基于加窗插值FFT和原子分解的間諧波檢測算法

蔣建東， 楊鯤鵬， 耿莉莉

(1.鄭州大學 電氣工程學院 河南 鄭州 450001； 2.國網河南省電力公司嵩縣供電公司 河南 洛陽 471400)

0 引言

隨著電力電子器件和沖擊性負荷在電力系統中的大量應用，電網中間諧波的含量大量增加，引起了電壓閃變、繼電器誤動作等多種危害[1].因此快速、準確檢測出間諧波對改善電能質量和電網運行具有重要意義.

目前國內外專家已提出的間諧波檢測方法主要有快速傅里葉變換(FFT)法、小波分析法、現代譜估計法、神經網絡法[2-6]等.其中FFT算法最為經典且應用廣泛，但在非同步采樣時，FFT算法存在頻譜泄露和柵欄效應問題[7].為解決這一問題，Jain提出在時域加矩形窗及頻域插值來提高FFT算法精度[8].此后為能更好抑制頻譜泄露，Hanning窗、Blackman窗、Nuttall窗等相繼出現，插值算法也由單譜線插值發展為多譜線插值，故FFT算法的檢測精度有了很大提高[8-11].但是，FFT算法在固定采樣時寬下頻率分辨率固定，當諧波、間諧波之間的頻率差小于頻率分辨率時，FFT算法無法準確檢測.近年來，Mallat和Zhang提出的原子分解算法[12]滿足信號多分辨率分析要求，在電能質量分析中逐步得到應用[13-17].文獻[15]應用原子分解算法檢測間諧波，但該方法在搜索最佳匹配原子時需要進行多次內積運算，計算量較高.文獻[16]用PSO算法對匹配追蹤算法進行優化，計算速度得到提高，但計算精度降低.

本文提出一種基于加窗插值FFT和原子分解的間諧波檢測算法.對待分析信號進行FFT分析，求得峰值譜線值，并利用譜線干涉判據判斷峰值譜線是否存在譜線干涉.當不存在譜線干涉時，則使用加窗插值算法校正峰值譜線，求得諧波、間諧波參數；否則使用原子分解算法在譜峰頻率鄰域內搜索最佳匹配原子，獲取諧波、間諧波參數.此算法能分析出頻率臨近信號且計算量小于原子分解算法.

1 加Hanning窗插值FFT算法在間諧波檢測中的應用

設待分析的信號為v(t)=Acos(2πft+θ)，式中：A為信號幅值；f為頻率；θ為相位.對分析信號進行采樣，采樣頻率為fs，采樣點數為N，得到的離散信號為v(n)=Acos(2πnf/fs+θ).

為減少頻譜泄露，對信號v(n)進行加窗，可得vd(n)=v(n)w(n)，其中w(n)為窗函數的時域形式.窗函數選取標準為主瓣窄、旁瓣小且衰減速度快.但這兩個標準互相矛盾，實際中通常適當增加主瓣寬度達到抑制旁瓣目的.Hanning窗具有如下特點：1) 和其他余弦窗相比，有較小的主瓣；2) 第一旁瓣較低，且旁瓣衰減速度快；3) 基于Hanning 窗的雙譜線插值，公式簡單，計算量較小且易于實現.本文選取Hanning 窗截取信號，其時域表達式為w(n)=0.5-0.5cos(2πn/(N-1)).

對vd(n)進行DFT變換并忽略負頻點，得到

設真實峰值譜線k0左右兩端的最大譜線和次大譜線為k1、k2，且k1≤k0≤k2=k1+1.它們的幅值為y1=|V(k1)|和y2=|V(k2)|.然后引入一個輔助參量，

α=k0-k1-0.5，α∈[-0.5,0.5]，

當采樣點數N比較大時，利用多項式逼近，求得α=1.5β.所求信號頻率修正公式為f=(k1+α+0.5)Δf；相位修正公式為θ=arg[V(ki)]-π·(α-(-1)i·0.5)，i=1,2；幅值修正公式為A=(y1+y2)(2.356+1.155α2+0.326α4+0.079α6)/N.

加窗插值提高了FFT算法的檢測精度，但在固定的采樣時寬下，頻率分辨率固定.由于頻譜泄露，信號間存在譜線干涉現象，當兩信號頻率相差較遠，僅發生旁瓣干涉時，時域加窗是減小旁瓣干涉的一種有效方法；當諧波、間諧波頻率接近，發生較嚴重的旁瓣干涉或主瓣干涉時，加窗插值FFT算法檢測精度大幅下降，尤其當兩信號的頻率偏差小于頻率分辨率時，該算法失去效用[3].

2 原子分解算法在間諧波檢測中的應用

2.1 匹配追蹤算法

原子分解算法根據信號自身特征，從過完備的基函數集合中，自適應選擇一組最佳基函數對被測信號進行線性表示.這些基函數稱為原子，由冗余原子構成的集合稱為原子庫.

在原子庫中尋找最佳匹配原子的常用方法是匹配追蹤算法(MP).該算法是一種貪婪自適應分解方法，根據索引方式對庫中所有原子進行掃描，找出與待分析信號或殘余信號最為匹配的原子(即該原子與信號內積值最大)，根據原子參數分析出相應信號成分并除去，然后形成殘余信號.以此步驟對信號進行多次迭代，當滿足迭代的終止條件時結束迭代，相應的匹配追蹤過程也結束.

設H是維度有限的Hilbert空間，信號v∈H，D是H空間內的過完備原子庫，首先從在原子庫D中選擇出一個原子gr(0)，gr(0)與信號v最佳匹配，故滿足

2.2 原子庫的構建

過完備原子庫中原子本身有著固有特性，可能只對某些與原子特性相近的信號有著較好的分解效果.為使原子分解方法能更好適應信號分解并減少計算量，針對某種信號特征生成的原子庫稱為相關原子庫.電網中的諧波和間諧波信號均為正弦波，且認為在分析的時間窗內，信號是不變化的，故本文采用正弦量原子構造過完備原子庫，其信號模型為gr(t)=krcos(ωt+φ)，式中：r=[ω,φ]為參數組；ω為待分析信號分量的角頻率；φ為待分析信號分量的相位；kr是使‖gr(t)‖=1的系數.

上述原子庫中原子參數具有連續性，使原子庫規模達到無窮，MP算法找尋最佳原子需尋遍原子庫，計算量巨大，不適用實際計算.因此需對原子庫中原子參數進行離散化處理，離散后原子庫依然保持過完備性.正弦原子庫中原子參數離散為

利用原子分解算法分析信號時，每次迭代信號都需要與原子庫中的每個原子進行內積計算，以尋找最佳匹配原子.對含有多個諧波、間諧波的信號，需進行多次迭代，計算量大，實用性受到限制.

3 基于加窗插值FFT和原子分解的間諧波檢測算法

加窗插值FFT算法在分析諧波、間諧波時，有著計算速度快、分析精度高等優點，但是當信號中含有頻率相近成分時，受譜線干涉與頻率分辨率影響，加窗插值FFT算法檢測精度下降甚至失效.原子分解算法在檢測諧波、間諧波時不受譜線干涉影響且頻率分辨率高，但是運算量大且分析精度不穩定.對此，本文提出基于加窗插值FFT和原子分解的間諧波檢測算法.首先對信號頻譜進行判定，在有譜線干涉情況下，使用原子分解算法，否則使用加窗插值算法.該算法避免了FFT算法的頻率分辨率低和原子分解算法計算量大的問題.

圖1 單頻率信號的理論頻譜Fig.1 Theoretic spectrum of single-frequency signal

3.1 譜線干涉判定方法

峰值譜線是否存在譜線干涉可以用幅值判斷法[18]來判斷.假設窗函數的窗譜主瓣內至少有三條譜線，用任意相鄰的兩條譜線都能求得校正頻率，因此取與峰頂比較靠近的三條譜線，如圖1中k-1、k、k+1所示，A、B、C為對應譜線的幅值.用A與B、B與C分別使用比值校正法做頻率校正，如果校正結果一樣，則不存在干涉.

3.2 基于參數離散優化的MP方法

正弦量原子庫中含有N個頻率不同的原子，這些離散的原子頻率中可能不含實際諧波、間諧波頻率，提取到的最佳原子頻率會和實際頻率不匹配，產生較大誤差.為了更好提取信號參數，對角頻率離散參數優化為ω*=2πk/fs，則原子頻率為f=fsω*/2π=k，從式中看出原子頻率變化率為1 Hz.對于分析諧波、間諧波，1 Hz的頻率分辨率就能很好匹配諧波、間諧波頻率.

待分析信號進行FFT后，可求得最大譜峰對應頻率fl，為原子分解算法的頻率參數確定了大致的搜索范圍.由于Hanning窗的第三旁瓣峰值約為主瓣峰值的0.3%，當相鄰的譜峰間隔大于等于5個譜線間隔時，彼此之間影響較小，所以頻率搜索范圍定為k∈[fl-5Δf,fl+5Δf]∈Z.

由三角函數性質cos(α+π)=-cosα，可對原子離散相位優化：φ*=2πq/N，q∈[0,N/2-1]∈Z.然后根據最大內積符號，對相位φ進行修正，即

對離散的原子角頻率和原子相位進行優化后，原子庫中原子數量從N2降低到10Δf·N/2，且只有在諧波、間諧波存在譜線干涉時才用原子分解算法進行檢測，運算量顯著減少.

3.3 算法步驟

首先用Hanning窗截取信號并對信號進行FFT分析，搜索峰值譜線值和它兩端的譜線值，使用幅值判斷法判斷是否有譜線干涉，根據判定結果選擇合適算法，算法步驟如下.

(1) 首先用Hanning窗截取信號并對截取的信號進行FFT分析，求得信號頻譜.

(2) 搜索最大峰值譜線kl，峰值為V(kl).然后找到與最大峰值譜線相鄰的譜線kl-1和kl+1，計算出它們的幅值V(kl-1)、V(kl+1).

(3) 利用幅值判斷法判斷峰值譜線是否存在譜線干涉.

(4) 根據判斷的結果，使用不同算法進行分析.若沒有譜線干涉，則直接使用加窗插值算法檢測參數；若有譜線干涉，則選用原子分解算法對參數進行估計.

(5) 計算殘余信號.重復步驟(1)～(5)，分析出信號中所有的諧波和間諧波后，迭代終止.

4 算例分析

為證明本文算法準確性，假設含有多個諧波和間諧波信號模型為

式中：基波頻率為50 Hz；幅值為380 V；初相位為30°.其余諧波、間諧波參數如表1所示.Matlab仿真時，設定采樣頻率為3 kHz，采樣點數為1 024.

(1) 采用加窗插值FFT算法對信號進行分析，仿真結果如表1所示.

表1 參數估計結果

從表1可以看出只用加窗插值FFT算法檢測諧波、間諧波時，若不存在頻率相近成分時，檢測到的諧波、間諧波的幅值、相角和頻率參數精度非常高，基本接近理論值；而當間諧波的頻率接近諧波時，間諧波不僅檢測不出來，還影響了諧波的檢測精度.

(2) 采用本文算法對信號進行分析，仿真結果如表2所示.

表2 參數估計結果

本文算法對信號參數的分析結果如表2所示.從表2可以看出，本文提出的混合算法能有效檢測出頻率相近的諧波、間諧波，彌補了加窗插值的不足，而且對頻率、幅值、相位的檢測精度很高，尤其對頻率來說，幾乎沒有誤差.

(3) 采用本文算法對含有噪聲的信號進行分析，信噪比為70 dB，仿真結果如表3所示.分析表3結果可知，本文算法具有較好的抗噪性.

表3 參數估計結果

5 結論

加窗插值和原子分解算法都是間諧波檢測的有效算法.加窗插值算法具有速度快、精度高的優點，但頻率分辨率有限，無法分解出頻率相近的諧波、間諧波信號，而原子分解算法具有無限頻率分辨率的優點，但計算量大、速度慢，本文結合兩個算法的優點提出了混合檢測算法.該算法通過判斷峰值譜線是否存在主瓣干涉來選擇不同的算法，既能分解出頻率相近成分，又減少了原子分解算法的計算量.算例分析表明，本文算法對諧波、間諧波進行檢測可以取得較為滿意的結果.