解決向量問題的三重境界

浙江省寧波市北侖中學 (315800) 劉曉華 吳文堯

數形結合思想是中學數學中最重要的數學思想之一，著名數學大師華羅庚教授曾這樣贊美數形結合的重要性：數形本是相依偎，焉能紛作兩邊飛；數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，割裂分家萬事休.平面向量既有數的性質又有形的意義,是架設在數與形之間天然的橋梁；由于平面向量問題又是數學高考的必考內容,也是高考數學中的重點難點之一；因此也成了我們復習應試中關注的焦點之一.晚清學者王國維在他所著的《人間詞話》中曾總結為人的三重境界；筆者研究發現要很好地解決高考數學中的平面向量問題也須經歷與之相對應的三重境界,現介紹如下：

境界之一：識向量,脫去作為包裝使用的平面向量問題

——昨夜西風凋碧樹,獨上高樓,望盡天涯路．

由于解析幾何中一些幾何關系運用平面向量來表述顯得更加簡捷,所以在高考數學試題中,平面向量作為重要的數學工具,顯性地出現在解答題中,往往是在圓錐曲線大題中作為一種數學語言的形式出現，即在試題中僅僅起到包裝的作用；對于這類問題，在應試時只須把用平面向量表述的關系式等價轉化為相對應的解析幾何問題即可，即脫去其包裝，暴露問題的本質即可.

(Ⅰ)求點P的軌跡方程;

分析：(Ⅰ)由于點P隨點M的變化而變化，且點M在已知橢圓上運動，所以可選擇用轉移法求其軌跡方程.在操作過程中只須把題設給出的向量關系式“翻譯”成關于這兩個動點的坐標之間的關系式即可.

分析：(Ⅱ)易見這是解析幾何中的定點問題，動直線PE隨點P,Q兩點的坐標的變化而變化，又注意到這兩個動點分別在已知曲線和已知直線上，所以其坐標可分別用一個參數來表示，而已知條件給出的向量關系可以“翻譯”成關于這兩個參數的方程，從而可把雙變量問題化歸為單變量問題來解決.

圖1

境界之二：破向量,掌握破解平面向量小題常用對策

——衣帶漸寬終不悔,為伊消得人憔悴．

平面向量作為高中數學必修部分的重要內容，在高考數學試卷中通常在選擇題和填空題中出現，且往往是中檔題或稍難題；只有掌握破解平面向量問題的常用解題對策并能靈活運用，才能在應試中做到游刃有余，立于不敗之地.

破解平面向量問題的解題對策五花八門，但常用的不外乎以下幾種：

1.幾何意義法：先畫一個與問題相對應的圖形，利用向量的幾何意義，借助圖形解決問題，做到有圖有真相.

2.直角坐標法:在直角坐標系中研究問題,把向量運算化歸為向量的坐標運算.

3.利用基底法:運用平面向量基本定理,選擇不共線的兩個向量作為基底,把問題涉及向量用基底表示之.

4.兩邊平方法:當問題涉及向量的模有關等式(或不等式)時,可兩邊平方把向量運算轉化為數量運算.

5.兩邊點積法:當已知條件中的向量關系式涉及向量的模確定時,可對向量關系式兩邊點乘某一已知向量,從而把向量關系式化歸為數量積的關系式.

6.引入參數法:當涉及的向量問題是動態問題時,可選擇合適的參變量,建立與之相對的目標函數，從而把原問題化歸為研究這個目標函數的性質.

分析之一:注意到題目條件和結論均涉及向量的模，且是向量有關的最值問題，所以可以考慮選擇兩邊平方法,結合引入參數法解決之.

解法之一:兩邊平方法

當x=1,y=3或x=3,y=1時,x+y取最小值4.

解法之二:幾何意義法.

圖2

當x=1,y=3或x=3,y=1時,x+y取最小值4.

解法之三:直角坐標法.

圖3

解答之一：利用基底法

圖4

分析之二：要求m+n的值,只須分別求出m,n的值,即須得到關于m,n的兩個方程;注意到問題涉及向量的模均已確定,且它們的夾角也確定,因此可選“兩邊點積法”解之.

解答之二：兩邊點積法.

境界之三：用向量,自覺運用平面向量簡化運算過程

——眾里尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處．

圓錐曲線之所以成為難點的一個重要原因是運算復雜，有許多考生在解題前能設計好解題方案，但在具體操作時，陷入繁雜的運算之中而不能自拔，最終結果還是“千呼萬喚不出來”；出現這種現象的主要原因，不外乎以下兩個：其一是自身運算能力比較差，特別是涉及有關字母運算時更顯得力不從心；其二是不注意運算工具的選擇，采用“高點強攻”的戰術比較多，以至把簡單問題復雜化，從而造成“夜長夢多”，出錯的概率也隨之提高.其中合理地使用平面向量這個數學工具是簡化運算的重要途徑之一，即讓運用向量變為我們自覺的行動，也許這就是學習向量的最高境界了.

圖5

(Ⅰ)求直線AP的斜率k的取值范圍；

(Ⅱ)求|PA||PQ|的最大值.

分析：對于第(Ⅱ)問，通常的方法是把P,Q兩

點的坐標都用k表示之，從而把|PA||PQ|表示成關于k的函數，然后求出這個目標函數的最大值，而求點Q的坐標可不是一件輕松的事,這里也成了許多考生的“滑鐵盧”;其實命題組提供的解答也是如此.若注意到PQ是PB在直線AP上的投影，則可運用向量方法，不必求出點Q的坐標，從而極大地縮短解題的長度.

搞清平面向量的有關概念及其運算是解決有關向量問題的基礎，也能容易達到第一境界；掌握解決平面向量小題的常用解題對策是成功解決向量問題的關鍵;只有對平面向量的有關內容有深刻的理解,有扎實的功底,較高的數學思想觀點,才能在應試中信手拈來,有一覽眾山小的感覺.