稀疏重構混合源參數估計方法

王春霞 李丹陽 鄧 科 殷勤業

(西安交通大學電子與信息工程學院，陜西西安 710049)

1 引言

信源定位是陣列信號處理的一個研究熱點，在雷達、聲吶、地質學、海洋學等方面都有重要應用。根據信號源與接收天線距離的不同，通常將信源分為近場源和遠場源。近場源與天線陣列之間的距離r∈(0.62(D3/λ)1/2,2D2/λ)(D為陣列孔徑,λ為信號波長)；遠場源與天線陣列之間的距離r?2D2/λ。

源定位算法的研究起始于遠場源，比較成熟的遠場源參數估計算法有MUSIC算法和ESPRIT算法等。在近場源定位中，需要估計信源角度和信源距離兩個參數，現有的近場源估計算法有二維MUSIC算法[1]，高階ESPRIT算法[2]以及廣義ESPRIT算法[3]等。在某些實際應用中，如表面波雷達定位、基于麥克風陣列的說話人定位，以及室內自導引系統中，往往只有一部分信源位于陣列的近場區域，而另一部分信源位于陣列的遠場區域。目前適用于遠近場源共存的信源參數估計方法研究還不夠充分，現有的混合源定位算法主要包括兩階段MUSIC算法[4]、斜投影 MUSIC算法[5]、基于子空間差分技術的混合源定位算法[6]等。兩階段MUSIC算法通過構造兩個特殊的高階累積量矩陣來解決源分離問題，計算量大，且當遠近場源存在相近角度時會出現估計錯誤。斜投影 MUSIC算法采用斜投影算法分離出近場源信息并構建新的協方差矩陣，但由于僅利用了新的協方差矩陣的斜對角元素信息，估計精度有所下降?；谧涌臻g差分技術的混合源定位算法在獲得遠場角度的基礎上，通過差分技術獲得抑制噪聲后的近場協方差矩陣，實現了近遠場源的有效分離。以上三種都是子空間類算法，這類方法受子空間理論框架的限制，在信噪比較低、陣列快拍數不足或出現相干信號源的情況下，參數估計性能會急劇下降,甚至失效。

近年來，隨著壓縮感知理論體系的出現和不斷完善，作為其核心的稀疏重構框架被引入陣列信號處理，出現了許多基于稀疏重構的信源參數估計算法，如Wang等人提出的稀疏混合源定位算法[7]、l1-SVD[8]算法、JLZA-DOA[9]算法、文獻[10]提出的稀疏近場源定位算法以及一類為了解決稀疏重構條件下的網格失配問題而提出的算法[11-15]等。文獻[7]提出的基于高階累積量的稀疏混合源定位算法借助稀疏信號重構獲得了更好的分辨率和估計精度,突破了子空間類算法的局限性，其構造的矩陣大小為(2M+1)×(2M+1)2(L=2M+1，L為陣元個數)，但并未使用全部的累積量矩陣信息，所利用的有效元素個數與本文算法構造的(2M+1)×(2M+1)維的矩陣相當。文獻[7]在進行近場距離估計時，將遠場源當作特殊的近場源處理，在估計近場距離時也需對遠場距離進行估計，算法效率嚴重下降。文獻[10]使用了稀疏重構思想對近場源參數進行估計，利用了二階累積量方法，但其在估計近場源DOA時，僅使用了接收信號自相關矩陣(2M+1)2個元素中的(2M+1)個，信息利用率低，在一定程度上制約了算法的估計精度。

本文提出的基于稀疏重構的混合源參數估計算法利用二階統計量來進行參數估計，采用l1-SVD算法的改進形式結合稀疏重構思想估計出遠場到達角，由估計出的遠場角度和遠場源信號功率對遠場協方差矩陣進行重建，再從信號協方差矩陣中減去重建的遠場協方差矩陣得到近場協方差矩陣的估計，接著利用旋轉不變思想構造目標函數，通過對目標函數求最優解得到近場源到達角，最后利用估計出的到達角對近場陣列流形進行稀疏重構，得到近場源的距離估計。

2 混合源信號模型

如圖1所示，假設共有K個窄帶獨立信源入射到由L=2M+1個陣元組成的均勻等距線陣上。不失一般性，假設前K1個信號源為近場信號源,后K-K1個為遠場信號源。

圖1 混合源模型Fig.1 The mixed sources model

以陣列中心為相位參考點，則第l個陣元在t時刻的接收信號可表示為：

(1)

其中sk(t)表示第k個窄帶信源，nl(t)表示該陣元上的加性噪聲，τlk表示第k個信源從0陣元到l陣元的延遲相位。對于第k個近場源，τlk為：

(2)

(3)

式(1)可以用矩陣形式表示為：

x(t)=ANsN(t)+AFsF(t)+n(t)

(4)

式中

x(t)=[x-M(t),…,xM(t)]T

(5)

(6)

(7)

sN(t)=[s1(t),…,sK1(t)]T

(8)

sF(t)=[sK1+1(t),…,sK(t)]T

(9)

n(t)=[n-M(t),…,nM(t)]T

(10)

3 遠場源到達角估計

首先對遠場源到達角進行估計，由陣列的接收矢量x(t)構造陣列的協方差矩陣R：

R=E{x(t)x(t)H}=RN+RF+σ2I

(11)

式中E{·}表示取期望,[·]H表示共軛轉置，RN和RF分別為遠場和近場協方差矩陣，σ2為噪聲功率，I為單位矩陣。

假設信源總數K已知。利用文獻[16]的思想，將遠場源所在角度區域劃分網格并形成集合Θ=[θ1,θ2,…,θN0]，其中N0是劃分的網格數，且N0滿足N0?K，則協方差矩陣可以稀疏表示為：

R=A(Θ)S+ANSN+N

(12)

其中A(Θ)=[a(θ1),…,a(θN0)]表示過完備的遠場陣列流形矩陣，S為N0×L維的稀疏矩陣。當網格劃分足夠密集時，會有(K-K1)個角度θ={θK1+1,θK1+2,…,θK}∈Θ或者在Θ中有對應的近似值。式(12)的過完備表示將到達角的估計問題轉換成了求解S的新問題，通常信源在某一范圍內個數很少，S對應的譜是稀疏的，符合稀疏重構所需要滿足的信號稀疏性。

基于上述分析，結合對R的稀疏表示，構造如下的目標函數：

(13)

4 近場源參數估計

4.1 近遠場協方差分離

在得到遠場源到達角的估計之后，根據式(11)可得RN=R-RF-σ2I，因此可以通過估計RF和σ2來得到RN的估計[6]。對R進行特征值分解：

(14)

其中Δs為大特征值構成的對角陣，Us為對應特征向量構成的信號子空間，Δn為小特征值構成的對角陣，Un為對應特征向量構成的噪聲子空間。

結合(11)和(14)兩式得到：

(15)

RF可以通過下式進行估計：

(16)

(17)

[·]?表示偽逆。

RN可以表示為：

(18)

其中σ2為噪聲功率，通過對R的(L-K)個小的特征值求平均可以得到其估計值。由式(18)可以看出，從信號協方差矩陣中既消除了陣列噪聲，又消除了遠場源信息，可以更好地實現混合信號的抑噪和分離。

4.2 近場源到達角估計

為避免二維搜索，提高估計精度，利用均勻線陣的對稱性對近場源方向矩陣AN進行分塊處理：

(19)

其中

(20)

(21)

(22)

等式(21)可以進一步表示為：

(23)

現在使用稀疏重構來估計近場源到達角，對RN進行特征值分解：

(24)

對Gs進行分塊處理：

(25)

(26)

(27)

結合上述分析，構造如下的目標函數：

(28)

4.3 近場源距離的估計

(29)

根據稀疏重構理論，近場源距離的估計問題可以表示為如下的l1范數最小化目標函數：

(30)

本文算法的具體步驟如下：

1)獲得協方差矩陣R，通過求解式(13)的優化問題，得到遠場源的角度估計值；

2)由得到的遠場源角度估計值重構遠場協方差矩陣RF，利用子空間差分方法得到RN；

4)根據得到的近場源角度估計值，求解式(30)得到近場源距離的估計值。

5 計算復雜度

關于計算復雜度，這里主要考慮累積量矩陣的構建、特征值分解、稀疏重構等主要過程。本文算法需兩次(2M+1)×(2M+1)維的特征值分解和三次稀疏重構過程。在混合源參數估計中，文獻[7]需要構建(2M+1)×(2M+1)2維的累積量矩陣，(2M+1)×(2M+1)2維和(2M+1)×N維兩個矩陣的SVD分解，兩次稀疏重構過程。對比可知，由于構建了高階累積量矩陣，文獻[7]比本文算法具有更高的計算復雜度。文獻[6]僅需兩次特征值分解和三次譜峰搜索，其復雜度低于本文算法, 但本文算法的參數估計效果優于文獻[6]。具體的運算量如表1所示，其中N為快拍數，N0～N3分別為遠場角度域、近場角度域、遠場距離域和近場距離域劃分的網格數。將本文算法與文獻[6]、[7]進行比較，考慮兩個遠場源位于(-5°,)和(30°,)，兩個近場源位于(-5°,3λ)和(20°,4λ)，快拍數為500，信噪比為10 dB，對每種算法運行100次仿真實驗并獲得平均運行時間，結果如表2所示?？梢钥闯?，采用MUSIC類譜峰搜索的文獻[6]運算時間最短，本文算法次之，文獻[7]基于高階累積量的稀疏重構算法運行時間最長，這正好和三種算法的計算復雜度相對應。

表1 計算復雜度比較

表2 平均運行時間

6 仿真結果及分析

實驗采用11個陣元組成的均勻線陣,陣元間距為0.25λ，信源為等功率的互相獨立的窄帶信源，噪聲為復加性高斯白噪聲，且信源與噪聲互不相關。實驗2和實驗3的仿真結果基于500次獨立的蒙特卡羅試驗。

信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)分別被定義為：

(31)

(32)

實驗1驗證本文算法的角度分辨能力及估計信源個數的能力，對比算法選擇文獻[6]。首先考慮有相同混合源到達角的情況，假設空間中有三個遠場源位于(-15°,)，(-5°,)和(20°,)，兩個近場源位于(-30°,1.8λ)和(10°,2.2λ)，快拍數N=2000，信噪比SNR=10 dB。從圖2和圖3可以看出，當信源個數較多時，文獻[6]中的算法已無法對近場角度和近場距離做出正確估計，而本文算法依然保持著非常尖銳的譜峰。因此，本文算法在信源個數較多情況下的估計效果遠遠優于文獻[6]中的算法。

圖2 混合源角度估計譜Fig.2 The estimated spatial spectrums of mixed sources

圖3 近場源距離估計譜Fig.3 The estimated range spectrums of near-field sources

為了更好地說明本文算法相比于文獻[6]方法的高分辨率，令信噪比從0 dB變到30 dB，每種信噪比條件下進行1000次重復實驗，其余仿真條件不變，繪制出遠場信源的分辨概率隨信噪比變化的情況，如圖4所示。從圖4可以看出，本文算法空間分辨概率在0～10 dB之間隨著信噪比增加幾乎直線上升到最大概率，并一直維持在最大概率。而文獻[6]中基于譜峰搜索的算法的空間分辨概率在0～10 dB之間概率為0，10～15 dB稍微有所上升，15～20 dB才開始有明顯上升，后緩慢上升至最大概率。因此本文算法的空間分辨率明顯優于文獻[6]中的方法，這也驗證了稀疏重構的高分辨率特性。

圖4 遠場源分辨概率變化曲線Fig.4 The resolutions versus SNRs for far-field sources

實驗2仿真混合信源下本文算法的估計效果，對比算法選擇文獻[6]。假設空間中兩個遠場源分別位于(-5°,)，(30°,)，兩個近場源分別位于(-15°,3λ)，(20°,4λ)，信噪比從-10 dB變到15 dB，快拍數為500。從圖5可以看出，無論是近場源還是遠場源參數估計，本文算法的估計精度均優于文獻[6]。

圖5 混合源均方根誤差隨信噪比變化曲線 Fig.5 RMSEs of mixed sources versus SNRs

實驗3為純近場信源參數估計性能的仿真，對比算法選擇文獻[6]、[7]和[10]。假定兩個近場源位于(-5°,3λ)和(20°,4λ)，其他參數同實驗2。觀察圖6結果可以看出，本文算法在近場到達角估計中具有更低的估計誤差，估計精度明顯優于其他兩種算法。在距離估計中，當信噪比較低時，本文算法與文獻[10]估計精度相當，并高于文獻[6]和[7]，而在高信噪比下，本文方法和文獻[6]效果趨于一致。文獻[7]算法由于高階累積量在高信噪比下優異的噪聲魯棒性，具有最佳的近場距離估計效果，但其未分離近場源和遠場源，在近場距離估計時，也要將遠場信源當作特殊的近場源進行距離估計，復雜度高于本文算法。

圖6 純近場均方根誤差隨信噪比變化曲線Fig.6 The RMSEs of DOAs and ranges versus SNRs of pure near-field sources

7 結論

本文提出了一種基于稀疏信號重構的混合源分離定位方法。首先使用l1-SVD算法的改進形式估計出遠場源到達角，然后采用協方差差分方法得到近場源協方差矩陣，再通過對近場源協方差矩陣稀疏重構估計出近場源到達角，最后利用估計出的近場角度對近場源協方差矩陣進行稀疏表示，估計出近場源距離。本文方法在充分利用二階統計量信息的同時，不必進行二維譜峰搜索和額外的近場源參數配對，同時避免了構造計算復雜度高的高階累積量矩陣。仿真結果驗證了本文算法的有效性和空間分辨能力，與文獻[6]中基于MUSIC的算法相比，本文算法估計精度高，具有更好的混合源分離效果和空間分辨率，避免了文獻[6]中由于近場距離譜峰不明顯而可能導致的估計失敗問題；與文獻[7]相比，本文算法避免了高階累積量的構建，也不需要對遠場距離加以估計，有效降低了運算量；與文獻[10]相比，本文算法利用了所有陣列接收自相關矩陣元素的信息，較高的信息利用率保證了更優的信源參數估計精度。在純近場條件下，本文算法具有更高的角度估計精度，且低信噪比條件下的近場距離估計精度也很高。