圖形直觀運用于解決問題策略教學初探

佟學唬

（常州市新北區三井實驗小學，江蘇常州 213001）

孔凡哲教授認為，在小學階段，實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀作為幾何直觀具體表現的四種形式。在解決問題策略專項教學中，圖形直觀發揮著重要作用。圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀，用直觀圖描述問題，本文通過策略教學中圖形直觀應用的呈現形式為切入點進行描述分析，體現圖形直觀在教學中的價值作用。

1 解決問題策略教學中圖形直觀應用呈現形式

1.1 巧用線段圖，感受圖形直觀描述分析問題價值

發展學生的幾何直觀是數學課程標準提出的重要課程目標之一。學生可以借助圖形直觀理解數學，把復雜數學問題簡明、形象呈現，探尋解決問題的思路和方法。線段圖是利用圖形直觀描述分析問題的最直接方式，形象生動的聯系條件與問題，從而直觀分析數量關系達到實際問題解決的效度。

小寧和小春共有72 枚郵票，小春比小寧多12 枚。兩人各有郵票多少枚？

圖1

學生根據題意把線段圖填寫完整，畫圖表示題中的條件和問題，再畫出表示小寧和小春郵票枚數的線段。分析數量關系時得出一種方法是兩人郵票的總數減去12 枚，等于小寧郵票枚數的2 倍，先算出小寧有多少枚？另一種方法是兩人郵票的總數加上12 枚，等于小春郵票枚數的2 倍，先算出小春有多少枚？教師引導學生比較兩種解法的相同點和不同點，認識到兩種不同的解題思路，本質上都要先設法使兩人郵票數量同樣多。學生體會到畫線段圖能使數量關系更直觀、更清楚，根據分析數量關系，容易找出解題思路。

1.2 基于直線圖，依托圖形直觀列舉解決實際問題

學生經歷運用圖形直觀列舉解決實際問題的過程，感受列舉策略的特點和價值，從而增強分析問題的條理性和嚴密性。教學中可以引導學生寫好量的名稱，然后逐一連線表示出列舉情況，利用圖形直觀列舉時確保思考過程的有序性，列舉的結果做到不重復、不遺漏。

南山中心小學舉行小學生足球賽，有4 支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？

首先理解“每兩支球隊比賽一場”的意思是兩支球隊之間只進行一場比賽，也就是說每支球隊要分別與其他3 支球隊賽一場。教材安排兩種方法一是列舉出各場比賽，比如紅—黃、紅—綠、紅—藍、黃—綠、黃—藍、綠—藍，另一種方法是通過畫圖列舉：

圖2

教師提示學生通過畫圖進行思考需要先畫4個點表示4 支球隊，再用每兩點之間的連線表示球隊之間所進行的比賽，連線有幾條，就有幾場比賽，直線圖列舉能更為直觀清晰。

1.3 擅用示意圖，根據圖形直觀感悟直觀思想方法

學生在運用畫示意圖策略解決問題過程中，感受借助圖形直觀分析數量關系，確定解題思路的方法，逐步培養學生運用畫圖策略的意識。借助畫圖策略解決問題，需要根據實際問題的特點，選擇恰當示意圖清楚準確的揭示條件和問題的聯系，便于分析數量關系，確定解題思路。

梅山小學有一塊長方形花圃，長8m。在修建花園時，花園的長增加了3m，這樣面積就增加了18m2。原來花圃的面積是多少平方米？根據題中的條件和問題，要求學生想到“花圃的長增加了3m”的含義，同時要求原來花圃的面積，先要算出它的寬的思路。學生用圖示表示原來的花圃，表示條件和問題，兩條長邊都要增加3m，寬不變。再畫出增加的18m2，同時把所求問題在圖中標出來。

圖3

根據示意圖分析數量關系，要求原來花圃的面積，要先算它的寬是多少米？原來花圃的寬，就是增加的小長方形的長，增加的面積是18m2，寬3m，可以求出它的長，最后用長乘寬等于面積。

1.4 創用個性圖，依據圖形直觀提升假設應用能力

學生在解決問題過程中可以依據題意采用假設策略，分析實際問題的數量關系，積累解決問題的經驗，學生根據實際問題的條件和問題，提出合理的假設，達到化繁為簡的目標，初步形成解決問題的策略意識，從而將復雜問題轉化為簡單問題。

小明把720mL 果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿。已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

圖4

理解題中的數量關系是6個小杯的容量+1個大杯的容量=720mL，小杯的容量是大杯的大杯的容量就是小杯的3 倍。教師引導學生理解假設把720mL果汁全部倒入小杯，明確1個大杯可以看作3個小杯，所以720mL 果汁正好可以倒滿9個小杯。求出1個小杯的容量后，再求出1個大杯的容量。

2 圖形直觀運用于解決問題策略教學的價值體現

2.1 運用圖形直觀，明朗梳理數量關系

小學數學教學中解決實際問題策略教學是學習的重點又是學習的難點，其中分析數量關系在整體教學過程中處于關鍵地位，教師可以運用圖形直觀幫助學生理解抽象的數量關系，引導學生用直觀圖形和符號把數學問題的數量關系表述出來，從而清晰化、可視化、直觀化解決教學關鍵問題，充分體現圖形直觀價值。

如在教學蘇教版《數學》三年級上冊“解決問題的策略”（從條件想起）這一內容時，教材精心安排了“學生折花”這一問題情境：“綠花有12 朵，黃花的朵數是綠花的2 倍，紅花比黃花多7 朵。紅花有多少朵？”教材按照“理解題意-圖形直觀描述-厘清數量關系-靈活算法解答-回顧反思”的板塊流程能夠較為準確清晰的幫助學生了清解題思路，教學中發現個別學生的思考過程往往代替大多數同學對數量關系的理解，不能清楚理解題意背后所隱藏的數量關系，所以教學中為讓學生更好把握數量關系，筆者在運用圖形直觀理解題意是指出 “能用你喜歡的方式把題中的條件和問題表示清楚嗎？”學生把自己能夠想到的思路過程方法表示出來：

表1 表格圖

表5 方格圖

圖6 線段圖

在給學生充足的時間后，引導學生對比呈現資源后發現線段圖是呈現題意理解最清楚、最直觀的方式，當學生全程經歷圖形直觀表征過程后，重點條件的理解和數量關系的理解更為清晰，借此可以列式解決問題，同時便于學生回顧解決問題思路，整體理解數量關系。

學生根據題意可以用自己喜歡的方法把題中的條件和問題進行整理，分析后再利用數量關系可以根據前兩個條件，先求出黃花有多少朵？求出黃花的朵數后，就能求出紅花的朵數。教師引導學生把自己的想法勇敢的呈現出來，對比后發現用線段圖的方法能夠將題中的數量關系表示得更清楚。

2.2 運用圖形直觀，明晰建構數學模型

模型思想是 《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確提出的十大“核心詞”之一，主要是指從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。

如在教學蘇教版《數學》五年級下冊“用轉化的策略解決問題”這一內容時，教材呈現計算時，觀察后發現4個分數連加，每個加數的分子都是 1，分母是有規律排列的，依次是 2，2 ×2，2 ×2 ×2，2 ×2 ×2 ×2。學生掌握規律后進行解題思考后呈現多種方法，教師收集資源后對比：

（1）按順序計算：

（2）通分計算：

（3）轉化計算：

教師引導學生把正方形看作單位“1”，把算式中的加數填入圖7。

空白部分占大正方形的幾分之幾？把算式和圖形聯系起來思考，由于空白部分是大正方形的涂色部分是大正方形的（1-），原來的算式可以轉化為1-回顧解決問題的過程，我們遇到較為復雜的計算時，先要認真分析算式的特點，讓學生把復雜的算式可以轉化成簡單的算式，更能提示學生畫圖可以找出轉化的方法，認識到畫圖是實現轉化的關鍵環節。

圖7

2.3 運用圖形直觀，鮮明增強符號意識

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確提出符號意識是指能夠理解并且運用符號表示數，數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。

如在教學蘇教版《數學》五年級上冊第96 頁“練一練”，小強、小華和小麗是好朋友。如果他們每兩人之間通一次電話，一共要通多少次電話？如果他們互相寄一張節日賀卡，一共要寄多少張賀卡？學生基于以往的經驗運用符號意識中的符號對題意進行列舉，呈現的內容過程展現出來：

（1）文字法：

小強-小華 小強-小麗 小華-小麗

（2）字母法：

把小強看作A，小華看作B，小麗看作C。

A-B A-C B-C

（3）圖形法：

把小強看作○，小華看作△，小麗看作□。

○-△ ○-□ △-□

3 結語

通過方法呈現比較后不難發現文字法、字母法、圖形法依次遞進后，用圖形法來表示多個量之間的關系既能清楚地表達出題目中的數量關系，又能簡潔的表示出對題意的理解，因此說明解決問題時運用符號意識來思考，能夠提高解題速度，提升學生的思維能力。