解析幾何教學中發展運算素養的“五部曲”*

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數學運算是六大數學核心素養之一，也是當今學生較為弱化的一項重要能力.解析幾何在高考中扮演了考查數學運算素養的重要角色．因其綜合性強，題型多樣，方法靈活，運算量大，數學思想豐富，學生普遍望題生畏．在高三綜合測試中，解幾題無一不是主要失分題．對這樣的大眾“難算”題，唯有提高運算素養方能標本兼治.巴金先生說：“學寫作，只有寫，才會寫．”同樣，攻克解幾運算難關，只有算，才會算．以下，筆者以一道解幾綜合題的講評與反思為例，從五個方面談談解析幾何中如何發展數學運算素養，與同行交流探討．

圖1

(2)設點P的軌跡為C，點M,N是軌跡C上不同于A,B的兩點，且滿足AP∥OM,BP∥ON，求證：△MON的面積為定值．

這是一道高考模擬題．第(2)小問很多學生求出點M,N的坐標后就止步了，難度系數僅為0.36．得分如此低，問題出在哪？

1.說困難，明晰運算障礙——山重水復疑無路

學生是學習的主人，復習課亦如此．經歷解題碰壁，學生心中各有苦悶，講評時要善于傾聽學生的解題困惑，了解其知識缺陷、思維障礙、方法選擇、運算困難，使講評更具針對性．學生的主要思路如下：

生2：(整體代換法2)由已知得kOM·kON=

2.觀路徑，優化運算方法——柳暗花明又一村

解析幾何題的特點是“想想容易，計算難”，特別是解題路徑選擇不當時，往往會卡死在繁瑣的運算中．講評時，應分析學生解題受阻的原因，引導其優化解題方法，順應學生思路，幫助其逐步突破“藩籬”，讓他享受到解題成功的快樂，以免陷入“屢戰屢敗”的畏難情緒．

生5：(換底法)以OM為底，再求點N到OM的距離d，計算量就小多了……唉，是哦！一語驚醒“夢中人”，很多同學茅塞頓開．

師：求得點M,N的坐標后，還有什么方法可表示出S△MON？

師：S△MON的表達式與生4的解法不謀而合呀，怎么她的做法不行呢？

引導同學再次觀察方程“①，②，③”．幾個優生發現：方程①②左右兩邊相乘，再將方程③代入，得(x1y2-x2y1)2=6．定值得求．

異曲同工??！一個個障礙被跨越，同學們的思考熱情高漲起來！

師：多字母運算時，要充分運用已知條件，用寬廣的視野進行整體觀察、整體運算．設直線方程及交點的坐標，但“設而不求”，是解直線和圓錐曲線問題的通法，生3的解法問題又出在哪？

至此，解題疑惑全打開．大家發現還是“換底法”最簡單，它成功避開了將直線方程代入橢圓方程的運算，省去了“根與系數關系及曲線弦長”的繁瑣計算．同學們感嘆：條條大路通羅馬，路徑選擇很重要！

若就此結束講評，學生看清的只是原來模糊的一棵“樹”，運算體會還是停留在解決單一問題的淺層水平．維果斯基的“最近發展區理論”認為，教學應著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能，促進學生向更高水平發展．

3.探真相，形成運算程序——撥云見日現本質

師：△MON的面積為定值是必然還是巧合？對一般橢圓有類似性質嗎？

老師肯定了同學們的猜想．原來△MON的面積為定值是必然而非巧合．研究“一棵樹”，發現“一片林”．大家思維飛揚，筆者于是乘勝追擊．

追問1：如果延長MO,NO交橢圓于M′,N′，則四邊形MNM′N′的面積是否為定值？若是，定值是多少？

經過一番猜想、驗證，同學們欣喜地發現：

云霧散去，真相大白．打開一扇門，推開一扇窗：一個特殊結論的背后原來隱藏著“不能說的秘密”．解析幾何高冷的形象瞬時可愛起來．3個追問，讓學生對圓錐曲線的“定值、取值”問題思考更深入、思維更發散、視野更開闊，促進程序化思考問題的習慣的形成.

4.談體會，樹立運算信心——陽光總在風雨后

課后，筆者讓學生對考試時的解題困惑及聽講后的感受做了簡要書面小結，其豐富的內心體驗，讓人頗受啟發．

生6：要靈活變通解題路徑

生7：不破樓蘭終不還

生8：勇敢地算，不要怕繁長

做解幾題時經常遇到較復雜的式子，不敢通分，導致化不到最簡，無法算出結果．看過幾道題后發覺，直線與橢圓有多個交點不確定時，大都可設直線方程解題，但要利用已知條件將點與點之間的關系建立起來，能整體同理代換最好，大大減少計算量．要勇敢地算，不要怕繁長的式子，最后一般都能約掉．

5.教后感，強化運算實踐——絕知此事要躬行

解題具有實踐性和探索性．波利亞說：“你想學會游泳，你就必須下水，你想成為解題高手，你就必須去解題．”弗里德曼特別強調：解題訓練的心理學研究表明，學生在解題時不具備一般能力的基本原因，在于沒有經常親自動手進行分析，沒有從中歸納出一般的運算方法及其理論根據．單墫教授認為，解題是一門實踐性的學問，必須通過解題學解題．解析幾何題的兩大難點是：方法選擇和運算化簡．正如前面幾位數學家所言，這兩項素養只有在解題實踐中摸索感悟、積累練就．因此，解析幾何問題一定要舍得花時間讓學生思考、運算和表達，讓學生在自己解題、看人解題中學解題．解幾復習教學中，認為讓老師板書、學生計算很花時間，追求高容量、快節奏，重方法、輕過程的現象普遍存在；教師“一言堂”的講評方式成常態．長此以往，復習教學廣種薄收，助長了解幾題成為學生啃不動的“老大難”問題．解析幾何綜合題雖然難度大，能力要求高，但復習教學中只要給學生“學會”的機會，還是能知難而進的．

第二，注重培養思維的靈活性．思維的靈活性是指轉向的及時性，以及不過多地受思維定式的影響，善于從舊的模式或通常的制約條件中擺脫出來；是面對陌生情境能快速找到問題解決方法的良好思維品質．本課例中，大多數學生受“根與系數的關系”及“直線被曲線所截弦長”的定勢影響，選擇“設而不求法”和以MN為底求三角形的面積，導致陷入繁瑣運算的沼澤．教學中，老師常將“直線與圓錐曲線問題”的解決程序化：①設直線方程，②將直線方程代入曲線方程，③用“根與系數的關系”求弦長或其它相關量．所以，學生在解題中形成思維定勢、方法定勢也在情理之中．其實，“換底法”和“圖形割補法”更強調幾何直觀，注意從幾何的角度分析與尋找問題解決的辦法，而這也是解析幾何問題的一個新導向．“幾何屬性”的恰當介入，突顯了解析幾何題“能力立意與多思少算”的命題特點．教師首先要跳出定勢，設計不同類型的問題，引導學生在解題實踐中體會、領悟解法的靈活性．

第三，不能貪量，而應求質．解析幾何題雖千變萬化，但在方法選擇與計算策略上還是有相通之處．例如，什么時候宜正設直線方程：y=kx+t，什么時候宜反設直線方程：x=ky+t；涉及直線與曲線交點問題，通常運用韋達定理“設而不求”；雙變量運算化簡中，通常先化簡再代入、盡量運用整體代換，如在本課例“設而不求法”中，若過早將“2t2=2m2+3”代入“y1+y2,y1·y2”，運算將非常復雜．在解析幾何綜合問題復習教學中，泛講十題，不如練透一題：讓學生用符合自己思維習慣的通法將題目解完整、做嚴謹；在多種方法的優劣比較中，感悟運算的優化、方法的選擇；通過一個特殊結論，發現一片普通屬性．“練透”的過程，同時也是扎實基礎知識、訓練思維能力、歷練解題意志、豐富經驗題感的過程．

羅增儒教授說：“基礎知識要通過解題實踐來消化；思維素質要通過解題實踐來優化；解題方法要通過解題實踐來強化．”同樣，運算素養要通過解題實踐來發展．解析幾何教學中，應多為學生提供“思與算”的機會，讓學生在解題實踐中提升數學運算素養．

[1]羅增儒，數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2004.