可以考慮將本文的研究思路擴展到三維制導情形,并可以考慮導彈自動駕駛儀動態特性的影響。

參考文獻：

[1] 李慶春,張文生,韓剛.終端約束條件下末端制導律研究綜述[J].控制理論與應用,2016,33(1):1-12.

LI Q C, ZHANG W S, HAN G. Review of terminal guidance law with terminal constraints[J]. Control Theory & Applications, 2016, 33(1): 1-12.

[2] RATNOO A, GHOSE D. Impact angle constrained interception of stationary targets[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2008, 31(6): 1817-1822.

[3] RATNOO A, GHOSE D. Impact angle constrained guidance against nonstationary nonmaneuvering targets[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2010, 33(1): 269-275.

[4] ERER K S, MERTTOP?UOGLU O. Indirect impact-angle-control against stationary targets using biased pure proportional navigation[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2012,35(2):700-704.

[5] ZHANG Y A,MA G X,WU H L.A biased proportional navigation guidance law with large impact angle constraint and the time-to-go estimation[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part G:Journal of Aerospace Engineering,2013,228(10):1725-1734.

[6] 張友安,黃詰,孫陽平. 帶有落角約束的一般加權最優制導律[J]. 航空學報, 2014, 35(3): 848-856.

ZHANG Y A, HUANG J, SUN Y P. Generalized weighted optimal guidance laws with impact angle constraints[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2014, 35(3): 848-856.

[7] 李偉, 黃瑞松, 王芳, 等. 基于SDRE具有終端碰撞角約束的非線性微分對策制導律[J]. 系統工程與電子技術, 2016, 38(7):1606-1613.

LI W, HUANG R S, WANG F, et al. Nonlinear differential games guidance law based on SDRE with terminal impact angular[J].Systems Engineering and Electronics,2016,38(7):1606-1613.

[8] 孫勝,張華明,周荻. 考慮自動駕駛儀動特性的終端角度約束滑模導引律[J]. 宇航學報, 2013, 34(1): 69-78.

SUN S, ZHANG H M, ZHOU D. Sliding mode guidance law with autopilot lag for terminal angle constrained trajectories[J]. Journal of Astronautics, 2013, 34(1): 69-78.

[9] 熊少鋒, 王衛紅, 王森. 帶攻擊角度約束的非奇異快速終端滑模制導律[J]. 控制理論與應用, 2014, 31(3): 269-278.

XIONG S F, WAHG W H, WANG S. Nonsingular fast terminal sliding-mode guidance with intercept angle constraint[J]. Control Theory & Applications, 2014, 31(3): 269-278.

[10] 張堯,郭杰,唐勝景,等. 機動目標攔截含攻擊角約束的新型滑模制導律[J]. 兵工學報, 2015, 36(8): 1443-1457.

ZHANG Y, GUO J, TANG S J, et al. A novel sliding mode guidance law with impact angle constraint for maneuvering target interception[J].Acta Armamentarii,2015,36(8):1443-1457.

[11] 周衛東,陳沿逵,熊少鋒. 帶有攻擊角約束的無抖振滑模制導律設計[J]. 北京航空航天大學學報, 2016, 42(4): 669-676.

ZHOU W D, CHEN Y K, XIONG S F. Chattering-free sliding mode guidance law with impact angle constraint[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2016,42(4): 669-676.

[12] 刁兆師,單家元. 考慮自動駕駛儀動態特性的含攻擊角約束的反演遞推制導律[J]. 宇航學報, 2014, 35(7): 818-826.

DIAO Z S, SHAN J Y. Beck-stepping guidance law with autopilot lag for attack angle constrained trajectories[J]. Journal of Astronautics, 2014, 35(7): 818-826.

[13] 張小件,劉明雍,李洋. 基于反演和觀測器的帶角度約束制導律設計[J]. 系統工程與電子技術, 2017, 39(6): 1311-1316.

ZHANG X J, LIU M Y, LI Y. Backstepping sliding mode control and extended state observer based guidance law design with impact angles[J]. Systems Engineering and Electronics, 2017, 39(6): 1311-1316.

[14] ASTOLFI A, ORTEGA R. Immersion and invariance: a new tool for stabilization and adaptive control of nonlinear systems[J]. IEEE Trans.on Automatic Control, 2003, 48(4): 590-606.

[15] 謝七月,韓正之.非線性系統的浸入與不變控制[M].長沙:中南大學出版社, 2017.

XIE Q Y, HAN Z Z. Immersion and invariance control for nonlinear systems[M]. Changsha: Publishing Company of Central South University, 2017.

[16] YUTA K, MASAKI T. Design of nonlinear adaptive flight control system based on immersion and invariance[C]∥Proc.of the AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, 2009: 6174-6193.

[17] LARS S, EDUARD VAN O, CHU Q, et al. Immersion and invariance based nonlinear adaptive flight control[C]∥Proc.of the AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, 2010: 7690-7717.

[18] HU J, ZHANG H. Immersion and invariance based command-filtered adaptive backstepping control of VTOL vehicles[J]. Automatica, 2013, 49(7): 2160-2167.

[19] BUSTAN D, SANI S K H, PARIZ N. Immersion and invariance based fault tolerant adaptive spacecraft attitude control[J]. International Journal of Control, Automation and Systems, 2014, 12(2): 333-339.

[20] KUMAR S R, RAO S, GHOSE D. Sliding-mode guidance and control for all-aspect interceptors with terminal angle constraints[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2012, 35(4): 1230-1246.

[21] KHALIL H K, Nonlinear systems[M]. 3rd ed. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 2002: 174-176.

[22] ZHANG Z, LI S, LUO S. Terminal guidance laws of missile based on ISMC and NDOB with impact angle constraint[J]. Aerospace Science and Technology, 2013, 31(1): 30-41.