功能梯度輸流管的非線性自由振動分析

朱晨光， 徐思朋

(中國海洋大學 工程學院，山東 青島 266100)

功能梯度材料是由兩種或兩種以上材料“混合”而成，由此得到的材料組成和力學性質是沿某種方向均勻變化的，簡稱為FGM(Functionally Graded Materials)。功能梯度材料克服了復合材料在連接界面材料性質突變的缺點，能夠更加有效的利用材料，減小殘余應力和熱應力，也可以作為粘結層連接不同的材料，因而在航空航天、建筑材料、電子、傳感器、化學、生物醫學乃至日常生活諸領域都得到了廣泛的應用[1-4]。在微型管方面，現在已經被應用在原子力顯微鏡(AFM)上，在共鳴器、制動器、聲吶等方面也有很好的應用前景[5]。作為一種非均勻材料，對功能梯度材料的深入研究，有助于進一步推廣其工程應用，同時也能促進非均勻材料力學的發展。

目前，關于功能梯度梁的研究已經有很多，其中大部分梁模型假設材料參數沿梁高度按指數型變化。但對于材料參數沿徑向變化的功能梯度管的振動研究相對較少。文獻[6]考慮尺度效應，將Timoshenko 梁模型用于管，計算了微納米尺度功能梯度管的非線性振動。但利用Timoshenko梁模型計算管道振動時，由于管內、外表面的剪應力須為零，該光滑狀態(friction-free condition)并不容易滿足。若采用三維彈性模型，則計算十分復雜。為解決此難題，文獻[7]提出了一個適用于管的高階梁模型，文獻[8]則基于該模型分析了功能梯度管的熱后屈曲問題。

本文將采用該模型[7]研究功能輸流梯度管的非線性振動問題。關于管內流體對管道振動的影響已有較多的研究。如文獻[9]應用修正偶應力理論分析了簡支微納米輸流管自由振動時流速對自然頻率和非線性頻率的影響；文獻[10]基于該理論，分析了微尺度下懸臂管內流流速對振幅的影響；文獻[11]則考慮尺度效應，應用應變梯度理論得出了簡支微管內流流速和自然頻率的關系，并和歐拉-伯努利梁理論以及修正偶應力理論的結果進行了比較分析；文獻[12]討論了非線性彈性基上輸液管在周期振蕩流作用下的振動特征；文獻[13]研究了輸流管道在管內流體及管外海洋荷載共同作用下的渦激振動特征。而關于功能梯度輸流管的研究相對較少，文獻[14]采用橫截面材料性質隨半徑冪函數變化的功能梯度參數，應用殼模型對功能梯度圓柱殼結構進行了振動分析。依據殼模型得到的結果比較精確，但其方程十分復雜。文獻[15-16]采用歐拉梁模型，分別分析了軸向功能梯度輸流管與功能梯度輸流曲管的振動問題。二者都是采用將歐拉梁控制方程中材料系數加以替換的方式得到的控制方程，且考慮的皆為線性問題。本文采用沿管徑方向變化的功能梯度參數，基于一個適用于管的高階梁模型并應用哈密頓原理，得出了管道振動的控制方程。然后，利用Galerkin方法對方程進行了離散化。最后，采用多尺度法得到了功能梯度輸流管非線性振動時自然頻率和非線性頻率的表達式。

多尺度方法是一種有效的解決弱非線性問題的近似計算方法。由于它不僅能用來計算周期運動和穩態響應，還能夠被用于計算耗散系統的衰減振動以及非穩態過程，所以在非線性振動方面得到了很好的應用(文獻[24], 83頁)。本文通過文章中耦合方程頻率相等的證明，應用多尺度法求得了線性和非線性的頻率表達式，應用頻率表達式，能夠更加方便直觀的分析輸流管非線性自由振動的特征。

1 功能梯度輸流管的控制方程

如圖1所示的兩端簡支的功能梯度管，長為L，內徑為Ri，外徑為Ro。建立如圖所示的兩個坐標系，其中yz坐標系為管橫截面的坐標系，坐標原點為管截面的中心點，y軸為水平方向，z軸正方向豎直向上；xyz坐標系為整體坐標系，x軸為管的縱向方向；θ為管截面上y軸與z軸夾角逆時針方向的角度，r為管截面上點距截面中心的距離。易知有y=rcosθ,z=rsinθ. 為推導的方便以及表達式的簡潔，后文的推導過程主要以xyz坐標系進行，將r,θ視為y,z的函數。為適應圓截面的特點，在數值計算時，則將y,z以r,θ表示進行計算。假設管道由材料1和材料2構成，材料參數沿徑向按指數形式變化。管道的材料性質為：

圖1 功能梯度輸流管模型Fig.1 Model of FG tube conveying fluid

(1)

由文獻[7]知，適用于管的高階梁模型位移場方程如下：

U(x,y,z,t)=U0(x,t)+fW0(x,t)′+gφ(x,t)

(2)

W(x,y,z,t)=W0(x,t)

(3)

(4)

(5)

(6)

(σxx,τxy,τxz)=(Eεxx,Gγxy,Gγxz)

(7)

式中：εxx、γxy、γxz為相應下標的應變，σxx,τxy,τxz為相應的應力，E為管道材料彈性模量，G為剪切模量?？紤]管道受內流作用，運用哈密頓原理：

(8)

式中：Us表示系統的勢能，Ks表示系統的動能[17]，具體如下：

(9)

(10)

式中：v為管內流體的流速，ρp、ρf分別為管道和流體的密度；Ap、Af分別表示管的截面積以及流體的截面積，流體的截面積即管道內的空心部分截面積。k1，k2分別表示管道和流體的動能，分別為：

將式(4)～(7)代入式(9)～(10)，化簡后可得功能梯度輸流管的控制方程如下：

(11)

(12)

(13)

2 多尺度法求解

兩端簡支的管道，其邊界條件為：

x=0,U0=0,W0=0；x=L,U0=0,W0=0

考慮管的自由振動，軸力在管長范圍內保持不變[19]，即：

(14)

兩邊對x積分后，代入邊界條件，可解得：

(15)

將上式代入控制方程式(12)～(13)，并運用Galerkin方法將其進行離散化處理，即設：

(16)

保留系統的一階陣型[21，26]，則利用振型函數的正交性和函數性質，控制方程簡化為：

(17)

式中：C1=mp+mf+π2B3/L2,C2=π4Ip/(4L4),C3=π2B0/L2+π4B1/L4-π2mfv2/L2,C4=πB4/L,C5=πB0/L+π3(B1+B7)/L3,G1=πB4/L,G2=πB0/L+π3B2/L3,G3=B9,G4=π2(B2+B8)/L2+B0。ε為表征系統微小改變的無量綱小量。

運用多尺度方法[24]假設：

Φ(t,ε)=Φ0(T0,T1)+εΦ1(T0,T1),
Ψ(t,ε)=Ψ0(T0,T1)+εΨ1(T0,T1)

(18)

式中：Ti=εit(i=0,1)，表示不同的時間尺度。將式(19)代入式(17)，按ε的同階次合并同類項，可得：

(19)

(20)

式中：Di(i=0,1)為微分算子符號，表示對Ti求偏導數。具體為：

假設ε0中Ф0的解為[21-22]：

(21)

Φ0(T0)=Φ0(T0+2π/ω)

(22)

Ψ0=F(Φ0)=F(Φ0(T0+2π/ω))=
Ψ0(T0+2π/ω)

(23)

則Ψ0為周期函數，假設Ψ0最小正周期T′，則：

T′≤2π/ω

(24)

2π/ω≤T′

(25)

由式(24)、(25)可得2π/ω=T′，則可以假設方程組ε0的解為：

(26)

ω=-[(C12G42-2C1C3G3G4-2C1C4G2G4-2C1C5G1G4+

C42G22-2C4C5G1G2+C52G12)1/2-C1G4-C3G3+C4G2+

C5G1]/(2C1G3-2C4G1)

(27)

將解代入式(20)的右邊，利用多尺度法的可解性條件，可得功能梯度輸流管的非線性頻率：

(28)

式中：a0為假定管道按照一階振型振動時，管道L/2處的初始振幅。

3 算例和討論

在本文中，除另有提及，均假設Ri=0.8Ro，L=40Ro。管的材料，選擇由鋁和環氧樹脂組成的功能梯度材料。其中材料1鋁的主要參數為：彈性模量E1=70 GPa，密度ρp1=2 700 kg/m3，泊松比v1=0.23。材料2環氧樹脂主要參數為：彈性模量E2=1.44 GPa，密度ρp2=1 200 kg/m3，泊松比v2=0.38[19]，流體密度為ρf=1 000 kg/m3。當n=0時，管道為單一材料的環氧樹脂管道。

本文使用MATLAB軟件來進行相關的數值計算工作?？紤]到本文的材料參數(式(1))，都是與截面上點與截面中心的距離r有關，其關系為冪指數關系；且本文的主要系數，都是材料參數的相應函數在管截面上積分而得，故而在功能梯度參數n較大時，計算量將十分巨大。本文采用均勻分層的方法計算所需的各個系數，即將管道截面分為均勻厚度的多個部分，每層視為均勻的材料，每層的材料性質取當層的中間值，最后將所有層的數值加和，視為整個截面的積分值，即本文所需的系數。在n=0時，計算量較小，可以直接積分計算。均勻分層法結果與直接積分法結果在n=0時的比較發現，當分層數足夠大時(本文分層數為100，系數誤差都在10-6以內)，均勻分層法是十分有效的。所得數值結果及其相關討論如下文。

在退化狀態下(n=0)，本文所得單一材料輸流管道的線性與非線性頻率如圖2～5所示。由圖可見，本文所得結果與其他理論符合的很好，這在一方面也驗證了本文方法的正確性。同時，從圖2～3可以看出，在管長和內外徑比值固定的情況下，自然頻率隨管徑的增大而減小，并隨流速的增加逐漸接近臨界點。這與管徑增大時管道的剛度增大相關，而流速的持續增大會使管道振動進入不穩定狀態。從圖4～5中可以看出，非線性頻率和自然頻率的比值隨管長與外徑比值的增大而減小，隨振幅的增大而增大；并且隨著振幅的增大，頻率比增大的速度越來越快。這表示隨著初始擾動的增大，會使系統的振動更加不穩定。

對功能梯度輸流管，圖6給出了材料參數對自然頻率的影響。由圖可見，隨著材料1的比例增大(n的增大)，頻率升高的很快。這是因為材料1的彈性模量比較大，而彈性模量直接影響到系統的剛度，進而影響系統的自然頻率。非線性頻率與自然頻率的比值也與流體的流速有關系，由圖7可見隨著流速的增加，比值逐漸增大，且流速越靠近臨界流速，這種影響也越大。這反映出隨著流速的增大，非線性振動響應增加的很快，管的振動越來越接近不穩定狀態。圖8為臨界流速vc(即輸流管道線性頻率為0時的流速)與管長、管徑之比L/Ro在不同功能梯度參數之下的關系。由圖可見，輸流管的臨界流速隨功能梯度參數的增大而增大，這從圖6中也可以看出。另外，臨界流速受L/Ro的影響很大，且隨著L/Ro的減小，臨界流速增加的越來越快。L/Ro反映了管道的長細比大小，說明在管道的長細比變大時，管道的臨界流速會減小，即更容易失穩。

圖2 自然頻率與流速的關系，其中n=0, Ro=1 cmFig. 2 The relationship between nature frequency and inner fluid velocity for n=0, Ro=1 cm.

圖3 自然頻率與流速的關系，其中n=0, Ro=5cmFig.3 The relationship between nature frequency and inner fluid velocity for n=0, Ro=5 cm

圖4 非線性頻率和自然頻率的比值與振幅的關系，其中n=0, Ro=1 cm, ρf=0, L=20RoFig.4 The relationship between ratio of nonlinear frequency to nature frequency and amplitude for n=0, Ro=1 cm, ρf=0, L=20Ro

圖5 非線性頻率和自然頻率的比值與振幅的關系，其中n=0, Ro=1 cm, ρf=0, L=40RoFig.5 The relationship between ratio of nonlinear frequency tonature frequency and amplitude for n=0, Ro=1 cm,ρf=0, L=40Ro

圖6 不同功能梯度參數下，自然頻率和流速的關系，其中Ro=1 cmFig.6 The relationship between nature frequency and fluid velocity under different FG parameters for Ro=1 cm

功能梯度管道非線性頻率與自然頻率比值和管道功能梯度參數n的關系見圖9～11，圖9～11具體材料工況見表1。除彈性模量外，材料1、材料2其他材料屬性(密度、泊松比)皆保持不變。

圖7 不同流速下，非線性頻率和自然頻率比值與振幅的關系，其中Ro=1 cm, n=0Fig.7 The relationship between ratio of nonlinear frequency to nature frequency and amplitude under different velocities for Ro=1 cm, n=0

圖8 不同功能梯度參數下，臨界流速和L/Ro 的關系，其中Ro=1 cm, Ri=0.8RoFig.8 The relationship between critical fluid velocity and L/Ro under different FG parameters for Ro=1 cm, Ri=0.8Ro

工況名工況屬性對應圖材料方程材料1彈性模量材料2彈性模量工況1圖9P(r)=P1+(P2-P1) r-RiRo-Ri()nE1=70 GPaE2=1.44 GPa工況2圖10P(r)=P2+(P1-P2)r-RiRo-Ri()nE1=70 GPaE2=1.44 GPa工況3圖11P(r)=P2+(P1-P2)r-RiRo-Ri()nE1=1.44 GPaE2=1.44 GPa

圖9 不同功能梯度參數下，非線性頻率和線性頻率的比值與振幅的關系，其中Ro=1 cm, ρf=0, 材料工況1.右側為局部放大圖Fig.9 The relationship between ratio of nonlinear frequency to nature frequency and amplitude under different FG parameters for Ro=1 cm, ρf=0, materials condition 1. Partial enlarged drawing is on the right side

圖10 不同功能梯度參數下，非線性頻率和線性頻率的比值與振幅的關系，其中Ro=1 cm, ρf=0, 材料工況2.右側為局部放大圖Fig.10 The relationship between ratio of nonlinear frequency to nature frequency and amplitude under different FG parameters for Ro=1 cm, ρf=0, materials condition 2. Partial enlarged drawing is on the right side

圖11 不同功能梯度參數下，非線性頻率和線性頻率的比值與振幅的關系，其中Ro=1 cm, ρf=0, 材料工況3.右側為局部放大圖Fig.11 The relationship between ratio of nonlinear frequency to nature frequency and amplitude under different FG parameters for Ro=1 cm, ρf=0, materials condition 3. Partial enlarged drawing is on the right side.

4 結 論

本文應用一個適用于管的高階梁模型，結合哈密頓原理，得到了功能梯度輸流管在內流作用下的非線性控制方程。以兩個變量之間頻率關系的推導為基礎，利用多尺度方法，求解了非線性耦合偏微分方程組，得到了管道自然頻率和非線性頻率的解析表達式。通過和已有文獻的對比，驗證了本文方法的正確性。由數值模擬可以發現，隨著流速的增加，非線性頻率與自然頻率比值越來越大，且越靠近臨界流速，變化越快，說明流體的存在使管道的非線性振動變得更加不穩定；當截面為單一材料的時候，非線性頻率與自然頻率比值隨振幅的變化與材料性質關系不大，而功能梯度材料管截面不均勻性會導致頻率比隨振幅相應變化，且將彈性模量更大的材料放在管道的外側，并取適當的功能梯度參數，可以一定程度的減小系統的非線性振動頻率。功能梯度管道的這種表現較為特殊，計算結果對實際工程有一定的啟示作用。