微尺度金屬單晶應變突變現象的理論模型

張 旭， 邵吉吉， 尚福林

(1.鄭州大學 力學與工程科學學院 河南 鄭州 450001； 2.西安交通大學 航天航空學院 陜西 西安 710049)

0 引言

隨著微納米制造技術的蓬勃發展,晶體材料已廣泛應用于集成電路、微機電系統(MEMS)以及其他微小電子器件等微/納米系統中.實驗研究[1-2]發現,微尺度金屬單晶在塑性變形過程中應變會發生突變,并且隨著外部幾何尺寸的減小,應變突變現象會愈加明顯[3].從實際加工角度來看,應變突變的發生使得亞微米尺度下的塑性變形難以控制[4],同時也給微機電技術當中的高精度金屬切割和整體性能控制帶來新的問題和挑戰[5],成為事關微小器件高性能設計制備與安全使用的關鍵性問題.

目前,微尺度晶體塑性的實驗研究還處于發展階段,對于應變突變物理機制的解釋和行為規律的揭示還存有爭議[6].另一方面,針對微尺度晶體塑性特異性變形行為,其理論描述也面臨著新的挑戰.一般情況下,晶體塑性變形行為是用基于連續介質力學的晶體塑性滑移理論來描述,但這種理論無法解釋由于尺寸變小而出現的應變突變現象.因此,揭示該尺度下晶體塑性變形的物理本質,并預測其材料力學行為[7]的理論分析模型將成為該研究的一個重點.

圖1 混合加載模式下的20 μm直徑微柱體位移-時間曲線[9]Fig.1 Displacement versus time curve for 20-μm-diameter micropillar under the hybrid loading mode

1 應變突變的實驗現象

應變突變使得軸向壓縮下的微柱體位移與壓痕系統施加的位移并不完全同步[8](如力加載、位移加載以及包含力加載與位移加載的混合加載模式), 圖1所示為混合加載模式下的情況.當微柱體位移與系統施加位移始終同步時,即為一個恒應變率的加載過程.當某個時刻的微柱體位移開始超前于系統預設位移時,塑性變形發生了一次突變滑移事件.之后,位移-時間曲線往往存在一段水平或者斜率較小的位移線段,這表明微柱體位移幾乎沒有發生變化,因此處于一種變形停滯階段.這種狀態將一直持續到系統預設位移等于微柱體位移后結束,因而使得塑性流動呈現出間歇性變化[9].

一般來說,應變突變的引發可能是由多種機制(如位錯形核[10]、位錯擁塞結構崩塌[11]等)共同作用或者輪流交替引發的,并不完全受控于某一種機制而貫穿于整個塑性變形過程.一般情況下,實驗測試材料(微柱體)尺寸較大時,應變突變受控于位錯擁塞結構的崩塌,其發生需要較低的應力水平；而在實驗測試材料尺寸較小時,應變突變受控于位錯形核,其發生則需要較高的應力水平[12].

實驗研究表明,應變突變在時間上(如突變速度[13])和空間上(如應變突變幅值[14])都具有冪律分布特征.基于應變突變較為顯著的有限尺寸效應[15],其幅值A的統計學分布[11,14]為P(A)～A-τ·exp[-(A/A0)2]，式中：P(A)為概率密度函數；τ為標度指數,約等于1.35；A0為突變幅值截斷項,是一個擬合參數[15].

2 應變突變的理論模型

2.1 位錯匱乏模型

位錯匱乏理論模型[10]假設晶體材料內的位錯均為可移動位錯.通過引入位錯增殖率參數,并設運動過程中的位錯逃逸率為50%,可得到總體位錯密度的演化方程為

圖2 位錯匱乏理論模型[10]預測的應變突變現象Fig.2 Strain burst predicted by the theoretical model based on the dislocation starvation

上述模型計算結果不僅能夠表征塊體材料穩定、光滑的塑性變形行為,而且也能捕捉塑性流動過程中的應變突變事件,具體表現在應力-應變曲線的應力下降現象,如圖2所示.然而,該模型在分析整個塑性流動過程中僅能捕捉到一次應變突變事件.此后,塑性變形一直處于近似彈性的加載階段.由于僅能獲得一個應變突變幅值,因而無法反映幅值的統計學變化規律,這與實驗觀察到的離散的隨機應變突變現象是不相符的.

2.2 位錯源控制模型

位錯源控制模型[17]仍然假定可移動位錯在運動過程的逃逸率為50%,在位錯增殖方面重新考慮了單臂位錯源激活的影響.基于描述塊體材料位錯密度的演化方程,獲得了描述亞微米尺度微柱體塑性變形過程中的位錯密度演化方程，

圖3 位錯源硬化理論模型預測的應變突變現象[17]Fig.3 The strain burst phenomenon predicted by the theoretical model based on the source-truncation hardening

上述模型預測結果能夠很好地再現亞微米尺度柱體間歇性塑性流動現象,能夠刻畫實驗中經常觀察到的離散應變突變現象(如圖3).研究結果表明,單臂位錯源的激活與關閉會導致亞微米尺度晶體材料塑性變形呈現出間歇性變化.需要說明的是,模型初始設定的位錯密度與微納米柱直徑共同限制了該模型能夠捕捉的應變突變事件個數,因而無法較為完整地體現應變突變隨機性分布規律.

2.3 蒙特卡洛模型

蒙特卡洛模型(Monte Carlo, MC)[19]將微柱體的塑性流動分為應變突變和彈性加載兩個部分.在某一應力水平下,應變突變可能發生的概率為

pm,n=[Sn(σm-1)-Sn(σm)]/Sn(σm-1)，

式中：pm,n表示在第m增量步內,發生第n次應變突變的概率;σm表示第m增量步內的當前應力水平;Sn(σm)表示在當前應力水平σm下未發生第n次應變突變的累計概率分布,它可以通過微壓縮實驗測試獲得.該模型認為,應變突變發生時需要滿足條件pm,n≥c1，式中：c1為系統生成的隨機數,0≤c1≤1.否則,彈性加載段發生,應變增量為當前彈性應變增量.因此,在某一應力增量步Δσ=σm-σm-1內,應變增量Δε為

式中A為應變突變幅值，大小與當前應力水平σm有關，A=3.8×10-5×exp(0.17×c2×σm),c2為系統生成的隨機數,0≤c2≤1.

圖4 蒙特卡洛模型[19]預測的應變突變現象Fig.4 The strain burst phenomenon predicted by the Monte Carlo model

這一方法能夠較為真實地表征實驗過程中觀察到的塑性流動間歇性,突變幅值應力相關性以及突變幅值的冪律分布等實驗現象(如圖4所示).需要說明的是,該模型將應變突變在某個應力水平的發生概率(決定應變突變發生頻率)以及突變幅值的應力相關性關系式(決定應變突變幅值),作為初始輸入參數(同樣可以應用于其他加載方式的MC模擬當中[19]).由于這些參數一般通過實驗測試獲得,因而模擬結果能夠反映應變突變隨機性分布規律.

2.4 應變梯度模型

從目前已發表的參考文獻來看,描述應變突變現象的應變梯度模型主要包括兩種.

一種觀點認為微柱體的內應力場與二階應變梯度相關,并且呈現隨機性撓動[20].應變突變發生時,往往涉及群體位錯的運動,其內部單根位錯的應力場控制方程為

τext+τint(r,γ)+τcor(γ)+δτ(r)>0，

(1)

式中：r為空間坐標；τext表示外部載荷施加的驅動力；τint表示因材料內部應變不協調引起的長程作用力；τcor表示群體位錯之間施加的相互作用力；δτ為脈動應力,表示位錯自身運動引起的應力場變化,大小服從高斯分布.上述控制方程中,τint與τcor的計算表達式中[20]引入了二階應變梯度,大小均由局部應變γ確定.

盡管該模型沒有考慮應力與應變之間的關系,也未考慮位錯的演化特征,但其預測的應力-應變曲線出現了明顯的應變突變現象(如圖5(a)所示).此外,由于應力場控制方程中的δτ幅值變化近似服從高斯分布,導致基于該分布預測的應變突變幅值同樣具有隨機性,呈現出實驗觀察到的應變突變冪律分布行為.

另一種觀點認為[21],應變突變的發生與微柱體變形過程中所形成的剪切帶有關,這種剪切帶的形成和擴展會導致微柱壓縮應力-應變曲線的波動.基于這種物理變形機制,該模型將微柱體劃分為若干個滑移薄層,構建了考慮不同滑移層的應變梯度塑性本構模型，

(2)

圖5 (a)基于(1)式[20]與(b)基于(2)式[21]的應變梯度塑性理論模型分別預測的應變突變現象Fig.5 Strain burst phenomenon predicted by the strain gradient plasticity model based on (a) Eq.(1)[20] and (b) Eq.(2)[21],respectively

2.5 晶體塑性滑移理論模型

晶體塑性滑移理論模型[23-24]認為,微柱體間歇性塑性流動過程可分為3個部分,即加載段(下標l表示)、突變滑移段(下標b表示)和變形停滯段(下標h表示),如圖1所示.該模型考慮了5個要素：

(3)

式中：上標“+”表示力加載段或者應變突變段的初始剪切應變率.ξ為無量綱常數，當ξ取值較小時(通常ξ=0.2),突變滑移段出現高應變率,而加載段出現低應變率,進而實現兩個過程的分離.在應力-應變曲線中,一個應變突變包含兩個變形部分，即突變滑移變形和變形停滯段.因此在方程(3)中,當加載段發生時, Δt=Δtl；當應變發生突變時,Δt=Δtb+Δth.

3) 流動法則.晶體滑移變形可采用黏塑性描述，

(4)

圖6 晶體滑移塑性理論模型預測的應變突變現象[23]Fig.6 Strain burst predicted by crystal plasticity model

借助于有限元分析,晶體塑性滑移理論模型預測的各個微米尺寸單晶柱體的應力-應變曲線結果如圖6所示.該模型能夠描述從塊體材料到微觀柱體在軸向壓縮下塑性變形方式的轉變,即從宏觀金屬材料穩定的塑性變形行為到微尺度間歇性塑性流動現象的變化.由于應變突變幅值變化的隨機性,因此該模型預測的塑性流動行為和實驗結果保持完全一致是比較困難的.但是,從模擬結果和實驗測試曲線的高度相似性來看,可以認為計算結果是合理的.

3 結論

本文重點關注亞微米尺度金屬單晶的應變突變現象,簡要介紹了應變突變實驗現象的一些研究成果,討論了近期基于特定物理變形機理相繼發展的一些應變突變理論模型.從已發表的文獻來看,針對單晶微柱體的塑性變形的間歇性行為分析,理論研究主要集中在直徑10 μm以下,所以本文最后重點介紹了適用于數微米尺寸以上的連續化晶體塑性理論模型,并且闡述了當前理論模型的研究成果.

目前來看,相對于實驗測試和數值模擬在微尺度晶體塑性領域取得的進展,理論研究的發展相對滯后.盡管目前已有的理論模型在捕捉應變突變方面取得了豐碩成果,但還有待進一步探索和深入研究,比如,與應變突變密切關聯的物理現象的理論描述(應變突變的應變率效應、應變突變的局部化變形方式等),以及晶體塑性滑移理論的適用性范圍的進一步擴展.