安徽省蕪湖市沈巷中學 (241012) 何業亮
安振平老師在文[1]提出二十六個優美不等式,其中第五個為:
彭代元老師在文[2]中利用Schur不等式證明了該不等式,筆者認為此法有兩大弊端:一是證明過程相當復雜,對思維能力和運算能力要求極高;二是條件x+y+z=1的使用,不僅給人一種“太突然”的感覺,也讓人無法從中提煉出一般性的方法或技巧.本文給出第五個優美不等式問題的一種簡潔證法,僅供大家參考.
證明:∵x,y,z為正實數,且x+y+z=1,
注意到安振平老師在文[3]中提出的恒等式:
評述:利用條件1=x+y+z,在(甲)、(乙)兩處實現齊次化,是此種證法的關鍵.筆者認為:齊次化是證明不等式的一種技巧,更是一種方法.下面給出幾道題,供大家應驗.
1.(第29屆俄羅斯數學奧林匹克)設a,b,c∈
[1]安振平.二十六個優美不等式[J].中學數學教學參考(上旬),2010,1~2.
[2]彭代元.利用Schur不等式證明兩個“優美不等式”[J].數學教學通訊,2011(7).
[3]安振平.三個無理不等式之間的鏈接[J].中學數學月刊,2011(7).