貴州省畢節市梁才學校 (551700) 熊福州
求二元函數t=G(x,y)的最值問題,常見兩類,第一類是無約束條件F(x,y)=0或F(x,y)≤0的,如t=x2+y2(x,y∈R),t=x2+y2(x≥1,y≥2),解答第一類問題用文[1])的兩個方法(特殊的化為一元函數求最值,一般的認一元(自變量)定一元(參數),逐步求最值),第二類是有約束條件F(x,y)=0或F(x,y)≤0的,如t=x2+y2(x+y=2),t=x2+y2(x+y≤2),t=x2+y2(x≥0,y≥1,x+y≤2).現行高中教科書中的線性規劃(t=G(x,y),F(x,y)=0或F(x,y)≤0全是二元一次)與非線性規劃屬于第二類,在第二類中,t=G(x,y)(F(x,y)=0)的最值(值域)是非?;A而普遍的數學問題(因其余情形都可轉化為這種情形),是高考競賽中的熱點和難點,這類問題的本質是方程(組)的實解集(文[2]),這類問題直接的表述:已知F(x,y)=0,求G(x,y)的取值范圍(最值),本質是求t=G(x,y)(F(x,y)=0)的最值(值域).第二類問題的一般解法是換元,轉化為一元函數求最值,特別的可數形結合法或不等式法.
注:例1是沒有約束條件F(x,y)=0或F(x,y)≤0的二元函數t=G(x,y)求最值,由于化不成一元函數求最值,故用通法認一元(自變量)定一元(參數),逐步求最值.
注:例1,例2是姊妹題,都是二元函數t=G(x,y)求最值,只是例1無約束條件方程,例2有約束條件方程.
[1]熊福州由2010年高考四川理(12)看多元函數最值問題的解法[J].中學數學研究(江西),2010,10.
[2]熊福州,張龍躍.數學問題的根基本質是方程的解集[J].中學數學研究(江西),2015,8.