江蘇省江陰市華士高級中學 (214421)
鄒少蘭 沈亞軍
已知x,y∈R且滿足x2+2xy+4y2=6,則z=x2+4y2的取值范圍為 .
本道題年級理科班240個學生中只有一個人答對,正確率幾乎為零.而筆者通過研究發現解決此題的方法頗多,具有較大的研究價值.為此,筆者針對此題專門開設了一堂“一題多解,織線成網”的專題課,嘗試著通過這節課的學習讓學生掌握求值域問題的通法和特殊方法;夯實雙基,把學習過的知識融會貫通;將各種獨立的知識線條連接成知識網絡,學會從多個角度分析問題,培養發散思維,提高解題能力.
1.從學情出發,夯實雙基
然而由于條件x2+2xy+4y2=6的限制,xy并不能取到任意實數.學生利用基本不等式只得出最小值,而最大值被忽略了.
綜上,z∈[4,12].
綜上,z∈[4,12].
學生在解決多元變量問題時常會利用基本不等式實現積與和的轉化,但他們忽略了基本不等式只能求出范圍的一端也就是最值,說明學生對基本不等式知識的掌握還不夠牢固.法一法二從學生的學情出發,在學生解題的基礎上加以修正,在夯實基礎的同時使解題更完整更嚴謹.
2.在能力上提升,融會貫通
多變量的最值問題的通法是將變量減少至一元變量,然后利用一元變量求最值的方法解答.
∵t≥0,(6-t)2≥0,方程(**)必有正根,∴Δ≥0得t∈[4,12],即z∈[4,12].
這四種方法都是將二元變量轉化成一元變量的常用方法.通過這四種解題方法引領學生從不同視角觀察研究問題,既得出了通性通法,也讓學生感受各類相互獨立的知識之間存在著千絲萬縷的聯系,只有融會貫通地運用數學知識才能使解題道路更寬闊,思維能力得以提升,知識結構得以完善.
3.于方法處飛躍,引而伸之
導函數是求函數最值問題的常用方法,而對于多元變量我們也可以使用偏導數來解決.
綜上,z∈[4,12].
z=f(x,y)除受定義域的約束外,還受φ(x,y)=0條件的限制,這樣的極值問題稱為條件極值,條件極值問題均可以用拉格朗日數乘法和幾何模型法來解決.
雖然法七和法八運用了高等數學知識,但這兩種方法也是解決多元最值的通法.類比一元函數的導數,多元函數的偏導數學生較好理解.在解決難題時,這未嘗不是一種新法.
4.結束語
“工欲善其事,必先利其器”,一題多解可以讓學生多角度考察問題,能讓學生掌握更多的解題方法,把這些思想方法互相滲透,能促進學生思考能力的提升,在遇到問題時有所選擇.教師若能在課堂教學中體現一題多解的思想,必能讓課堂更高效.