競爭失效下多元退化建模的導彈貯存壽命評估

蔡忠義, 項華春, 王 攀, 王澤洲, 李 超

(空軍工程大學裝備管理與安全工程學院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

貯存壽命是導彈的一項重要戰技指標,關系到導彈的戰備完好性和快速反應能力。通常情況下,導彈在貯存期內發生的失效是彈上多部件退化失效和突發失效之間競爭的結果[1]。長期修理經驗表明,貯存期內彈上關鍵部件的失效占導彈失效的比例很高。通過對彈上部件的性能參數進行定期測試、分析與評估,可以評估導彈的健康狀態[2-3]。關于競爭失效下多元退化建模研究可分為兩部分。

一是多元退化建模,即對多個性能參數的產品進行退化建模[4-5],常見的處理方法有兩種。①將產品多個性能參數融合為一個可以描述產品一個整體退化狀態的性能參數,一般可采用貝葉斯線性模型[6]、狀態空間模型[7-8]、支持向量機[9-10]等,建立產品的整體退化狀態與多個性能參數之間的關系模型。文獻[6]采用貝葉斯線性模型,建立了多個測試參數與其累計退化量之間的線性關系,但對于多個參數與退化量之間的非線性關系就難以適用。②直接建立多個性能參數的聯合壽命分布模型[11-12]。一般采用Copula函數[13-14]、多元正態分布[15]等,描述多個性能參數之間的相關性,Copula函數一般只適用于二元相關性退化建模。文獻[15]采用多元正態分布來描述多個性能參數之間的相關性,但使用前提是各性能參數的邊際分布為正態分布且存在線性相關性。

二是退化失效與突發失效之間的競爭失效建模[16]。按照這兩種失效模式之間是否獨立,可分為兩種情況。一種是兩種失效模式之間獨立的研究[14,17],將產品的可靠性模型看作是簡單的串聯模型,會降低導彈貯存可靠性評估的準確性；另一種是產品的突發失效受其性能退化影響的研究,一般采用比例危險模型[18-19]、位置-尺度模型[20]、退化閾值-沖擊(degradation threshold-shock,DTS)模型[21]等,描述性能退化對突發失效率的定量影響關系,進而建立退化失效與突發失效之間的相關性競爭模型。文獻[21]采用DTS模型,建立了突發失效與性能退化、環境因素之間的定量關系模型,評估精度高,但建模過程較復雜。

因此,本文首先分析導彈失效模式,建立導彈競爭失效模型;然后引入狀態空間模型,將彈上多個關鍵部件特征電壓轉化為一個整彈退化程度;最后采用多個隨機過程模型,建立整彈退化程度數據的退化模型;采用比例危險模型,建立考慮性能退化影響的突發失效模型。

1 競爭失效建模

1.1 基本假設

(1) 導彈失效是多個關鍵部件退化失效與突發失效之間競爭的結果,多個關鍵部件退化數據可通過狀態空間模型轉化為整彈退化程度數據。

(2) 導彈在貯存期內定期進行測試時,激勵信號無輸出或超出規定范圍,則判斷為突發失效,此次測試時間記為突發失效時間。

(3) 導彈突發失效時間服從Weibull分布,突發失效率與當前時刻的退化程度有關。

1.2 競爭失效模型

導彈貯存期內失效是彈上多部件退化失效與突發失效相互競爭的結果。通過分析導彈返廠修理情況,發現導彈中的轉換開關、穩壓器、電源組件、陀螺儀等部件失效是整彈貯存失效的關鍵因素[22]。因此,選定這4個部件作為評估整彈健康狀態的關鍵部件。根據電子產品技術特點,選定特征電壓作為上述部件的關鍵性能參數。通過定期測試貯存期內導彈關鍵部件的特征電壓來估計出整彈退化程度。因此,導彈的失效時間T可表示為

T=min{Td,Tr}

(1)

式中,Td為導彈退化失效時間,可通過整彈退化程度數據估計出;Tr為導彈突發失效時間。

則在退化失效與突發失效的相關性競爭失效場合下,貯存期(0,t]內導彈可靠度R(t)可表示為

R(t)=P{T>t}=P{Td>t,Tr>t}=

P{Tr>t|Td>t}·P{Td>t}=Rr|d(t)·Rd(t)

(2)

式中,Rr|d(t)表示未發生退化失效條件下Tr的條件可靠度;Rd(t)為Td的可靠度。

導彈平均壽命ξ可表示為

(3)

2 多元退化失效建模

用彈上多個關鍵部件特征電壓數據來推斷出整彈退化狀態,可視為多元退化建模問題,其處理思路是先將多維部件特征電壓轉化為一個整彈退化參數,然后采用一元隨機過程模型對轉化后整彈退化程度數據進行退化建模。

2.1 將多部件特征電壓轉化為整彈退化參數

將引入狀態空間模型[8],利用彈上關鍵部件的特征電壓的定期測試數據來構建整彈狀態特征矩陣,通過計算整彈正常狀態與當前退化狀態之間相似程度,得到整彈的退化程度。

(1)構建狀態特征矩陣

將測試得到的彈上關鍵電子產品的特征電壓作為其狀態信息,構建特定狀態下導彈的狀態特征矩陣,表達式為

(4)

式中,X為狀態特征矩陣;xj=(x1j,x2j…,xnj)T為特征矢量;xij為第i(i=1,2,…,n)個特征在時刻j(j=1,2,…,m)的狀態數據;n為特征個數;m為測試點個數。

(2) 建立狀態子空間

正常狀態與退化狀態下,導彈的狀態特征矩陣所蘊含的狀態信息不同,表現在兩種狀態下的導彈狀態子空間存在一定的差異。采用核主成分分析法,從狀態特征矩陣中建立狀態子空間,具體如下:

利用非線性映射φ(·),將狀態特征矩陣X映射到高維特征空間F中,即

Xaφ(·):

φ(X)=[φ(x1),φ(x2),…,φ(xm)]

(5)

式中,φ(X)表示F中狀態特征矩陣;φ(xj)(j=1,2,…,m)表示對應于特征矢量xj的非線性特征矢量。

核主成分分析的特征方程為

mhα=Kα

(6)

式中,α為權向量;h為φ(X)的協方差矩陣C的特征值;K為核矩陣,其定義如下:

Kij=〈φ(xi),φ(xj)〉=k(xi,xj)

(7)

式中,i,j=1,2,…,m;k(·)為核函數。

本文采用高斯核函數,形式為

(8)

由式(6)計算出權向量α。

將協方差矩陣C的特征向量δ歸一化處理,得到其正交基向量ω,表達式為

(9)

選擇較大的特征值h所對應的ω,建立狀態子空間S,即

S=span(ω1,ω1,…,ωr)

(10)

式中,r為狀態子空間維數。

(3) 計算子空間主夾角

設正常狀態下導彈的狀態子空間為S0,退化狀態下導彈的狀態子空間為S1,則S0與S1之間的相似性可通過子空間正交基向量之間的主夾角表示。主夾角越大,兩者之間的相似性越小。將基向量內積矩陣記為W,表示為

(11)

對(11)進行奇異值求解,得到d個特征值κ1,κ2,…,κd,則主夾角θi表示為

θi=arccosκi,i=1,2,…,d

(12)

(4) 計算整彈退化程度

由式(12)可知,θi∈[0,π/2],θi越大,說明S0與S1之間的相似性越小,導彈性能退化程度越大。由于最小的主夾角反映了兩個子空間最主要的相似性信息,因此將整彈退化程度Y定義為最小主夾角的正弦值,表示為

Y=sin[min(θi)]

(13)

2.2 退化模型

將導彈的退化程度Y(t)看作成一個隨機變量,擬采用一元Wiener、Gamma和Inverse-Gaussian過程進行退化建模。

假設Y(t)服從Wiener過程,即

Y(t)=Y(0)+uΛ(t)+σB(Λ(t))

(14)

式中,u為漂移系數;σ為擴散系數;B(·)為標準布朗運動;Λ(t)為時間t的函數,表征Y(t)在時間軸上的非線性特征;Y(0)為初始退化量,不失一般性情況下,令Y(0)=0。

根據Wiener過程性質,獨立平穩增量ΔY(t)服從正態分布,即ΔY(t)～N(uΔΛ(t),σ2ΔΛ(t)),其中ΔY(t)=Y(t+Δt)-Y(t);ΔΛ(t)=Λ(t+Δt)-Λ(t),則Y(t)的概率密度函數(probability density function, PDF)為

(15)

設Y(t)退化失效閾值為D,Y(t)首次達到D的時間TD定義為TD=inf{t|Y(t)≥D},則TD服從Inverse-Gaussian分布,可推導出TD的可靠度函數為

(16)

當Y(t)服從Gamma過程,則ΔY(t)服從Gamma分布,即ΔY(t)～Ga(uΔΛ(t),σ),其中u,σ分別為形狀參數和尺度參數,則Y(t)的概率密度函數為

(17)

同理推導出TD的可靠度函數為

(18)

當Y(t)服從Inverse-Gaussian過程,則ΔY(t)服從Inverse-Gaussian分布,即ΔY(t)～IG(uΔΛ(t),σΔΛ(t)2),其中u,σ分別為均值和尺度參數,則Y(t)的PDF為

(19)

同理推導出TD的可靠度函數為

(20)

2.3 參數估計

現有M枚導彈進行定期測試,測試時刻tij(i=1,2,…,M;j=1,2,…,Mi)處的退化程度記為Y(tij)。不失一般性情況下,令上述退化模型中Λ(t)=tc(c>0為待定常數),將未知參數集合記為θ1=(u,σ,c)。根據Y(t)的PDF,建立整彈退化程度數據樣本的似然函數如下:

(21)

若Y(t)服從Wiener過程,將式(15)代入式(21),可得

(22)

分別令式(22)關于u,σ2的一階偏導數為零,求得u,σ2的極大似然估計:

(23)

(24)

由于式(23)、式(24)的求解依賴于c的取值,采用兩步極大似然估計法[23],借助Matlab軟件中的fminsearch函數可解決此問題。

當Y(t)服從Gamma過程和Inverse-Gaussian過程時,同理求解出θ1估計值以及對應的lnL(θ1)值。將赤池信息準則(Akaike information criterion,AIC)作為選擇Y(t)的隨機過程類型的判斷準則,即將AIC取最小值所對應的隨機過程作為Y(t)的最優隨機過程類型。其計算公式為

AIC=2p-2lnL(·)

(25)

式中,p為未知參數個數。

3 突發失效建模

3.1 突發失效模型

導彈為典型的機電一體化產品,一般認為其突發失效時間Tr服從雙參數威布爾分布,則不考慮性能退化影響的突發失效率函數λr0(t)為

(26)

式中,m為形狀參數;η為尺度參數。

采用比例危險模型[19],描述突發失效率與時間、整彈退化程度之間的正相關函數關系。假設到時刻t時導彈仍未失效,此時導彈突發失效率記為λr[t,Y(t)],可表示為

λr[t,Y(t)]=λr0(t)·q(Y(t))

(27)

式中,λr0(t)為q(Y(t))=1時的標準危險函數;q(Y(t))≥1為比例系數,其常用函數形式為q(Y(t))=exp(βY(t)),其中β為待定系數。

為保證t時刻導彈不發生退化失效(即未達到失效閾值D),將式(27)改寫為

(28)

在未發生退化失效條件下Tr的條件可靠度函數和條件PDF分別為

(29)

fr|d(t)=λr[t,Y(t)]·Rr|d(t)

(30)

3.2 參數估計

現有N枚導彈發生突發失效,突發失效時刻分別記為t1,t2,…,tN,對應的退化程度分別記為Y(t1),Y(t2),…,Y(tN)。將上述模型中未知參數集合記為θ2=(m,η,β)。根據fr|d(t),建立導彈突發失效樣本的似然估計函數為

(31)

對于上述似然函數同樣是采用兩步極大似然估計法進行求解,即先確定β,再求解m,η。

4 實例分析

已知現有一批16枚某型導彈,貯存期為8年,每半年測試彈上轉換開關、穩壓器、電源組件、陀螺儀這4個關鍵產品的特征電壓情況。其中,一組彈上關鍵部件特征電壓數據如表1所示。根據導彈設計規范,當部件的特征電壓值漂移量超過±10%時,則判定為退化失效;當部件的特征電壓為0或者超過1倍,則判定導彈突發失效。

為便于對比分析,將本文提出的退化失效與突發失效之間相關的競爭建模方法記為M1;將退化失效與突發失效之間獨立的競爭建模方法記為M2;將僅考慮退化失效建模方法記為M3。

表1 某導彈關鍵部件的特征電壓值

4.1 整彈退化程度計算

根據失效判據可知,在測試期內這批導彈中有6枚導彈發生突發失效,采用狀態空間模型,計算出突發時間時整彈退化程度值如表2所示。

表2 導彈突發失效時的退化程度

采用狀態空間模型,計算出余下10枚整彈退化程度數據如圖1所示。根據退化失效判據,計算出導彈退化失效時的整彈退化程度值為4.120,即失效閾值D。由此可知,這10枚導彈中有3枚導彈退化失效(圖1中藍線退化軌跡),失效時間分別為7、8、8年。

圖1 10枚整彈退化程度數值曲線Fig.1 Ten missiles degradation degree value curves

4.2 參數估計結果

依據10枚整彈退化程度數據,給定θ1中參數c的初值為1.10,利用fminsearch函數,對式(21)進行遍歷搜索,得到參數估計結果如表3所示。

表3 退化模型參數估計結果

由表3可以看出,Y(t)服從Wiener過程時,計算出的AIC值最小,說明Y(t)最優隨機過程類型是Wiener過程。經置信水平為0.95的正態分布假設檢驗,接受整彈退化程度增量ΔY(t)服從正態分布的結論,進一步說明整彈退化程度服從Wiener過程是可信的。

依據6枚導彈突發失效時間及對應的退化程度數據,給定θ2中參數β的初值為0.25,利用fminsearch函數,對式(31)進行遍歷搜索,得到參數估計結果為

(32)

經置信水平為0.95的威布爾分布假設檢驗,接受導彈突發失效時間服從威布爾分布的結論。

4.3 貯存壽命評估分析

根據上述參數估計值,由式(2)計算出競爭失效場合下導彈貯存可靠性函數R(t),繪制出不同方法下導彈貯存可靠度曲線如圖2所示。與M2、M3的可靠度曲線相比,M1的可靠度曲線偏保守,符合工程上的做法。

圖2 3種方法下可靠度曲線Fig.2 Reliability curve by three methods

根據這批導彈所記錄的失效時間或截尾時間,計算出這批導彈的貯存壽命統計值,即

式中,Tr,Td,tn分別為突發失效時間、退化失效時間、測試截止時間;rr,rd分別為突發、退化失效數。

實際上,由于導彈失效時間應該是介于當前測試失效時間與上一次測試時刻之間,因此ξ*值應在[12.61，13.11]。

圖3 不同方法下導彈貯存剩余壽命值Fig.3 Missile storage remaining life by different methods

5 結 論

(1)引入狀態空間模型,將多維部件特征電壓轉化為一維整彈退化參數,采用多個隨機過程模型對整彈退化程度數據進行擬合,將AIC值最小所對應的隨機過程模型作為其最優選擇,能較好地擬合整彈退化程度的退化特征;

(2)采用比例危險模型,建立了考慮整彈退化程度影響的導彈突發失效模型,能客觀描述導彈性能退化對其突發失效的影響;

(3)采用兩步極大似然估計法,借助fminsearch函數,求解出模型中多個參數估計值,為解決參數個數多于方程組個數的參數估計問題提供了一種可行途徑。

(4)結合某批次導彈貯存實例,評估了導彈的平均壽命與剩余壽命值,并與現有方法的評估結果進行了對比分析,進一步證實了本文所提出方法具有較好的評估精度,具有一定的工程應用價值。

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