基于結構約束條件的相位恢復算法設計

趙一軒，郭澄，孫艷軍

（1.長春理工大學 光電工程學院，長春 130022；

2.哈爾濱工業大學 超精密光電儀器工程研究所，哈爾濱 150001）

相位恢復是利用易探測的強度信息重建波函數的過程。光的傳播頻率大約為1.6×1014Hz，目前并沒有任何一種光學感應設備能夠實現光波相位信息的直接測量，為此，需要引入一些間接測量方案對丟失的相位信息進行重構。目前，相位恢復技術可以分為以下兩類：干涉測量法［1，2］和衍射測量法［3］。干涉測量法以參考光和照明光疊加的方式記錄透射光波的信息，然后通過計算機處理的方式計算出目標物體的光場信息。雖然干涉法重構精度高，但是其重構容易被振動和熱波動所影響，而且難以嚴格保證參考光和照明光的相干性。因此，干涉法對實驗提出了極高的要求。

衍射法則通過樣品的衍射圖樣直接進行目標重構，其具有結構簡單、穩定性高等特點。根據計算方式不同，它可分為強度傳輸方程計算法［4］和迭代式相位恢復算法［5］兩類。強度傳輸方程可在傍軸近似下利用亥姆霍茲方程求解而得，通過該方程可以直接求解目標的相位分布信息。該類方法無需迭代、無需相位解包裹，但是只能針對相位型物體或者透明樣品。與之相反，迭代式相位恢復算法通過對目標光學系統建立迭代格式，利用迭代計算的方式進行目標重建。該類方法無需復雜的數學推導，且適用于各種類型的樣品結構，因此近年來受到了廣泛的關注。

迭代型相位恢復算法最早于1972年由Gerchberg等人研究電子顯微鏡的相位重構時所提出［6］，該算法被稱為GS算法（Gerchberg-Saxton algorithm）。該方法指出，如果像平面和遠場衍射平面的強度可知，那像平面的相位可以通過衍射迭代計算的方式求出。隨著該算法的提出，迭代型相位恢復算法現已被成功運用到X射線成像、自適應光學、相干衍射成像以及生物成像中［7］。雖然GS算法的提出具有開創性意義，但是它也存在著多種不容忽視的問題，例如其伴隨的弱收斂性以及對初始值過于敏感。為了提高其收斂速度，Fienup基于反饋收斂的思想提出了混合輸入輸出算法（HIO）［8］。我國學者楊國楨和顧本源提出了YG算法，其將GS算法推廣到了任意線性系統［9］。但是，這一系列GS算法的改進方案都依賴于樣品的振幅信息已知，然而這一條件在無透鏡衍射成像中卻很難實現。為此，多參數測量、多方位測量的實施方案被用來緩解其對物平面的依賴，例如，利用精密針孔進行重疊掃描成像［10］、多距離衍射成像［11］、多波長衍射成像［12］等。

本文著眼于多距離衍射成像，為其定義了新的結構約束條件。通過該約束條件的限制，多距離衍射相位恢復的收斂速度和收斂精度都得到了極大的改善。

1 多距離相位恢復理論模型

迭代相位恢復問題實質上是求解一個病態方程組的問題，其最初的雛形是GS算法。GS算法最初被運用到電子顯微鏡中恢復焦平面的相位圖像。其已知量為聚焦平面的強度圖像g和其遠場衍射斑I。它是典型的運用振幅-振幅信息恢復輸入平面相位的算法。在GS算法中，傅里葉變換是其傳遞函數，因此算法中的輸入平面和輸出平面就分別代表著空域和頻域。而GS算法的核心操作就在于分別為空域和頻域中的計算值施加約束，其目的在于通過在迭代計算中不斷施加固有的約束條件從而達到目標收斂的效果。相應的空域約束和頻域約束就是分別利用在輸入平面和輸出平面實際測量得到振幅，替代每次迭代中所計算出的振幅、。GS算法計算步驟可以歸納為：（1）以隨機相位初始化輸入平面目標（平面）；（2）對輸入平面進行傅里葉變換從而得到目標的輸出平面（測量平面）復振幅分布F；（3）頻域約束，即以I替代 ||F，保持相位θ不變，從而組成新的輸出平面復振幅F′；（4）對輸出平面進行逆傅里葉變換從而得到輸入平面的復振幅分布f′；（5）空域約束，即以g替代 ||f′，保持相位φ不變，從而組成新的輸入平面復振幅f；（6）迭代重復步驟（2）-（5），直至得到滿足需要的目標相位φ。

多距離相位恢復則是在目標后方衍射場測量多個距離下的強度圖像，利用這多個測量圖像的迭代計算從而恢復目標圖像。多距離衍射成像是一類不借助任何目標光場的已知信息（Prior knowledge）而可恢復出其復振幅的相位恢復技術。

假設目標平面的復振幅函數分布為g，第n個衍射距離Zn下的測量圖像為 ||In，那么目標復振幅函數g可通過以下迭代公式進行計算而得：

其中，k代表迭代次數，N為測量平面的個數，H和H-1為正向和逆向衍射傳遞函數。當k=1時，零初始化目標平面，即g1=0。而后，通過不斷循環計算公式（1-3）就可以重構出目標平面的復振幅函數g。在菲涅耳衍射條件下，不同距離的衍射傳遞函數可表示為：

式中，(ξ,η)為頻域坐標，λ為光學系統的通光波長。

2 基于結構約束條件的相位恢復算法設計

對于上述的多距離相位恢復算法，其存在的缺陷就是收斂速度緩慢。為此，本文利用設置約束條件的方式實現其加速收斂。Fienup在提出HIO算法的時候指出，如果在樣品平面設置支撐約束條件，那么選擇支撐條件的強弱就可以控制算法收斂的快慢。其對支撐條件的定義如下［8］：計算目標函數的邊界，對邊界內的局域進行相位恢復，然后對邊界外的區域進行衰減或者直接置0。鑒于此，本文利用結構照明的方式定義支撐邊界，然后將該結構支撐約束條件應用到多距離衍射成像中。

圖1 基于結構約束條件的相位恢復算法結構圖

圖2 基于結構約束條件的相位恢復算法流程圖

圖1為基于結構約束條件的相位恢復算法結構圖，其在目標平面后方選擇不同的衍射距離下設置測量平面，通過上節所述的迭代計算就可完成目標平面的圖像重構。在等間距采集的前提下，設置多距離相位恢復的初始距離為Z0，間距為d，那么衍射距離就可表示為Zn=Z0+(n-1)d,n∈[1,N]。傳統的多距離相位恢復要求使用平面波照明，本文在此基礎上引入結構照明的思想，利用兩個互補的結構光模式（P和Pˉ）對目標平面進行照明。圖2為本文提出的改進算法的算法流程圖。對于第k次迭代，互補的光照模式將分別產生兩個物函數的出射波函數，即Pgk和Pˉgk。將這兩個出射波函數帶入迭代公式（1-3）可產生兩個新的物函數估計Gk和Gˉk。毫無疑問，新產生的這兩個物函數估計都只包含目標的局部信息。為此，第k+1次的目標函數估計可以通過下式合成而得：

公式（5）是改進算法的核心公式，其不但完成了圖像的合成，也加強了相位恢復的約束支撐。而且，結構照明中其光斑模式是已知或可探測的，故公式（5）可實現相位恢復算法的緊支撐約束。

3 仿真分析

3.1 振幅型樣品

利用自由空間相干衍射成像，將多距離相位恢復算法和其改進算法用于恢復純振幅和純相位型樣品。結構照明作為約束支撐加速收斂的特性將在仿真分析中得到證明。其中，均方誤差函數（Mean Square Error，MSE）被用來作為其圖像恢復精度的評價函數，其定義如下：

式中，M代表圖像的尺寸，f′是真值圖像，f是重構圖像。MSE數值越小則圖像恢復的精度越高。對于純振幅型物體，本文選擇分辨率板（圖3（a））和灰度圖像（圖4（a））進行仿真分析。仿真參數如下所示：（1）圖像尺寸為1mm × 1mm（360 × 360）；（2）通光波長為532nm；（3）照明光束條紋周期為100μm；（4）測量次數N=4；（5）衍射平面初始距離Z0=20mm，間距d=2mm。為了保證對比分析的準確性，本節在多距離相位恢復仿真中的衍射距離分別為20、22、24、26mm。對于結構照明約束的多距離相位恢復，每個衍射距離對應兩幅測量圖像，因此其衍射距離只需選擇為20mm和22mm?；诖?，在測量次數相同的情況下，MSE越小代表收斂速度越快。設置迭代次數為120，分辨率板的仿真結果如圖3所示。通過對比圖3（b-d）可知，GS算法和傳統多距離相位恢復算法的重構圖像都出現了模糊和瑕疵，與之對應，施加照明約束的重構圖像卻清晰地重構出了分辨率板。而且就恢復精度而言，改進算法的MSE數值在三個算法中也是最小的。

圖3 二值型目標圖像重構結果

灰度型純振幅物體的重構結構如圖4所示，它的仿真參數和圖3一致。通過圖4（b）和（c）的MSE對比可知，結構照明約束對于灰度圖像依然有效。為了形象地描繪其收斂速度的增強，本文繪制了如圖4（d）所示的振幅收斂曲線。其中，取對數后的均方誤差（Logarithm of MSE，LMSE）被用來評價其收斂逼近程度。收斂曲線的對比進一步地證明了約束條件對相位恢復的加速效應。

圖4 灰度型目標圖像重構結果.

3.2 相位型樣品

對純相位物體進行仿真分析。振幅型物體對應純振幅樣品或者染色樣品，而相位型物體則對應透明樣品，相位型樣品的透射函數只改變光場的相位分布，不會對光場進行強度的調制，最簡單的相位型物體就是透鏡。而且，在生命科學領域，活體測量因其無標記且不損壞生物樣品內部屬性而受到廣泛關注。在對活體樣品進行測量時，其聚焦平面的強度圖像是透明的，無法通過強度信息對其進行檢測，因此需要通過諸如相位恢復或者差分干涉相襯等技術對其相位信息進行重建。為了模擬純相位樣品，本節利用Matlab中的Peak函數作為樣品的相位分布函數，利用一個全1矩陣作為其振幅分布函數。其中，圖5（a-c）分別是目標圖像的相位分布、傳統多距離相位恢復算法的重構相位以及改進算法的重構相位。從圖5（b）和（c）可以明顯看出，如果不施加約束條件，傳統的多距離相位恢復無法完整重構純相位樣品。相反，改進算法能完整重建出目標圖像的相位分布。但是，圖5（c）的重建相位仍然和目標相位有一定的差距。為此，不同測量次數下的相位收斂曲線繪制如圖5（d）所示。

圖5 相位型目標圖像重構結果.

根據圖5（d）的收斂曲線可知，測量次數的增加可提高重建相位的恢復精度，這便可以改善圖5（c）中的瑕疵之處。而且，改進算法的收斂效果確實大大優于傳統的多距離相位恢復。因此，結構照明約束的設置仍然可以加速相位型物體的重建速度。對于不同結構照明模式的準確實現，目前可以通過以下方案完成：利用空間光調制器［13］或者 Ronchi［14］光柵進行光束調制，形成明暗條紋，在偶數倍泰伯距離下放置樣品，可實現文中P模式照明，在奇數倍泰伯距離下放置樣品，可實現文中的Pˉ模式照明。

4 結論

本文將結構照明運用到多距離相位恢復中，通過不同的照明模式實現相位恢復的緊支撐約束，以此提高了多距離相位恢復的收斂速度和收斂精度。在相干衍射成像的數值仿真模型下，本文利用改進算法和傳統的多距離相位恢復算法對純振幅和純相位型物體進行重構。通過重構結果可知，無論是純振幅或者純相位物體，結構照明約束都大大提高了收斂速度和收斂精度。此外，本文所提出的結構照明約束也可用于其他多參數相位恢復算法中。而且，對于純相位物體，結構照明約束的使用解決了多距離相位恢復的弱收斂性以及收斂不穩定的問題，這對相位恢復在生物成像中的應用推廣有重要的理論指導意義。

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