基于概念圖理論的一節復習課設計與思考*
——高三復習課“解三角形綜合復習”

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(安吉縣高級中學,浙江 安吉 313300)

反思高三的復習過程，大量的課堂時間被用于教師的“教”和“灌”，學生一味地進行大量的機械式的重復訓練，缺少對問題本質的理解，缺少對問題特征的思考與總結，至于知識間的相互遷移自然更捉襟見肘.通過對問題合理的設計，幫助學生形成相關的概念圖，對于高三學生數學能力的提升大有裨益.日前，筆者接到開設一堂高三公開課的任務，課題是解三角形的章節復習課“解三角形綜合復習”.作為一堂綜合性的復習課，筆者認為，從構建解三角形概念圖的角度來設計非常合適.下面記錄本次設計的過程及帶來的一些思考供大家探討.

1 構思設計

1.1 理論基礎

概念圖最早是由美國康奈爾大學諾瓦克教授等人于20世紀60年代提出，它是一種幫助學習者建立整合、結構化的知識的教學工具.概念圖是一種頗有效的學習策略，因為它能夠將學生頭腦中現有的認知結構以一種可視化的形式清晰地呈現出來，教師可以借此了解學生對相關知識的掌握情況，從而調整自己的教學內容使學生建構學科完整的知識網絡[1].

1.2 總體思路

基于對學情的考慮，本節課筆者首先思考的是如何構建解三角形的概念圖.考慮到這一章節本身的基本概念很少，最重要的問題就是如何使用正余弦定理解三角形.因此，概念圖的構建不應該僅僅停留在知識層面，更多的應該放在思維層面上，體會解三角形問題的基本思想，注重和高中其他知識間的相互聯系，從而形成解三角形的宏觀邏輯結構.

解三角形是通過給出的邊角關系，確定剩余邊角元素的過程.而正余弦定理最基本的作用就是將邊角間的關系數量化，從而構建起一系列的方程組.這樣，接下來要做的實際上就轉變成解方程組的問題.因此方程思想是解三角形的關鍵思想，如何構建起可解的方程組是學生學習過程中面臨的核心問題.如果已知的方程個數比未知的邊角元素個數少，這樣就變成了不確定的三角形.

如果三角形不確定，那么我們常常研究最值范圍問題，其中函數、不等式等知識就發揮重要的作用了.另一方面，三角形本身作為一個幾何圖形，有時從平面幾何的角度考慮也是一個重要途徑，數形結合的思想就顯得非常重要.除此之外，高中階段平面向量作為研究平面幾何的一個重要工具，坐標法作為解析幾何的一個基本方法，有時也為解三角形問題另辟蹊徑.

圖1

綜上所述，筆者從思維層面構建了如圖1所示的概念圖.如何構建起這幅圖，成為本節課設計的核心.考慮到一節課時間有限，筆者希望以一道題目作為背景，通過條件的變更，逐步滲透涉及到的思想方法.

2 過程實錄

2.1 理解定理

問題引入在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知下列條件，分別求解三角形：

6)A=75°,B=45°，C=60°,這個三角形能確定嗎？

設計意圖通過簡單的幾個解三角形小題，與初中所學的全等三角形聯系起來，起點低，方便學生入手，而且揭示出兩個定理的重要作用：將三角形中定性的結果轉化成定量的關系.同時也為接下來方程思想的體現作好準備.

2.2 應用深化

師：當條件中邊角混合時，我們的基本思路就是利用正弦、余弦定理將邊角統一.

生1：不確定，有兩個.根據余弦定理可以得到

c2=a2+b2-2abcosC，

或者

圖2

生(齊)：橢圓.

設計意圖通過一個問題再次讓學生體會解三角形中的數形結合思想.

問題2在問題1的條件下，求S△ABC.

問題3在問題1的條件下，求邊AB上的高h.

問題4如圖3，在問題1的條件下，求邊AB上的中線CD的長.

生4：剛才已經求出了a，b，只要再解出cosA，就可以在△ABC中解出CD，但是我還沒算好.

師：這位同學的思路很好，還是想通過解方程(組)的想法來求解，但這種辦法計算量有點大.有沒有更簡單一點的算法？三角形的中線在向量中有一種比較簡潔的表示方法是怎樣的？

生5：因為

所以

師：該解法的計算簡便了許多，同時我們要注意平面向量是研究平面幾何的重要工具.

設計意圖通過方程法和向量法的比較,讓學生體會到平面向量這一工具在平面幾何問題中的威力，構建預先設計的概念圖.

圖3 圖4

生6：設AC=x，CD=BD=y，在△ABC和△ADC中分別使用余弦定理得到

設計意圖問題2～5均為“定三角形”的問題，基本思想是方程思想.設計時有意回避了解三角形過程中復雜的三角恒等變換，主要是考慮不要讓運算沖淡了概念圖的邏輯構建.

生7：由之前得到的c2=a2+b2-2abcosC可以發現a，b的解不唯一了，因此三角形不能確定.

師：還能從幾何的角度解釋一下嗎？大家可以先思考一下，若將點A，B固定，則點C的軌跡是什么？

圖5

問題7在問題6的條件下，求S△ABC的最大值.

生9：顯然當點C運動到AB的中垂線上時，S△ABC最大，容易求出

設計意圖再次讓學生體會解三角形中的數形結合思想,并且通過減少一個條件，問題向“動三角形”轉變.

問題8在問題6的條件下，求△ABC周長的最大值.

生10：我是利用基本不等式做的，由

可得a+b≤6,故周長的最大值為9.

師：很好！還有沒有別的思路？

師：剛才兩位同學分別從不等式、函數這兩個角度作答，這是我們處理最值問題的常用思路.不過生10的解法更簡潔一些.

問題9在問題6的條件下，求2a-b的取值范圍.

生12：類似于生11的思路，可知

故2a-b的取值范圍是(-3,6).

設計意圖進一步完善概念圖的構建，“動三角形”問題中最常見的就是最值、范圍問題.通過比較讓學生體會不等式和函數各自的優勢所在：不等式運算相對簡潔，但函數的適用范圍更廣，且處理范圍問題時更加精確.

思路1易知

c2=a2+b2-2abcosC=b2-3b+9,

(1)

(2)

將式(1)代入式(2)，得

下同思路1.

圖6 圖7

設計意圖此題入手較寬，可以從余弦定理、向量、坐標運算等多角度切入，但核心思路都是劃歸為某個變量的函數處理.本題既強化了處理最值、范圍問題時的函數思想，又體現了坐標法在平面幾何中的應用，至此全部完成預設概念圖的構建.

2.3 課后探究

師：這個問題留給大家課后自行探究.

設計意圖此題呼應問題1，在確定點C的軌跡是一個橢圓后，運用坐標法將問題轉化為關于點C坐標的函數問題.此題思維跨度大，對學生的綜合運用能力提出了較高的要求.

2.4 小結升華

師：最后用幾句話總結一下本節課的內容——求解三角形問題，數形結合好載體；邊角關系量化計，正弦余弦兩定理；最值定值常見型，函數方程不等式；代數運算遇瓶頸，幾何圖形辟蹊徑；平面向量好工具，坐標思想莫忘記；上述關系若清明，解三角形何所懼.

3 課后反思

3.1 構建時機是關鍵

概念圖應該建立在學生已獲得相關概念的前提下，教師所要完成的任務就是幫助學生勾畫出概念之間的相互聯系.如果學生連基本概念都未建立，那么他們建立概念圖是不符合認知規律的.因此，概念圖教學用于復習課是合適的.

本節課的定位應當是在高三學生已經復習完解三角形整章內容之后進行.首先，他們需要熟悉正弦、余弦定理的基本使用，能解決三角形面積等問題；其次，函數、不等式、平面向量、解析幾何這些內容也都在高一、高二打下了基礎；最后才是本節課的目標：幫助學生整合解三角形的基本思路，幫助他們在具體情境下實現合理方法的選取.在這個時機采用概念圖教學才是契合學生認知水平的.但是在教學過程中依然暴露出一個問題，授課面對的學生程度并非如預先估計得那樣好，因此，在需要運用平面向量、解析幾何這些與三角形關聯不大的知識時，學生不能很快地聯想到.而事先，筆者在自己所任教學校取得的課堂效果相對較好，這也再次說明，基礎概念的熟悉程度對概念圖教學的效果還是有較大影響的.

當然，除了在章末借助概念圖進行復習課教學外，在前面具體每一小節的復習課過程中也可以進行.比如，在復習正余弦定理時，可以從正弦、余弦定理為中心發散：回顧兩個定理的獲得、證明、應用過程；具體在何種邊角數量關系情境中使用哪個定理更合理；涉及到平面幾何的哪些知識，合理借助平面向量工具等等.然后，在解決三角形面積問題時也作類似的嘗試，再通過本堂課將前面的圖譜聯系起來，就可以使學生獲得解三角形這一章更為豐富的概念圖.

3.2 學生活動是保障

一般來說，概念圖教學培養的是學生對概念的分析、比較、理解和相互關聯的能力.但是，這些能力的培養不在于對概念圖形本身的死記硬背，而在于構圖過程中的思考.只有經過思考的概念圖，才是有意義的.

本堂課不是采取一上來就給出概念圖讓學生通過問題一一體會其中的聯系，而是借助問題的呈現逐漸在學生腦中描繪出一幅解三角形的思維圖.因此，在整節課的教學過程中，教師應充分尊重學生的主體地位，把課堂交給學生，從頭至尾教師預設的問題采用“點面結合”的問答方式，既有全班回答也有個人展示，教師只在關鍵處進行適當小結及學生遇到困難時適當點撥.不過，也正是由于學生活動時間較多以及學生程度不及預期，導致只到問題7便匆匆下課，后面的內容未能完成，概念圖的構建也不完整.因此，可以根據學生程度，考慮從“定三角形”和“動三角形”兩個方面將本節內容拆分為兩個課時進行，以保證達到預期概念圖的完整構建.若是將本課拆分為兩個課時，內容活動設計可以再豐富一些，如教師可以在問題鏈的基礎上設置一些探索性、開放性問題，將學生分成若干小組合作討論，甚至可以嘗試讓學生之間相互編題、解答.

3.3 意義學習是目的

概念圖是由諾瓦克教授根據奧蘇貝爾的概念同化理論而開發的認知工具，它是為了解決“在教學過程中學生能夠按步驟完成相應的任務，但是不能給出合理的原因”這一問題，從而將機械學習轉化為有意義學習[1].所謂有意義學習，是指學習者通過將所學的新知識與頭腦中已有的舊知識之間產生聯系從而掌握新知識的學習方式.

在高三日常的教學活動中，廣大教師想必同筆者一樣，總是會遇到這樣一些情況：平時對學生反復講解的一類問題，在考試中遇到同樣的問題時學生還是不知所措；對舊問題稍加改編，學生就變得一頭霧水……出現這些問題的原因正是因為學生僅僅停留在了模仿照抄、機械學習的層面上，而缺少新認知與已有認知間的聯系.

基于這一點考慮，本堂課設計之初考慮盡量簡化題目的背景條件，以避免學生受到無關信息的干擾.每個條件的變化盡量“小步走”，以期減少學生在不同背景切換中消耗不必要的精力，力求突出方法選擇時的思考.從“定三角形”問題設計(問題2～5)，到“動三角形”問題設計(問題6～10)，難度螺旋上升，思維從常規方程思想、函數思想遷移到平面向量、解析法等其他相關內容，建立新舊知識間的聯系，最終達到有意義學習的目的.