基于矩陣分解的慣導安裝誤差矩陣解耦方法

吳華麗, 肖支才, 周大旺, 王玲玲

(海軍航空工程學院控制工程系, 山東 煙臺 264001)

0 引 言

慣性儀表誤差是捷聯慣性導航系統(strapdown inertial navigation system，SINS)的重要誤差源,對導航精度有重要影響。因此,對慣性儀表誤差參數的精度具有很高的要求[1-4]。然而,慣導系統由于自身及外界等多種原因影響,使用一段時間后需要對慣性儀表的誤差參數重新標定[1,3]。慣導的標定方法常分為分立標定和系統級標定,而對于慣導的定期標定一般使用系統級標定方法[1,5-6]。系統級標定指的是利用導航輸出誤差對慣性儀表參數進行標定的方法,這是一種能有效減小標定對轉臺依賴的方法,適合外場標定使用[3,7]。然而與分立標定方法相比,其對安裝誤差矩陣不能有效辨識,根本原因是慣性儀表的12個安裝誤差參數存在3組耦合關系[8-13]。這種耦合關系存在,不但影響傳統慣性儀表的標定工作,還對不斷發展的微電子機械系統慣性測量單元(micro electronical mechnical system inertial measurement unit,MEMS IMU)的標定產生重大影響[14-18]。因此,如何解決這種耦合關系成為一個重要待解決問題。

針對這個問題,傳統方法是直接將陀螺儀表組安裝誤差矩陣的上三角定義為0(下文稱這種解耦方法為傳統方法)[8,11-12],而文獻[10]則通過引入加速度計的脈沖輸出加入限制條件?？偨Y這些傳統解耦方法發現其沒有深入分析耦合原因。比如:文獻[10]雖從可辨識性出發指出了耦合現象,但是并沒有分析耦合引起的原因,其利用加速度計脈沖輸出引入的限制條件雖然可以求解待標參數,但是該方法只適合轉臺標定;文獻[8]雖然通過導航方程指出這種參數耦合原因是導航系表示的觀測量對載體坐標系b系缺乏約束引起,但是沒有進一步分析其使用傳統方法的依據是什么,也無法給出該方法是否為最佳方法。

針對上述問題,本文利用矩陣分解的方法深入分析耦合生成原因,提出使陀螺斜對稱誤差矩陣為零的最佳解耦方法。首先推導了分解后的誤差矩陣對姿態和速度方程的影響;接著深入分析引起安裝誤差矩陣耦合的原因,從更深層次揭露了這種耦合關系,并在此基礎上提出最佳解耦方法;然后將本文方法與傳統方法進行對比分析;最后利用兩種方法進行標定仿真,并對標定結果進行原位導航,仿真結果驗證本文所提方法是有效的。

1 問題描述

慣性儀表誤差模型(待標參數模型)[10]為

(1)

(2)

假設待標參數誤差為常值誤差,隨機噪聲為零均值不相關白噪聲,則

(3)

為了論述方便,記δKω和δLa構成的各個元素分別為

(5)

式中,δKii和δLii(i=X,Y,Z)表示慣性傳感器的刻度系數;δKij和δLij(i≠ji,j=X,Y,Z)表示慣性傳感器的安裝誤差系數。

(6)

2 基于矩陣分解的解耦方法

2.1 安裝誤差矩陣分解

下面首先給出矩陣分解原理。

引理1矩陣分解原理[20],任何矩陣A可分解成對稱矩陣和斜對稱矩陣之和,即

(7)

式中,矩陣F為斜對稱矩陣(FT=-F);G為對稱矩陣(GT=G)。

根據引理1可以將刻度系數/安裝誤差矩陣分解成兩部分:斜對稱誤差矩陣和對稱誤差矩陣,用數學表達式表示為

(8)

式中,δKScal/sym,δLScal/sym表示δKω,δLa中的對稱誤差矩陣;δKSksym,δLSksym表示δKω,δLa中的斜對稱誤差矩陣。

由于δKSksym,δLSksym具有斜對稱性,還可以寫成向量叉積形式，即

(9)

由于對稱誤差矩陣δKScal/sym,δLScal/sym包含了刻度系數誤差和安裝誤差的對稱性誤差,將其分開表示,則可分解為

(10)

式中,δKScal表示刻度系數誤差,是一個對角陣;δKSym表示安裝誤差的對稱性誤差。

因此,式(8)可以表示為

(11)

根據矩陣分解原理,矩陣分解后的誤差矩陣物理含義為:斜對稱誤差矩陣δKSksym和δLSksym表示安裝誤差陣的不對準特性,指慣性儀表組相對參考軸的不對準;對稱性誤差矩陣δKSym和δLSym表示安裝誤差陣的非正交特性,指慣性儀表組輸出軸之間是非正交的;對角矩陣δKScal和δLScal表示刻度系數誤差。

根據對稱誤差矩陣和斜對稱誤差矩陣性質,可以得到

(12)

(13)

(14)

(15)

式(15)說明了可以通過刻度系數/安裝誤差矩陣來求解對稱誤差矩陣和斜對稱誤差矩陣,為實際應用提供方便。

為了理解斜對稱誤差矩陣和對稱誤差矩陣物理意義,以二維平面為例進行解釋。

圖1 安裝誤差矩陣的分解Fig.1 Decomposition of installation error matrix

從二維平面可以看出,安裝誤差矩陣分解就是將這兩類誤差分開,其中斜對稱誤差矩陣是因坐標系失準導致的,對稱誤差矩陣是非正交特性導致的。

對陀螺儀表組安裝誤差矩陣分解是對二維平面物理意義分析,該過程同樣適用于加速度計的安裝誤差分解陣的解釋。

2.2 兩類誤差對捷聯慣導姿態和速度方程的影響

(16)

將式(10)和式(11)代入式(16),可得

(17)

δfb=δLScalfb+δlSksym×fb+δLSymfb

(18)

2.2.1 兩類誤差對姿態誤差方程的影響

(19)

(20)

對式(20)兩邊微分可以得到

(21)

將式(17)的誤差方程代入式(21)得

(22)

(23)

從式(23)可以看出,斜對稱誤差不影響陀螺儀誤差的增長,即不對姿態誤差增長有影響。

接著分析斜對稱誤差對姿態方向影響，這種影響可以通過將該部分影響代入式(19)進行分析，得

(24)

對式(24)進行積分可得

(25)

式(25)說明斜對稱誤差對姿態誤差影響等價于加入一個從t=0開始的從b系到i系的姿態誤差。

2.2.2 兩類誤差對速度誤差方程影響

從捷聯慣導解算可以發現,安裝誤差是通過比力fn對系統速度產生影響,而比力fn將通過被積分得到系統速度。因此若分析了安裝誤差對fn的影響就可以知道安裝誤差對系統速度的影響過程。因此僅對比力進行分析。

對慣導速度微分方程中的比力變換項進行變形得

(26)

為了分析斜對稱誤差的影響,對式(26)進行微分展開,得

(27)

式中,Others項表示不受安裝誤差影響。

(28)

(29)

(30)

積分式(30)得到

(31)

將式(18)和式(31)代入式(27)可得

(32)

式(32)中相關項存在關系為

(33)

(34)

(35)

將式(33)～式(35)代入式(32)得到

(36)

2.3 安裝誤差矩陣解耦方法

首先明確兩個問題,第一是系統級標定的待標參數是在什么坐標系定義的,第二是誤差方程在什么坐標系下解算的。由式(1)和式(2)可知,24個待標參數是針對體坐標系b系定義的,而從方程式(6)可以得知誤差方程是在導航系n系中解算的。

其次分析安裝誤差矩陣產生耦合的原因。第2.2節內容已經推導并簡要分析了分解后的斜對稱和對稱性誤差對在n系上解算的誤差方程的影響過程,可以看出參數耦合的問題。陀螺斜對稱誤差矩陣δKSksym對姿態誤差增長無影響,對姿態誤差微分項的影響是與初始姿態誤差融合在一起共同影響的。因此,無法從姿態誤差中分離出陀螺斜對稱誤差矩陣δKSksym。由式(36)可以知道加速度計組斜對稱誤差δLSksym對速度誤差的影響是通過(δLSksym-δKSksym)項完成的,即δLSksym與δKSksym是耦合的?？梢?通過捷聯慣導的誤差方程,無論采用什么機動方式,都無法同時分離出δKSksym和δLSksym待標參數,這里的6個參數必然存在3組耦合關系。這就是耦合產生的根源。

接著分析解耦的途徑。通過分析,如果δKSksym或者δLSksym項為0,那么待標參數的3組耦合關系可以消除,從而完成解耦。但是,由于δKSksym影響不僅涉及姿態誤差方程,還涉及速度誤差方程,而δLSksym僅出現在速度誤差方程中,因此,從二階舍項誤差最小角度分析,理論上最佳的解耦方式是使δKSksym為0。然而,是否能做到使δKSksym為0還需要進一步分析。與δKSksym為0相關聯問題是δKSksym是怎么定義的。本節一開始便首先明確了δKSksym是在b系下定義的。使δKSksym=0意味著b系與I+δKSksym所確定的坐標系重合?？梢?能否根據所提方式解耦的前提條件是b坐標系是否可以自由選擇。然而,體坐標系定義是先決條件,只有定義了體坐標系才可以列寫飛行力學方程、安裝載體上的各種設備(各種設備是以這個體系為基準進行安裝)等,慣性導航設備就是以這個基準安裝在載體上[1,3]?？梢婓w坐標系的確定不是任意的。國外文獻一般定義體坐標系為:x軸沿著載體縱軸指向前,y軸沿著載體橫軸指向右,z軸與x,y軸構成右手直角坐標系[1]。國內教科書更多使用x軸沿著載體橫軸指向右,y軸沿著載體縱軸指向前,z軸與x,y軸構成右手直角坐標系的定義方法[3-4]。

最后提出解耦方法。從安裝誤差產生的節點考慮問題。慣性儀表組先是集中安裝在IMU上,然后再安裝到載體上。存在兩次安裝過程,相應有兩次安裝誤差。第1次的安裝誤差可以按照所提的矩陣分解法分為斜對稱誤差和對稱誤差,而第2次的安裝誤差只有斜對稱性誤差,也即只有失準誤差。第1次的安裝誤差參數可以在高精度轉臺上進行標定,然而第2次的安裝誤差是無法在轉臺上進行的。幸運的是，這些誤差都是一個小量,可以假設體坐標系在這微小范圍內是可以重新定義的。

因此,最佳解耦方法:定義體坐標系b系與I+δKSksym所確定的坐標系重合,則式(9)和式(10)中的待標參數變為

(40)

可以看出這種解耦方法其實是一種均值分配方法,使各項的安裝誤差進行一項平均,這種平均可以使捷聯慣導計算中的二階舍項誤差影響最小。

3 與傳統方法關系

分析本文所提解耦方法與傳統方法的關系。

傳統方法的待標參數為

(42)

式中，上標c表示傳統方法。

為了得到傳統方法與本文最佳方法的關系,需要梳理其各自的定義過程。設真實的體坐標系為b0,傳統方法的體坐標系定義為bc,而本文的體坐標系為bnew,根據定義有下面關系:

轉動b0系,使得新坐標系的z軸與z向陀螺單位矢量重合,而y向陀螺單位矢量在體坐標系的yz平面內,從而得到bc。

轉動b0系,使得陀螺儀表組的安裝誤差失準角為0,即陀螺儀表組只存在正交性誤差,則得到bnew。

可見本文方法與傳統方法的區別是體坐標系選擇不同,本文的選擇方法是一種均值分配方法,其使各項的安裝誤差進行一次平均。下面以二維平面為例對體坐標系選擇進行說明。

如圖2所示,xgyro,xacce,ygyro,yacce分別表示x,y向陀螺和加速度計的安裝位置,x和y軸是根據載體定義的b0坐標系。xgyro,xacce,ygyro,yacce與x和y軸的誤差角分別為:θx_gyro,θx_acce,θy_gyro,θy_acce。由前面分析可知,bc系是轉動b0系,使x軸與xgyro重合,并且使ygyro在xy平面內,而bnew系是轉動b0系,使陀螺不存在失準角,即圖2中xnew位置。

圖2 二維平面例子展示圖Fig.2 Schematic diagram of two dimensional plane

設斜對稱誤差角為η,對稱性誤差為μ,則有

(43)

因此有

η=(θx_gyro+θy_gyro)/2

(44)

4 仿真研究

仿真首先針對系統級標定設計濾波器,然后基于該濾波器分別利用本文方法和傳統方法進行標定,最后分別利用兩種標定結果進行原位導航仿真。

系統級標定濾波器設計:

根據誤差微分方程,設計27維Kalman濾波器。濾波器狀態為

(45)

式中,Xg,Xa表示陀螺和加速度計待標參數向量,分別為

(46)

(47)

式中

(48)

濾波器方程為

(49)

式中

(50)

其中

濾波器觀測方程為

Z=HX+V

(51)

式中,Z=δv；V是觀測噪聲,觀測矩陣為

H=[03×3,I3×3,03×21]

(52)

系統級標定中的轉動激勵采用Camberlein設計的編排方式[6],如表1所示。設轉速為10°/s,轉臺轉動中心的速度為仿真的速度觀測值(速度為0),仿真中待標參數設置如表2所示。

表1 Camberlein設計的編排方式

表2 待標參數仿真數值

Kalman濾波仿真結果如表2所示。其中陀螺儀安裝誤差角的3個參數分別為相應方法的3個待標參數。

利用標定結果進行原位導航仿真,導航結果如圖3～圖5所示。圖3為三軸姿態誤差,圖4為速度誤差,圖5為位置誤差,從仿真結果可以看出本文方法比傳統方法在整體上具有小的偏差,與理論相符。

圖3 姿態角誤差Fig.3 Simulation results of attitude angle error

圖4 速度誤差Fig.4 Simulation results of velocity error

圖5 位置誤差Fig.5 Simulation results of position error

5 結 論

本文利用矩陣分解方法研究了慣導安裝誤差矩陣在系統級標定中的耦合問題,提出一種最佳解耦方法,得到如下結論:

(1) 陀螺儀表組的斜對稱誤差矩陣δKSksym對姿態誤差增長無影響,對姿態誤差的動態方程影響等價于一個初始姿態誤差,而加速度計儀表組的斜對稱誤差δLSksym是與δKSksym通過做差對速度方程產生影響的,從而導致12個安裝誤差矩陣存在3組耦合關系；

(2) 最佳解耦方式是使陀螺儀表組的斜對稱誤差矩陣為0,即令陀螺儀表組安裝誤差中的失準誤差為0；

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