高考數學壓軸題解題思路探究

江蘇省響水中學 (224600) 魏立國

北京、天津、浙江、江蘇四省市理科高考數學壓軸題的難度，在歷年全國21份高考數學試卷中，都是獨領風騷.大部分學生認為高考壓軸題，是可望不可及的，其實不然,只要他們掌握一些基本的思維方法，即使普通學生也能領略一下高考壓軸題的美麗風光.本文以2016年高考壓軸題為例，試圖通過暴露思維過程案例分析，讓普通學生一窺高考壓軸題的解題方法.

一、數學歸納法的工具顯神通.

案例1 2016年北京理科高考數學壓軸題.

設數列A：a1，a2,…aN(N≥2).如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數k都有ak

(Ⅰ)對數列A：-2，2，-1，1，3，寫出G(A)的所有元素；

(Ⅱ)證明：若數列A中存在an使得an>a1，則G(A)≠?；

(Ⅲ)證明：若數列A滿足an-an-1≤1(n=2,3,…,N),則G(A)的元素個數不小于aN-a1.

僅證第三小問.

分析：(Ⅲ)記|G(A)|表示集合A中元素個數.

(1)n=2時，當a2>a1,|G(A)|=1，又a2-a1≤1，則|G(A)|≥a2-a1.當a2-a1≤0，|G(A)|=0顯然，|G(A)|≥a2-a1，∴n=2成立.

(2)假設n=k成立,如何利用n=k去證n=k+1成立是個難點.首先對n=k成立的理解.其實質是k個元素b1,b2,…bk.如果bn-bn-1≤1(n=2,…k),則G(A)元素個數不小于bk-b1，b1,b2,…，bk可能是a1,a2,…，ak，也可能是a1,a2,…，an，…中任k個元素組成的數列，只要新數列后一項減去前一項不超過1，就可以利用歸納假設.在利用n=k來證n=k+1成立時.必須對a1,a2…，ak+1減少一個元素，減少誰呢？顯然，根據“G時刻定義”，去掉最大或最小元素對處理G時刻增加或減少較好處理.

選擇最小元素所在位置為分類標準.

|G(A)|≥ak+1-a2.因為a1是最小元素，a1,a2…，ak+1的G時刻元素個數為|G(A)|+1，∵ak+1-a1=(ak+1-a2)+(a2-a1)≤|G(A)|+1.∴n=k+1成立.

綜上所述命題為真.

說明：本題關鍵：①對n=k本質的理解;②選擇了最小數，由最小數的位置，有利于確定G時刻元素個數.當然，也可以選擇最大數的位置去處理.

二、數列不等式中找遞推

案例2 2016年浙江高考理科數學壓軸題.

(Ⅰ)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)，n∈Ν*；

僅分析第二小問.分析：

三、基礎小問是橋梁.

案例3：2016年江蘇高考壓軸題.

記U={1,2,…,100}．對數列{an}(n∈N*)和U的子集T，若T=?，定義ST=0；若T={t1,t2,…，tk}，定義ST=at1+at2+…+atk．例如：T={1,3,66}時，ST=a1+a3+a66.

現設{an}(n∈N*)是公比為3的等比數列，且當T={2,4}時，ST=30.

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)對任意正整數k(1≤k≤100)，若T?{1,2,…,k}，求證：ST

(3)設C?U,D?U,SC≥SD，求證：SC+SC∩D≥2SD.

僅分析(2)、(3)問.

(3)(a)當C、D有一個為?，顯然成立.

(b)當C、D不為?，(2)證明中得到：ak+1>2Sk很重要.令C={C1,C2,…,Cj},D={D1,D2,…,Di}①當Cj≥Di+1時，由(2)可知，aj>2SDi≥2SD成立.∴SC>2SD,∴SC+SC∩D≥2SD.

②當Cj+1≤Di時，則由(2)可知，aDi>2SCj≥2SC,∴SD>2SC與SC≥SD矛盾.故不可能.

③當Dj=Ci時，若C=D,則顯然成立.若C≠D，則除去C和D中的相同項.令C′={Cj1,Cj2,…，Cjk},D′={Di1,Di2,…,Dip},∵SC≥SD,C≠D,∴SC′>SD′,Cjk≠Dip.如果Cjk≥Dip+1.則由(2)可知SC′>2SD′.∵(SC-SD)+(SC∩D-SD)=(SC′-SD′)-SD′>0.如果當Cj+1+1≤Di時，則由(2)可知，aDi>2SCj≥2SC,∴SD>2SC與SC≥SD矛盾.故不可能.

綜上所述:SC+SC∩D≥2SD成立.

說明：本題的關鍵①基礎小問的利用;②合理分類.

四、特殊位置找出路

案例4：2016年天津高考理科數學壓軸題.

設函數f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R.

(Ⅰ)求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若f(x)存在極值點x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；

僅分析第(Ⅲ)問.

說明：本題最關鍵是從最簡單的中點、端點入手找到了容易解決問題的分類標準.

總之，老師在教學中，要通過不同的變式，讓學生理解知識的本質.例如：歸納法中n=k的理解,讓學生在解題中，注重前面小問對后面小問的橋梁作用,同時，不要忽視反證法、特殊點、特殊值在解題中的應用.教師要通過思維過程的暴露，去指導學生解題實踐,讓學生在解題過程中，感受數學的思維之美.