一類含間隙碰撞振動系統混沌運動的RBF神經網絡控制

衛曉娟 李寧洲 張惠 丁旺才

摘要： 應用基于RBF神經網絡的智能優化控制方法研究一類含間隙碰撞振動系統混沌運動的控制?；赗BF神經網絡設計混沌控制器，利用混沌控制器輸出小擾動施加于系統的可控參數，將混沌運動控制為預期的規則運動，同時將自適應混合引力搜索算法與RBF神經網絡相結合，利用自適應混合引力搜索算法收斂速度快和全局尋優能力強的優勢，優化混沌控制器的參數，避免了控制器參數選擇的盲目性和主觀性，提高了控制器的性能。該方法不需要被控系統的精確數學模型，適用于系統模型未知而僅獲得實驗數據的情況。

關鍵詞： 非線性振動； 碰撞振動； 混沌控制； RBF神經網絡； AHGSA算法

中圖分類號： O322； TH113.1； TP183 文獻標志碼：A文章編號1004-4523（2018）02-0336-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.018

引言

實際應用中，由于設計、制造或裝配誤差等因素影響，機械系統中各零部件間會存在間隙，導致在外部激勵作用下零部件間將出現碰撞振動現象。由于碰撞的存在，碰撞振動系統具有非光滑和強非線性特性，其復雜的不穩定動力學行為（如混沌行為）不僅會引起噪聲或機械部件磨損，甚至會危及系統運行安全（例如由于輪軌間隙的存在，當機車車輛運行速度高于機車車輛蛇行運動的臨界速度時，隨著運行速度的提高，蛇行運動將漸趨惡化，各剛體的振動位移變得越來越大而最終出現分岔現象并伴有混沌運動狀態，輪軌間會產生劇烈碰撞而導致機車車輛運行性能惡化，不僅可能損傷輪對及線路，甚至可能造成脫軌事故[1-2]）。

因此，鑒于工程實際中的需求，對碰撞振動系統的混沌運動進行控制，以獲得該類系統的穩定動力學行為，減少由其不穩定動力學行為（如混沌運動）所引起的不必要的損失并延長機械設備的使用壽命是非常必要且具有實際工程價值的。

近年來，研究者們關于碰撞振動系統混沌運動控制策略和方法的研究取得了相應的成果。文獻[3-4] 提出了一類單自由度碰撞振動系統混沌運動的狀態變量預測反饋控制策略及非線性延遲反饋控制策略；文獻[5]提出了碰撞振動系統的參數自調節混沌控制策略；文獻[6]提出了基于反饋控制思想的一類單自由度碰撞振子位置控制策略；文獻[7]將OGY方法應用于一類單自由度碰撞振動系統混沌運動的控制中；文獻[8]基于阻尼控制思想實現了一類單自由度碰撞振動系統混沌運動的控制，文獻[9]基于反饋控制思想實現了不對稱雙邊約束下兩自由度碰撞振動系統的位置控制。

然而既有的多數碰撞振動系統混沌控制方法都需要獲知系統模型信息，在受控系統模型未知或存在不確定性時將很難適用。但是工程實際中，由于混沌系統的復雜性，系統的解析模型往往是未知的或是難以精確得到的，因此，研究并提出不依賴于受控對象精確數學模型，僅利用系統的輸入/輸出數據進行混沌控制的控制策略和方法，具有重要的理論與現實意義。

將智能控制方法與智能計算方法相結合而形成的智能優化控制方法[10]，由于不依賴于受控對象精確數學模型，且控制參數可利用智能計算方法自動優選，所以很適于解決難以建立受控對象精確數學模型的控制問題。但將智能優化控制方法引入碰撞振動系統混沌控制領域還未發現有相關文獻，為了彌補現有碰撞振動系統混沌控制方法的不足，本文針對一類含間隙碰撞振動系統混沌控制問題，提出一種基于AHGSA-RBFNN的混沌控制策略，采用不依賴于受控對象精確數學模型的RBF神經網絡設計混沌控制器，并采用自適應混合引力搜索算法[11]（簡稱AHGSA算法）優化選擇控制器的參數（即隱層節點中心、中心寬度、連接隱層和輸出層的權值），通過給系統可控參數施加一個小擾動量，達到使系統產生預期規則運動的目的。該方法無需了解系統精確數學模型及不動點的位置等先驗知識，實現簡單。仿真結果也表明該方法具有良好的控制效果。

第2期衛曉娟，等： 一類含間隙碰撞振動系統混沌運動的RBF神經網絡控制振 動 工 程 學 報第31卷1系統力學模型及混沌運動

本文研究含間隙碰撞振動系統混沌運動的控制，圖1所示為一類單自由度含間隙碰撞振動系統的典型代表。質量塊的質量用M表示，其位移用X表示，質量塊與左側剛性約束之間由剛度為K的線性彈簧和阻尼系數為C的線性阻尼器相連，當質量塊M處于平衡位置時，其與右側剛性約束的間隙為B。作用在質量塊上的簡諧激振力為Fsin（ΩT+τ）。

圖1單自由度含間隙碰撞振動系統的力學模型

Fig.1The mechanical model of a single-degree-of-freedom vibro-impact system with clearance

若碰撞持續時間忽略不計，則圖1所示系統運動微分方程為M+C+KX=Fsin（ΩT+τ）， X

+=-R-， X=B（1）式中，和X分別為質量塊M的加速度、速度和位移；M，C，K分別為質量塊M的質量、線性阻尼器的阻尼和線性彈簧的剛度；-，+分別為質量塊M與右側剛性約束碰撞前后的瞬時速度；R為恢復系數。

不失一般性，引入無量綱量x=XKF， ζ=C2MK， ω=ΩMK， t=TKM， b=BKF，對式（1）進行無量綱變換，得+2ζ+x=sin（ωt+τ）， x

+=-R-， x=b （2）式中-，+分別為質量塊M與右側剛性約束碰撞前后的瞬時速度。

為研究圖1所示系統動力學演化機理，選擇碰撞后瞬時的σ截面（即σ={（x，，θ）∈R2×S1x=b，=+}，其中，θ=ωtmod2nπ）為Poincaré截面，以影響系統動力學特性的參數——簡諧激振力頻率ω為分岔參數，取ζ=0.2，R=0.8，b=0.05，數值模擬系統狀態隨簡諧激振力頻率ω變化所產生的分岔現象，如圖2所示。

圖2隨ω變化的分岔圖

Fig.2The bifurcation diagram of with ω changing

由圖2可知，當簡諧激振力頻率ω在一定范圍內變化時，圖1所示系統具有穩定的周期n-1運動（n表示周期數，1表示碰撞次數；如當ω∈[2.50，2.55] 時，圖1所示系統具有穩定的周期1-1運動），但隨著ω增大，系統則會發生倍周期分岔，并最終演化為混沌運動，且在混沌運動過程中還具有一些周期窗口，這正是非線性系統混沌運動的典型特征之一；隨著ω的進一步增大，混沌運動又會退化為周期運動。當ω=2.65時，如圖3所示，系統相平面圖不重復且雜亂無章，同時 Poincar截面圖中的無規律散落點集以及頻譜圖中的連續譜也表明系統處于混沌運動狀態；圖3（a）所示為系統在Poincaré截面上的混沌吸引子。圖3混沌吸引子、相平面圖和頻譜圖（ω=2.65）

Fig.3Chaotic attractor， phase plane portrait and amplitude spectrum（ω=2.65）

2基于RBFNN的混沌控制器設計

由于混沌運動是由非線性動力系統某些關鍵參數變化所引起，基于此，本文基于參數反饋混沌控制法的原理控制混沌運動，即通過RBF神經網絡混沌控制器輸出一個小擾動施加于系統的可控參數，通過對系統可控參數進行動態微幅調整，從而將混沌運動控制到期望的規則運動。

本文設計混沌控制器時，RBF神經網絡為3層結構，包括輸入層、隱層和輸出層，根據混沌運動控制目標，將能夠反映系統趨近于穩定的周期1-1運動趨勢的k次迭代后Poincaré截面上的投影點與系統經k-1次迭代后Poincaré截面上的投影點間的距離（即d（k）=X（k）-X（k-1））、以及系統經k-1次迭代后Poincaré截面上的投影點與系統經k-2次迭代后Poincaré截面上的投影點間的距離（即d（k-1）=X（k-1）-X（k-2））作為控制器的輸入，控制器的輸出則定義為系統激勵頻率或阻尼系數的微幅調整量（即控制器輸出小擾動量施加于系統的一個可控參數），由此，確定RBF神經網絡輸入層為2個節點、輸出層為1個節點；控制器結構如圖4所示。

圖4控制器結構

Fig.4The structure of controller

圖4中，RBF神經網絡參數采用AHGSA算法進行優化；d（k）為Poincaré截面上相鄰兩點的距離， d（k）=X（k）-X（k-1），其中，X（k）為受控系統狀態變量X在k時刻的值；u為RBF神經網絡混沌控制器輸出的擾動量，為保持控制的有效性，設定最大擾動量為umax，則-umax

控制系統結構框圖如圖5所示。

圖5控制系統結構框圖

Fig.5The structure diagram of the control system

圖5中，d*為Poincaré截面上相鄰兩點距離的期望值，e（k）為誤差，且e（k）=d*-d（k）。

3基于AHGSA的控制器參數優化

混沌控制器設計時需確定若干參數，這些參數質量決定了控制器性能的優劣，不同的參數組合會得到不同的控制效果，因此必須對控制器的參數進行優化選擇，然而如果依靠人工經驗確定控制器參數，將會造成參數優選過程繁瑣、效率低下，也不利于保證控制系統的性能?？刂破鲄档膬灮x擇實際上是一種多維參數空間上的優化問題，優化算法的性能是決定參數優選結果乃至影響控制系統性能的關鍵因素。傳統的神經網絡控制器參數選擇一般采用基于梯度下降的算法，但易于陷入適應度函數的局部極小值，從而影響神經網絡的性能。為了解決這一問題，研究者們采用遺傳算法[12]、蟻群算法[13]等智能優化算法來優化選擇神經網絡的參數，并取得了一定的成效。但是GA需要進行復制、交叉、變異操作，其算法結構相對復雜，而ACO中的控制參數相對較多，容易產生早熟收斂現象。

AHGSA算法是在GSA算法[14]的基礎上經過改進而提出的，其既具有GSA算法所需控制參數少、結構簡單的特點，又利用了混沌運動的典型特征：遍歷性和隨機性，采用混沌序列初始化種群，增強了粒子搜索初期的遍歷性，并在粒子搜索過程中構造變異算子，對速度和位置進行變異操作，發揮了全局最優解對粒子搜索運動的引導作用；同時，又依據粒子的性能，對其進化過程中的控制參數（即萬有引力系數）進行自適應調整，從而克服了GSA算法全局探索能力較強而局部開發能力較差的弱點，提高了算法的整體尋優效率。因此本文采用AHGSA以提高碰撞振動系統混沌運動控制中待優化問題的求解效率。

3.1適應度函數的構建

適應度函數是用來衡量基于RBF神經網絡所設計的混沌控制器對被控系統的控制能力的。目標是找到這樣一個網絡，能使被控含間隙碰撞振動系統由混沌狀態最終趨于期望的規則運動。適應度函數的構建不僅需考慮控制系統的快速性、穩定性及準確性，同時也應考慮控制能量問題。

假設粒子群規模為n，粒子i的位置用m維向量i表示，m=s×h+2h（s為混沌控制器輸入變量的個數，h為RBF神經網絡隱層節點數），則粒子群的位置可以用矩陣n×m表示，根據碰撞振動系統混沌運動控制目標，本文選定Poincaré截面上相鄰兩點的距離d（k）=X（k）-X（k-1）作為判斷依據，構建控制器參數優化選擇時所應滿足的適應度函數如下f（i）=λ1∑Lk=1d*-X（k）-X（k-1）·

ln（1η）+λ2∑Lk=1u（k）（3）式中X（k）為受控系統狀態變量X在k時刻的值； u（k）為k時刻的控制輸入；d*為Poincaré截面上相鄰兩點距離的期望值；η為（0，1）區間上均勻分布的隨機數；λ1， λ2為相對權重；L為輸入/輸出數據序列長度。

3.2基于AHGSA的控制器參數優化

采用AHGSA算法使式（3）取得最小值的全局最優位置g即是RBF神經網絡混沌控制器的最優參數w，σ和c，其具體優化步驟如下：

Step1：利用混沌序列初始化粒子位置，隨機產生粒子的初始速度；

Step2：按式（3）計算粒子的適應值，確定個體最優位置和群體最優位置；

Step3：更新粒子的速度和位置；

Step4：按式（3）計算各粒子的適應值，更新個體最優位置和群體最優位置；

Step5：判斷算法是否滿足終止條件，滿足則搜索停止，輸出全局最優位置對應的混沌控制器的參數解；否則，轉向Step3。

4仿真研究

采用本文所提出的混沌控制方法對圖3（a）所示混沌吸引子進行控制仿真，控制方法中沒有用到系統的模型信息，文中利用系統的模型僅僅為了產生系統的輸入/輸出數據，并不用其進行控制器的設計。

選用高斯RBF神經網絡進行混沌控制器設計，且經過對比分析發現：隱層節點少于5個時，由于控制器的非線性映射能力弱，仿真分析發現無法完成有效混沌控制，而當隱層節點增多后，控制器的非線性映射能力增強，智能算法優選到適當的控制器參數則控制效果會變得更好；但隨著隱層節點進一步增多，控制器結構也會變得相較更為復雜，需要確定的控制器參數也會成倍數增多，智能算法要搜尋到合適的控制器參數也變得相對更為困難，算法的尋優效率隨之相應降低；根據神經網絡隱層節點數的基本確定原則（即：滿足控制系統性能要求的前提下取盡可能緊湊的網絡結構，也就是取盡可能少的隱層節點數），所以選擇能夠完成有效混沌控制的最少隱層節點數，即將網絡隱層節點選定為5個。AHGSA算法的參數設置為：種群規模為30，最大迭代次數為100，G0=130，α=18，等比系數p=0.96。針對系統可控參數ω施加微小擾動，以抑制系統的混沌運動，使系統趨于穩定的周期運動。為了更清楚地顯示混沌運動控制效果，系統迭代400次時對混沌運動施加控制。

圖6為將混沌運動控制為周期1-1運動的仿真結果圖，展現了基于AHGSA-RBFNN的混沌運動控制效果。采用AHGSA算法優化后的RBF神經網絡參數如表1所示。圖6（a）～6（c）是系統的受控周期1軌道（a-）、相平面圖（b）及頻譜圖（c）。

圖6系統的受控周期1-1運動

Fig.6Controlled period 1-1 motion of the system

由圖6可知，混沌運動能夠很快地被控制為周期1-1運動，相圖為1條封閉曲線，頻譜圖出現1個峰值。表1RBF神經網絡參數（周期1-1）

Tab.1Parameters of RBFNN（period 1-1）

隱層節點中心中心寬度連接隱層和輸

出層的權值（-0.4634，0.0615）0.1553-0.1295（0.0145，0.4333）0.49590.6096（0.3884，-0.1873）0.54800.6572（-0.4650，0.9533）0.97531.8719（0.1798，-0.4595）0.4057-0.7667

圖7為將混沌運動控制為周期2-2運動的仿真結果圖。采用AHGSA算法優化后的RBF神經網絡參數如表2所示。

圖7（a）～7（c）是系統的受控周期2軌道（a-）、相平面圖（b）及頻譜圖（c）。

由圖7可知，混沌運動能夠很快地被控制為周期2-2運動，相圖為2條封閉曲線，頻譜圖出現2個明顯峰值。

圖7系統的受控周期2-2運動

Fig.7Controlled period 2-2 motion of the system

表2RBF神經網絡參數（周期2-2）

Tab.2Parameters of RBFNN（period 2-2）

隱層節點中心中心寬度連接隱層和輸

出層的權值（-0.5571，-0.0145）0.1551-0.4048（-0.4343，-0.2695）0.22701.4516（0.6568，-0.2486）0.16571.1380（-0.4287，-0.0286）0.40520.1679（-0.3259，-0.5974）0.3730-1.1044

由上述仿真結果可見，利用本文方法能夠很好地實現對圖1所示系統混沌運動的有效控制，而且預期目標不僅可為周期1不動點，也可以設定為其他的周期軌道。但是出于篇幅的考慮，這里只給出部分n-p周期軌道的控制效果圖，其余周期軌道的控制效果不再贅述。

5結論

本文利用高斯RBF神經網絡不依賴被控對象精確數學模型的優勢和AHGSA算法優良的全局尋優性能，提出了一類含間隙碰撞振動系統混沌運動的RBF神經網絡控制策略，以解決被控系統模型難以精確得到及無法獲得被控系統確切的動力學信息（如不動點位置等信息）時的混沌運動控制問題。仿真結果表明：本文所提出的控制方法是有效的、可行的。實施混沌運動控制時，在所建立的適應度函數引導下，AHGSA算法可以對混沌控制器的參數進行有效地自動調節，相應地使得所設計的混沌控制器能夠很好地達到控制要求，針對不同的預期目標，均能在很短的時間內搜索到并穩定在相應的目標周期軌道上，同時也降低了控制器設計時對人類干預的依賴。本文所提控制方法不依賴被控系統精確數學模型，無需了解被控系統確切的動力學信息（如不動點位置等），易于實現，能夠適用于動力學模型未知而僅獲得實驗數據的情況。

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Chaos control of a vibro-impact system with clearance based

on RBF neural networkWEI Xiao-juan， LI Ning-zhou， ZHANG Hui， DING Wang-cai（School of Mechatronic Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： By using intelligent optimization control method based on RBF neural network， the chaotic motion control of a vibro-impact system with clearance is studied in this paper. The chaos controller designed based on RBF neural network is used to output a small perturbation to adjust the controllable parameter of the vibro-impact system. Thus， the chaotic motion is controlled to the expected regular motion. At the same time， adaptive hybrid gravitational search algorithm （AHGSA） is combined with RBF neural network. By using the advantages of AHGSA algorithm with high convergence speed and global optimization ability， the parameters of chaos controller are optimized so that the blindness and subjectivity of the parameters selection of the chaos controller are avoided， and the performance of the chaos controller is improved. The proposed method in this paper does not need the exact mathematical model of the controlled system， so it is suitable for the cases where the exact mathematical model of the controlled system is unknown and only the experimental data can be obtained.

Key words： nonlinear vibration； vibro-impact； chaos control； RBF neural network； adaptive hybrid gravitational search algorithm