楊必成, 王愛珍
(廣東第二師范學院 數學系, 廣州 510303)
則
(1)
目前, 關于Hilbert積分不等式的研究已有很多成果[2-21]. 若
則有如下一般的非齊次核積分不等式[2]:
(2)
(3)
(4)
本文在文獻[14]的基礎上, 通過引入獨立參量及中間變量, 應用權函數及實分析技巧, 建立如下一個具有最佳常數因子的非齊次核的全平面Hilbert積分不等式:
并討論其更一般的等價形式及特殊形式.
定義1設-1<α,β<1, 0<σ<λ. 定義權函數如下:
(6)
(7)
由定義1, 有
固定y(≠0), 對式(8)第一個積分做變換
u=(1-α)(|y|+βy)x,
則有
對式(8)第二個積分做變換
u=(1+α)(|y|+βy)x,
則有
由式(6)及上述結果, 可得
(9)
同理可得
(10)
(11)
則有不等式:
證明: 配方并由帶權的H?lder不等式[22]及式(6), 當y≠0時, 有
式(13)中“≤”必取嚴格不等號. 若不然, 則有不全為0的常數A,B[22], 使得
若A=0, 則B=0, 與A,B不全為0的條件不符. 下設A≠0, 即有
(14)
矛盾. 由式(9)及交換積分次序的Fubini定理[23], 有
再由式(10),(11), 有式(12). 證畢.
則有與式(12)等價的不等式:
這里, 式(16)與式(12)的常數因子K(σ)都是最佳值.
特別當α=β=0時, 有具有最佳常數因子2B(σ,λ-σ)的式(5)及等價不等式:
(17)
證明: 配方并由H?lder不等式, 有
再由式(12), 有式(16). 反之, 設式(16)成立, 定義如下函數:
(19)
則由式(15)、式(10)及條件知J<∞. 若J=0, 則式(12)自然成立; 若J>0, 則由式(16)有
故得式(12), 且其與式(16)等價.
則計算可得
代入上述計算結果有
令n→∞, 可得
故k=K(σ)必為式(16)的最佳值, 從而式(12)的常數因子K(σ)必為最佳值, 否則, 由式(18)必導出式(16)的常數因子不為最佳值的矛盾. 證畢.
注1當f(-x)=f(x), g(-y)=g(y)(x,y∈(0,∞))時, 式(5)變為如下具有最佳常數因子的非齊次核Hilbert積分不等式:
(20)