隨機利率下B-S模型基于非參數估計的期權保險精算定價

王繼霞， 王添秀

(河南師范大學 數學與信息科學學院 河南 新鄉 453007)

0 引言

期權定價的保險精算方法由Mogens Bladt 和 Tina Hviid Rydberg[1]在1998年首次提出.由于保險精算方法沒有任何的市場假設，所以該方法不僅對均衡、完備、無套利的金融市場適用，而且對非均衡的、不完備的、有套利的金融市場也有效.文獻[2]研究了廣義B-S模型基于保險精算方法的期權定價問題.其他一些研究者也對期權保險精算方法進行了深入研究[3-4].上述文獻中的無風險利率都是時間的確定函數，但是大量的實證分析表明，在現代的金融市場中利率具有均值回復特征.因此，把利率僅視為時間的確定函數并不能很好地描述利率的實際變化特征.文獻[5]給出了歐式期權和交換期權在隨機利率及Ornstein-Uhlenback模型下的保險精算定價方法.

隨機利率下的期權定價問題不但依賴于風險資產價格的波動率，而且也依賴于隨機利率模型的漂移參數和波動率參數，這些量在金融市場中都是無法觀測的.鑒于此，本文研究隨機利率下的廣義B-S模型歐式期權的保險精算定價問題.首先，引入服從Hull-White模型的無風險利率，利用標的資產價格過程的實際概率測度和公平保費原理，得到了在期權有效期內有無紅利支付兩種情況下歐式期權的保險精算定價公式.然后，考慮到期權的保險定價問題依賴于未知的模型參數，一方面，利用風險資產價格的觀測數據構造了風險資產價格波動率的強相合估計量；另一方面，在無風險利率模型滿足局部平穩過程的條件下，基于隨機利率的觀測樣本，利用加權最小二乘方法和Kolmogorov向前方程，分別得到了隨機利率過程中漂移參數和波動率參數的相合估計量.最后，基于時變擴散模型參數的估計量，給出了歐式期權的保險精算定價公式，并討論了所得定價公式的相合性.本文所得到的期權保險精算定價公式可以直接應用于金融實踐，提高了期權定價公式在實際應用中的有效性和便捷性.

1 市場模型和基礎知識

考慮在金融市場中存在兩種資產，一種是風險資產(如股票)，另一種是無風險資產(如債券).假設風險資產的價格{St,t≥0}是定義在完備濾子空間(Ω,F,(Ft)t≥0,P)上的隨機過程，滿足如下變系數Black-Scholes模型

(1)

其中：μ(t)是風險資產的期望回報率；σ(t)是波動率函數；{Bt,t≥0}是定義在完備濾子空間(Ω,F,(Ft)t≥0,P)上的標準布朗運動.風險資產在0時刻的價格記為S0，且S0>0.無風險資產的價格過程{Pt,t≥0}滿足的隨機微分方程是dPt=r(t)Ptdt,其中r(t)為t時刻的無風險利率，它滿足Hull-White短期利率模型

dr(t)=(α(t)+β(t)r(t))dt+σr(t)dWt,

(2)

其中：α(t)、β(t)、σr(t)是時間t的函數，參數α(t)描述了利率的長期平均水平，β(t)是反映利率均值回復特征的量，σr(t)表示利率的波動率；{Wt,t≥0}是定義在完備濾子空間(Ω,F,(Ft)t≥0,P)上的標準布朗運動；Bt和Wt的相關系數為ρ.首先給出期權保險精算定價的有關概念[1].

(3)

其中ψ(t)為t時刻St的連續復利收益率.

定義2標的資產歐式期權保險精算的價值定義為：期權被執行時，到期日標的資產價格的折現值與執行價的折現值之差在標的資產價格實際概率測度下的數學期望，其中風險資產(如標的資產的價格)按其期望收益率(如(3)式所定義)折現，無風險資產價格(如執行價)按無風險利率折現.

設C(K,T)和P(K,T)分別表示風險資產價格為St，敲定價格為K,到期日為T的歐式看漲期權和歐式看跌期權在t=0時刻的價值，則歐式期權在到期日T被執行的充分必要條件，歐式看漲看跌期權分別為：

由定義2，歐式期權的保險精算定價為：

其中E表示風險資產價格過程實際概率測度下的數學期望.

2 Hull-White隨機利率下期權的保險精算定價

本節將討論在Hull-White隨機利率模型下，廣義Black-Scholes模型的歐式期權的保險精算定價問題.首先給出如下引理[6].

引理1設隨機變量ξ～N(0，1),η～N(0，1),且Cov(ξ,η)=ρ，則對任意的實數a、b、c、d、k,有

下面的定理1給出了變系數擴散模型在隨機利率及無紅利支付下歐式期權的保險精算定價公式和買權、賣權的平價關系.

定理1假設風險資產的價格過程{St,t≥0}滿足模型(1)，無風險利率過程{r(t),t≥0}滿足短期利率模型(2),且風險資產在期權有效期內無紅利支付，則歐式看漲期權和歐式看跌期權的保險精算定價公式分別為：

(4)

和

(5)

二者的平價關系為

(6)

其中：

證明由定義2可得

特別地，有

又有

上式等價于

(7)

因此，(7)式變為

故由引理1可得：

故(4)式成立，類似地，(5)式和(6)式也成立.證畢.

下面的定理2給出了歐式期權在有紅利支付下的保險精算定價公式.

定理2假設風險資產的價格過程{St,t≥0}滿足模型(1)，無風險利率過程{r(t),t≥0}滿足短期利率模型(2),且風險資產在期權有效期內有連續的紅利支付，紅利率為q(t)，則歐式看漲期權和歐式看跌期權的保險精算定價公式分別為：

和

其中：

定理2的證明類似于定理1的證明思路，這里不再贅述.

3 基于擴散模型時變參數估計的保險精算定價公式

首先考慮風險資產價格{St,t≥0}的波動率σ2(t)的估計問題.設0=t0

(8)

(9)

設{r(t),t=1,2,…,T}是無風險利率過程的離散觀測數據.對任意的u∈[0,1]，令

(10)

其中：Zt=[1,rt]T,Yt=rt+1-rt,Kut=K([u-t/T]/h),t=1,2,…,T；K(·)是核函數；h是帶寬參數.由(10)式給出的估計即為漂移參數(α(u),β(u))T的估計量.

又由Kolmogorov向前方程[9]得

其中：f1(u)是時間分布的密度函數；f(u,y)是平穩密度函數.令

(11)

類似于文獻[8]中定理2的證明思路，當T→∞時：

(12)

因此，由式(12)給出的估計是相合估計量.更多關于波動率的研究可以參見文獻[10].

下面的定理3給出了基于時變擴散模型參數估計量的保險精算定價公式.

定理3假設風險資產的價格過程{St,t≥0}滿足模型(1)，無風險利率過程{r(t),t≥0}滿足短期利率模型(2),并滿足局部平穩性條件，且風險資產在期權有效期內無紅利支付，則基于估計量式(10)和(11)的歐式看漲期權和歐式看跌期權的保險精算定價公式分別為：

(13)

(14)

其中：

由時變擴散模型參數估計量的大樣本性質、利率過程的局部平穩性和Slutsky′s定理知，由式(13)和(14)給出的保險精算定價公式是相合的.

4 結語

本文主要研究了在隨機利率下，廣義B-S模型歐式期權的保險精算定價問題.首先，利用標的資產價格過程的實際概率測度和公平保費原理，討論了在期權有效期內有無紅利支付兩種情況下歐式期權的保險精算定價公式.然后，考慮到期權的保險定價問題依賴于未知的模型參數-標的資產價格的波動率、隨機利率過程的漂移參數和波動率參數，本文利用資產價格和隨機利率的觀測數據，給出了模型參數的估計量，并得到了基于所得估計量的期權保險精算定價公式，同時討論了所得定價公式的相合性.