考慮原子縱向位移單原子鏈橫向振動壓電控制

劉燦昌， 鞏慶梅， 馬馳騁， 周繼磊， 姜瑞瑞， 周長城

(山東理工大學 交通與車輛工程學院，山東 淄博 255049)

近年來，隨著電子材料制造由二維降至一維，單原子鏈作為一種理想的一維導體，具有亞納米尺寸、量子化電導、高長寬比和彈性模量、特殊的光學和電磁響應等特點，廣泛應用于光學和電子學等納米器件的制造。單原子鏈還具有終極大的比表面積、電導開關和負微分電阻等特性[1-2]，是納米電子器件的重要組成部分[3]。

高頻納電子機械系統(Nano-Electromechanical System，NEMS)振蕩器的制備是十余年來極為活躍的研究課題。Rouke課題組[4]制備出超過十億赫茲的NEMS振蕩器。Chaste等[5]制成的碳納米管諧振器基頻達到了千兆赫茲。隨著碳納米管等新結構出現，碳納米管振蕩器的基頻得到較大提高，由于碳納米管在生長上無法控制，難以批量制備，阻礙了在實際電路中的應用[6]。目前，高頻振蕩器的核心部件納米結構因存在尺寸效應、量子效應[7]和材料缺陷等原因限制了振蕩器性能的提高，制約電子技術的發展，因而，迫切需要一種新結構以滿足高基頻、高品質因數的需要。

近幾年來，科學工作者提出了許多單原子鏈制造方法并展開單原子鏈相關特性的研究。Ohnishi等[8]首先制造了金單原子鏈。通過移除石墨烯納米帶中的碳原子可以得到線性原子鏈[9-10]。直接利用電弧或用含有氫氣、液氮和氦氣的電弧可以在多層碳納米管內合成碳鏈[11-12]。第一性原理已經廣泛應用于單原子鏈的電導特性、電子輸運性能、吸附性能的研究[13-15]。Yu[16]利用遞歸關系方法研究了含有雜質雙原子鏈動量自相關函數。解憂等研究了扶手椅型石墨烯納米帶吸附金屬磁性Ni和非磁性Cu 單原子鏈的結構、電子性質和磁性[17]。華軍等[18]利用分子動力學方法建立了硅離子輻照石墨烯和輻照后拉伸的數值模型。

單原子鏈的振動研究引起了科技界的普遍重視。Hizhnyakov等[19]利用解析和數值方法研究垂直于單原子鏈方向和垂直石墨烯表面的非諧橫向振動。Glushko等[20]運用矩陣轉置法研究了單原子鏈色散與電子密度分布狀態的關系。Kosevich等[21]對含有四階空間導數的微分方程的適用條件進行了分析，描述了原子鏈的長波振動?？茖W家們在具有螺旋結構的單原子錳鏈中發現了法諾共振現象[22]。Hoogeboom等[23]研究了單原子顆粒鏈離散呼吸子的存在、穩定性與動態力學性能，并研制出了一整套系統性的檢測方法。然而，以上研究基于第一性原理的分子動力學模擬，計算復雜，計算量大，難以應用于多原子結構的計算。因此，在單原子鏈制作技術不斷提高的今天，亟須加強對單原子鏈橫向振動的理論研究。

本文研究了考慮原子縱向位移時單原子鏈的橫向振動，假設其橫向振動模態為弦的振動模態，運用牛頓第二定律建立單原子鏈橫向振動的動力學方程，研究了固有角頻率與納米線的壓電控制電壓、長度之間的關系。通過數值迭代法，結合單原子鏈的邊界條件與對稱性計算得到原子的縱向振動位置坐標，并給出單原子鏈納米線的固有角頻率的計算公式和壓電控制電壓的量子極限值。

1 單原子鏈的自由振動

單原子鏈納米線橫向振動壓電控制裝置包括單原子鏈納米線和壓電控制電路。如圖1所示，壓電控制電路由上壓電塊和下壓電塊串聯組成，壓電塊上表面和下表面鍍有一層金薄膜，通過導線與控制電壓源連接，組成閉合控制電路。調節控制電壓源的控制電壓，可以改變壓電塊軸向位移，單原子鏈沿著軸向位移變化改變軸向力的大小，實現軸向力的控制。

圖1 單原子鏈示意圖Fig.1 Monatomic chains diagram

單原子鏈中的原子由化學鍵連接，化學鍵的長度，即相鄰原子間的間距為非固定值，原子鏈橫向振動時其所有原子整體振動，因而可將單原子鏈的振動模態視為弦的橫向振動模態。納米線的熱振動振幅遠遠小于其橫向振動振幅，因此可忽略不計。

圖2 原子的受力分析Fig.2 Forces analysis of the atoms

單原子鏈結構具有連續性和離散性的特征，動力學建模較為復雜。為簡化單原子鏈振動模型，提出如下假設：

(1) 當單原子鏈平衡時所有原子處于一條直線上。

(2) 單原子鏈振動為納米線的振動，其橫向振動模型可視為弦振動模態。本文還假設單原子鏈的橫向振動為簡諧振動，單原子鏈原子具有相同的振動特征，即具有相同的固有角頻率。

(3) 單原子鏈納米線相鄰原子間的彈性剛度為固定常數，忽略原子間的彎曲剛度。

單原子鏈由N+1個原子組成，單個原子的質量為mk(k為原子的編號)，單原子鏈納米線的橫向振動撓度可表示為

(1)

式中：wk表示單原子鏈納米線中第k個原子的振動撓度;qki為第k個原子橫向振動時的時域函數;i是納米線振動模態的模態數;xk為第k個原子的位置坐標。t為時間函數;l則是單原子鏈納米線的長度。不失一般性，先研究單原子鏈納米線第i階模態振動特性，其它模態振動特性采取類似的研究方法。原子受力如圖2所示。

由牛頓第二定律可以得出

T2cosαk+1-T1cosαk-1=0

(2)

(3)

T2-T1=0

(4)

(5)

單原子鏈橫向振動時，不同原子所在位置的轉角不同，導致受力不同，原子間距離因力的大小改變出現變化，因而研究單原子鏈橫向振動時，需要考慮原子位置坐標的變化。兩個相鄰原子間的撓度差值可寫為

(6)

(7)

第k-1與第k+1個原子的時域函數可寫為

(8)

(9)

將等式(8)、(9)與(1)代入式(5)中，得到單原子鏈納米線的振動方程

(10)

由于單原子鏈橫向振動原子的固有角頻率為正值，其平方根表達式為

(11)

壓電控制器軸向力可以表示為

(12)

壓電控制單原子鏈納米線橫向振動固有角頻率可以表示為

(13)

式中：L為壓電片的長度;K為原子間力常數;d為壓電片的厚度;d31為壓電片的壓電常數;n為單原子鏈原子間隔數;U為壓電塊控制電壓。

2 單原子鏈縱向位移計算

根據離散體的變形協調原則可知單原子鏈做橫向振動時所有原子具有相同的固有角頻率，因而可以令相鄰原子的固有角頻率相等，得到

ωk=ωk+1,k=1,2,…,N-2

(14)

考慮單原子鏈的邊界條件和對稱條件，未知變量數等于方程組方程的個數，非線性方程組是可解的。

由于方程組是非線性方程組，因此難以得到方程組的解析解。通過牛頓迭代法可以計算出方程組的數值解。振動頻率非線性方程組可寫為

(15)

式中：Z=[z1…z(N-1)/2z(N+1)/2zN-1]T(N為奇數)，Z=[z1…zN/2zN/2+dzN-1]T(N為偶數)。 振動頻率非線性方程組迭代計算公式為

Z(j+1)=Z(j)-(F′(Z(j)))-1F(Z(j))

(16)

式中： (F′(Z(j)))-1是導數矩陣F(Z)中的逆矩陣。

3 振動量子極限分析

近年來量子電子機械系統(Quantum-Electro Mechanical Systems, QEMS)成為研究的熱點問題，NEMS和QEMS一般按照無量綱“熱占有數”劃分

(17)

(18)

若應力小于或等于ULimit， 單原子鏈振動則屬于NEMS范疇；否則，則應考慮單原子鏈振動的量子效應。將振動模型量子化，其量子化能量可以表示

(19)

式中：M為單原子鏈振動固有角頻率占有因數。

4 算例分析與討論

本文以單原子鏈納米線橫向振動為研究實例進行分析。單原子鏈兩相鄰碳原子的間距r0為1.282×10-10m，兩原子間鍵力剛度K為642 N/m，單原子鏈長度l=(N-1)(r0+T/K)，碳原子質量為1.993×10-26kg[24]。算例中，奇數單原子鏈的原子個數分別為7，9和11，偶數單原子鏈的原子個數分別為8，10和12，研究第3個原子振動頻率。以下算例僅以單原子鏈一階模態振動為例展開分析。

碳單原子鏈納米線諧振動軸向力控制電壓量子極限隨溫度的變化圖像如圖4所示。壓電塊長度為10 nm，厚度為2 nm，壓電常數為d31=123×10-12C/N。

圖4 碳單原子鏈控制電壓量子極限值隨溫度變化圖Fig.4 Axial force control quantum limitation voltage changing with temperature

表1 原子個數為7時的非線性方程組的迭代解Tab.1 Iterative solutions to the nonlinear equation groupfor a seven-atom chain

由圖4可知，當單原子鏈納米線長度一定時，其諧振動的軸向力控制電壓量子極限隨著溫度的升高而增大，溫度越高，軸向力控制電壓量子極限值越大。當溫度一定時，單原子鏈納米線諧振動的軸向力控制電壓量子極限隨著單原子鏈長度的變小而變小，長度越小，軸向力控制電壓量子極限值越小。

圖5表示碳單原子鏈固有角頻率與軸向力控制電壓的變化關系圖，圖中單原子鏈原子個數分別為7，9，11。由圖5可知，原子的軸向力控制電壓對固有角頻率的變化作用明顯。當單原子鏈原子個數一定時，固有角頻率隨軸向力控制電壓的增大而增大。當軸向力控制電壓不變時，固有角頻率的固有值則隨原子鏈長度的縮短而增加。因此，通過改變單原子鏈納米線原子個數和軸向力控制電壓可以實現固有角頻率控制。當單原子鏈諧振器受到的激勵頻率等于納米梁固有角頻率時，諧振器會發生共振，此時激勵頻率是共振頻率。圖6表示單原子鏈一階振動模態共振頻率與軸向力控制電壓變化關系圖，圖中原子個數分別為7、9、11。共振頻率隨軸向力控制電壓的增大而增大。當軸向力控制電壓為常數時，共振頻率的數值隨原子鏈長度的縮短而增加。

圖7與圖8為碳單原子鏈固有角頻率與共振頻率與軸向力控制電壓的變化關系示意圖，單原子鏈原子個數分別為8，10與12。由圖可知，固有角頻率與共振頻率的數值則隨原子鏈長度的縮短而增加。當單原子鏈長度為常數時，其固有角頻率與共振頻率隨納米線軸向力控制電壓的增加而增加。因此，通過改變單原子鏈納米線長度和軸向力控制電壓可以改變系統固有角頻率與共振頻率。

圖5 碳單原子鏈固有角頻率與軸向力控制電壓的關系圖Fig.5 Variation of the natural angular frequency of the carbon monatomic chain changing with control voltage

圖6 碳單原子鏈共振頻率與軸向力控制電壓變化關系圖Fig.6 Variation of the resonant frequency of the carbon mo-natomic chain changing with control voltage

圖7 碳單原子鏈固有角頻率隨軸向力控制電壓變化圖Fig.7 Variation of the natural angular frequency of the carbon monatomic chain changing with control voltage

圖8 碳單原子鏈共振頻率隨軸向力控制電壓的變化圖Fig.8 Variation of the resonant frequency of the carbon monatomic chain changing with control voltage

碳原子鏈的鍵破斷強度為2.6～13.4 nN[25]，壓電對單原子鏈軸向控制力的可控范圍較大，可通過選定適當的壓電控制電壓來調諧固有角頻率值。利用單原子鏈納米線固有角頻率隨軸向張力改變的特性制造高頻諧振器，滿足納機電系統時鐘電路、調諧器等對高頻信號的需求，將極大推動諧振器技術的發展。

5 結 論

本文基于弦振動理論建立單原子鏈納米線的運動方程。通過設定恰當的軸向力控制電壓與鏈長可設計出超高頻單原子鏈諧振器。

運用迭代算法可以求出納米線原子縱向位移非線性方程組的迭代解，得到納米線橫向振動原子的縱向位置坐標值，迭代算法數值解收斂快。兩端固支單原子鏈納米線的振動具有對稱性。

通過熱占有數可以區分NEMS和QEMS，得到量子極限時的壓電控制臨界電壓。單原子鏈納米線諧振動的軸向力控制電壓量子極限值隨著溫度的升高而增大，隨著單原子鏈長度的變小而變小。改變環境溫度和單原子鏈的長度可以改變軸向力控制電壓量子極限值。

作用于單原子鏈的軸向力控制電壓能改變系統的固有角頻率。固有角頻率和共振頻率隨軸向力控制電壓的增大而增大，隨原子鏈長度的縮短而增加。通過改變單原子鏈納米線原子的軸向力控制電壓可以改變結構的振動參數。