含磁電彈夾層的壓電/壓磁聲子晶體帶隙特性研究?

孫煒海 張超群 鞠桂玲 潘晶雯

1)(陸軍裝甲兵學院車輛工程系,北京 100072)

2)(陸軍裝甲兵學院基礎部,北京 100072)

(2018年5月9日收到；2018年8月18日收到修改稿)

1 引 言

近年來,隨著人們對層狀多鐵性復合材料研究的深入,壓電/壓磁聲子晶體在實際工程技術領域發揮了越來越重要的作用.與純壓電或純壓磁結構體系相比,壓電/壓磁復合結構可以實現機械能、磁能和電能三者之間的互相轉換,同時因其具有聲子晶體的帶隙特性,成為制造諧振器元件、電場可調濾波器和磁場探針等一些高科技精密零件的理想材料[1?7].

由于壓電和壓磁材料的參數相差較大,壓電/壓磁聲子晶體在使用過程中不同材料層交界處容易出現變形損傷[8,9],可以通過在不同材料交界處插入磁電彈夾層實現材料參數之間的平滑過渡.目前,磁電彈材料通常由壓電和壓磁材料粉末混合燒結而成,具有力電磁耦合功能,磁電彈夾層的引入會較大程度上影響壓電/壓磁聲子晶體的力學、電學和磁學行為及其兩兩之間的耦合作用,從而既可能帶來一些新的科學現象與機理,也可能引起壓電/壓磁器件的性能變化.從本質上來看,壓電/壓磁層狀復合結構中電磁場方程與彈性動力學方程是耦合的,但是由于彈性波波速與電磁波波速相差超過4個數量級,因此可以忽略麥克斯韋電磁場方程中磁場與電場的耦合.在現有的研究成果中,大部分都采用了準靜態近似條件.Qian等[10]研究了SH波在周期性壓電復合材料結構中的傳播.Pang等[11]研究了SH波在壓電/壓磁層狀復合材料中傳播的帶隙特性.Lan和Wei[12]研究了梯度夾層對壓電/壓磁聲子晶體帶隙特性的影響.Liu等[13]研究了波在壓電/壓磁層狀周期結構中的傳播特性,討論了復合材料各組分材料參數的差異對帶隙特性的影響.Guo等[14]研究了初始應力對壓電/壓磁聲子晶體色散關系的影響.Zhu等[15]研究了不同界面結合條件對壓電/壓磁聲子晶體色散特性的影響.Wei等[16]研究了功能梯度層對層狀壓電/壓磁圓柱體中剪切水平波頻散關系的影響.Wang等[17?19]研究了二維壓電/壓磁與磁電彈性聲子晶體中彈性波的傳播.對含磁電彈夾層的壓電/壓磁聲子晶體開展力學分析,不僅在理論研究方面具有重要的科學價值,而且在元件設計、制造和應用等方面具有重要的工程應用價值.目前含磁電彈夾層三組元聲子晶體帶隙特性的研究較少,需要進一步深入研究.

本文主要研究了在準靜態電磁條件下,含磁電彈夾層的壓電/壓磁聲子晶體帶隙特性,用傳遞矩陣法和Bloch定理得到了聲子晶體中SH波的色散關系,通過對色散方程進行數值求解,討論磁電彈夾層的厚度、磁電彈夾層中壓電材料的體積分數和磁電彈夾層中壓電材料種類對壓電/壓磁聲子晶體帶隙中心頻率和帶隙寬度的影響.

2 理論分析

壓電、壓磁和磁電彈材料在高溫高壓條件下交替黏連成層狀周期復合結構,如圖1所示.壓電層與壓磁層厚度相同為d1,磁電彈層厚度為d2,單胞的總長為2a=d2+d1+d2+d1,層狀周期復合結構沿x3軸極化,在x1-x2坐標平面各向同性.

圖1 含磁電彈層的聲子晶體模型Fig.1.Model of phononic crystal with MEE interlayer.

磁電彈材料的本構方程為

式中σ,s,D,E,B和H依次分別表示彈性應力張量、應變張量、電位移矢量、電場矢量、磁感應矢量和磁場矢量；c,ε和μ依次分別代表彈性系數、介電系數和磁導率張量；e,q和α依次為壓電常數、壓磁常數和磁電常數張量.當等式中q=α=0和e=α=0時,分別表示壓電材料和壓磁材料中的本構方程.

位移矢量u與應變矢量s之間關系為

其中,T表示轉置,?為哈密頓算子,上標J=e,m分別表示壓電材料和壓磁材料；電場矢量E與電勢φ之間的關系為

磁場矢量H與磁勢?之間的關系為

準靜態近似條件下,忽略體力、磁荷和自由電荷的存在,不考慮麥克斯韋電磁場方程中磁場與電場的耦合,則應力矢量σ、電位移矢量D和磁感應矢量B三者滿足的平衡方程為

在考慮SH波的情況下,位移u3、電勢φ、磁勢?是自變量(x1,x2)的函數.把等式(1),(2),(3)和(4)代入到等式(5)中,得到磁電彈材料的控制方程,根據q=α=0和e=α=0的兩種情況,分別推導出壓電和壓磁材料的控制方程,利用Pang等[20]解控制方程的方法,可以得到位移u3、電勢φ、磁勢?、應力σ31、電位移D和磁感應強度B在壓電、壓磁和磁電彈材料中的表達式.

其中,上標e′和e′′分別表示壓電子層的左側和右側.

壓電子層兩側向量滿足以下關系:

其中,上標m′和m′′分別表示壓磁子層的左側和右側.

壓磁子層兩側向量滿足以下關系:

其中,上標mee′和mee′′分別表示磁電彈夾層的左側和右側.

磁電彈夾層兩側向量滿足以下關系:

由壓電子層、壓磁子層和磁電彈夾層組成的單胞左右兩側的狀態向量滿足以下關系:

其中,Tcell為總體傳遞矩陣,可以表示為

同時,根據Bloch定理可得

其中,k是Bloch波波數.把(12)式代入(14)式得

(15)式中存在非零解的條件為

3 數值計算與分析

在每一個子層中,材料視為均質,磁電彈夾層材料參數取決于層板中壓電材料和壓磁材料的體積分數.其中滿足Pmee=PeVe+PmVm,式中P為磁電彈夾層材料參數,Pe為壓電材料各項參數,Pm為壓磁材料各項參數,Ve為磁電彈夾層中壓電材料的體積分數,Vm為磁電彈夾層中壓磁材料的體積分數,其中Ve+Vm=1.雖然在壓電和壓磁材料中磁電系數α11=0,但是在磁電彈夾層材料中α11=4αmaxVeVm,其中αmax為α11的最大值,αmax=5×10?12Ns/VC.

在實際討論計算中,單胞厚度取固定值0.004 m,則a=0.002 m,壓電/壓磁聲子晶體中壓電材料為BaTiO3,壓磁材料為CoFe2O4,b為磁電彈夾層中壓電材料占總材料的體積分數.討論磁電彈夾層厚度對帶隙特性的影響時,取b=0.5,磁電彈夾層中壓電材料為BaTiO3,壓磁材料為CoFe2O4.在討論壓電材料體積比的影響時,單胞厚度保持不變,為0.004 m.磁電彈夾層中壓電材料為PZT-5A,壓磁材料為CoFe2O4,磁電彈夾層厚度d2取定值0.001 m.在討論壓電材料種類的影響時,磁電彈夾層厚度d2=0.001 m,磁電彈夾層中壓電材料占總材料的體積分數b=0.5.

表1 材料參數[21]Table 1.Material parameters[21].

當d2=0時,磁電彈夾層厚度為0,此時曲線為壓電/壓磁聲子晶體色散曲線；當d2＞0時,此時曲線表示的是三組元聲子晶體中彈性波的頻散關系.從圖2可以看出,磁電彈夾層厚度d2的改變對第一帶隙的寬度影響比較小,當d2從0增加到0.5a時,第一帶隙寬度基本保持不變,僅由0.04增加到0.07,第一帶隙中心頻率由0.522上升到0.760.而對第二帶隙和第三帶隙影響比較大:第二帶隙寬度明顯變大,由0.001增加到1.12；第三帶隙寬度略微變寬,由0.04增加到0.23；第二帶隙中心頻率由1.045上升到1.614,第三帶隙中心頻率從1.568增加到2.508.聲子晶體中彈性波的帶隙形成遵循Bragg散射機理,在增加磁電彈夾層后,改變了聲子晶體周期結構,同時因磁電彈夾層的存在,不同子層各項參數之間的差值發生改變,使得SH波在聲子晶體中傳播的帶隙特性也發生改變.隨著磁電彈夾層厚度d2的增加,帶隙寬度增加,帶隙中心頻率向高頻方向移動.

圖2 帶隙隨磁電彈夾層厚度的變化Fig.2.Band gap varying with thickness of MEE interlayer.

從圖3可以看出,隨體積分數b從0增大到1,第一帶隙寬帶隙中心頻率由1.431下降到1.023,第一帶隙寬度從0.652減小到0.358.通過圖4可以得到,當b=0時,此時磁電彈夾層全為壓磁材料,第二和第三帶隙中心頻率分別是2.614和4.163；當b=0.4時,第二和第三帶隙中心頻率分別是2.430和3.999；當b=1時,此時磁電彈夾層全為壓電材料,第二和第三帶隙中心頻率分別是2.095和3.707.在b從0增加到1的過程中,第二帶隙的寬度由0.853增加到1.053,第三帶隙的寬度基本沒變,保持在2.02左右.三個帶隙的中心頻率都隨著壓電材料所占總材料的體積分數b的增大向低頻方向移動,但各個帶隙寬度的變化不相同.通過分析計算可知,隨著體積分數b的增大,磁電彈夾層中壓電效應在增強,而壓磁效應在減弱,各組分的材料參數差異發生改變；由于Bragg散射機理的作用,聲子晶體帶隙特性也發生改變.隨著壓電體積分數的增加,帶隙中心頻率向低頻方向移動,中心頻率越高,移動越明顯,第一帶隙寬度明顯變窄,第二稍微變寬,第三帶隙基本不變.

圖3 壓電材料體積分數對第一帶隙特性的影響Fig.3.The influence of volumefraction of piezoelectric material on the first band gap characteristics.

圖4 帶隙隨壓電材料體積分數的變化Fig.4. Band gap varying with volumefraction of piezoelectric materials.

從圖5可以看出,不同的壓電材料對帶隙的中心頻率和帶隙寬度有明顯影響.由于各項材料參數的影響一直存在,需要將不同材料的帶隙中心頻率和帶隙寬度與相對應的材料參數相比較.結果發現,壓電材料彈性模量越大,聲子晶體帶隙中心頻率越高,帶隙寬度越寬.結合聲子晶體帶隙機理及帶隙特性,可以得到彈性模量比其他材料參數對帶隙變化影響更大,并且隨著帶隙所在區域頻率的升高,帶隙特性的變化越明顯.

圖5 壓電材料不同時聲子晶體的帶隙Fig.5.Band gap of phononic crystal with different types piezoelectric material.

4 結 論

本文通過構建含磁電彈夾層的一維壓電/壓磁聲子晶體模型,利用傳遞矩陣法和Bloch定理得到了模型中SH波的色散方程,并把方程的解以圖像的形式展現出來,根據圖像討論磁電彈層對壓電/壓磁聲子晶體帶隙特性的影響.結果表明,插入的磁電彈夾層可以改變壓電/壓磁聲子晶體帶隙寬度和中心頻率.當磁電彈層厚度增加時,帶隙的中心頻率上升,帶隙寬度變寬；當磁電彈夾層中壓電材料體積分數增加時,帶隙中心頻率下降,第一帶隙寬度變窄,第二帶隙寬度增加,第三帶隙寬度保持不變；當磁電彈夾層中的壓電材料種類不同時,帶隙的中心頻率和帶隙寬度有明顯的改變；磁電彈夾層對壓電/壓磁聲子晶體帶隙中心頻率的影響在高頻區比低頻區更顯著.因此,在設計聲子晶體結構時,可以通過增加不同的磁電彈夾層,在一定程度上調節帶隙的寬度和中心頻率.