廣東省開平市第一中學 (529300) 梅延峰
在解題時,通過對條件和結論的分析,構造輔助元素,它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等,架起一座連接條件和結論的橋梁,從而使問題得以解決,這種解題的數學方法,我們稱為構造法.運用構造法解題,可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透,有利于問題的解決.構造法解題是一種創造性的思維活動,構造法是依據題設的特點,用已知條件中的元素為“元件”,把已知數學關系作“支架”,構造出一種新的數學模型,溝通數學模型間的相互關系,從而轉換命題.運用構造法,常使數學解題突破常規,具有簡潔、明快、精巧的優點,下面以人教A版教材的例題和習題來感受一下解題中的構造法思想.
例1 在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2的展開式中,含x2項的系數是多少?
例2 已知:a≠b,求證a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).
例3 一個蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飛出去找回了5個伙伴;第二天,6只蜜蜂飛出去,各自又找回了5個伙伴……,如果這個找伙伴的過程繼續下去,第6天所有的蜜蜂都歸巢后,蜂巢一共有( )只蜜蜂.
解析:可構造數列a1=1,an+1=5an+an,可計算到第6天所有的蜜蜂都歸巢后,蜂巢一共有a6=46656只蜜蜂.
解析:可構造目標函數z=
圖1
例5 如圖1,在直角坐標系中,以原點O為圓心,單位長度為半徑的圓上有兩點A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),試用A、B兩點的坐標表示∠AOB的余弦值.
例7 利用函數的單調性證明不等式lnx 辯證唯物主義認為事物是普遍聯系的,在數學中不同的數學分支間也都具有這種聯系性,有的顯而易見,有的則較為隱蔽,數學教學的一個功能就是要向學生揭示這種關系,在這個過程中,可以使學生的知識體系得到整合,并逐漸對數學中的各種思想方法產生較為清晰的認識,對數學解題方法的拓展其實也是一種聯系性的拓展,構造法是基本的數學方法,構造的對象可以是各種各樣的,但要注意抓住問題的本質特征,構造出相關模型(式子)來使問題得以簡化,并為問題的最終解決鋪平道路.