動態幾何 以靜制動 克難致勝*
——例說立體幾何“動態”題型解題策略

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(三門第二高級中學,浙江 三門 317100)

“動態”充滿著神奇，孕育著創造．動態問題滲透著運動變化的觀點，是立體幾何的一大難點，又是高考的一大亮點；這類題涉及的知識點多，覆蓋廣面，滲透著主要的數學思想方法，能全方位地考查學生的基礎知識、基本能力、數學素養、數學發展潛能等．學生在解決這類問題時，總存在著一定的心理困惑或思維障礙.解決好立體幾何的“動態”題型，不僅可以提高學生分析和解決問題的能力，而且可以提高學生的數學應用能力和綜合解題能力.

所謂“動態”立體幾何題,是指在點、線、面運動變化的幾何圖形中，探尋點、線、面的位置關系或進行有關角與距離的計算.由于這類題情景新穎、解法靈活、極富有思考性和挑戰性，能更好地考查學生的空間想象能力和思維能力,因此成了高考的熱點內容之一.我們知道,動與靜是矛盾的兩個方面,動中有靜,靜中有動.

立體幾何中的“動態”問題就變化起因而言大致可分為兩類：一是平移；二是旋轉.就所求變量而言可分為3類：一是相關線、面、體的測度；二是角度；三是距離.立體幾何動態問題的解決需要較高的空間想象能力與化歸處理能力，在各省市的高考選擇題與填空題中也時有出現.在解“動態”立體幾何題時,如果我們能努力探尋運動過程中“靜”的一面，動中求靜，往往能以靜制動、克難致勝.下面是筆者對破解立體幾何動態問題的一些思考，以期拋磚引玉.

1 去掉枝蔓見本質——大道至簡

在解決立體幾何中的“動態”問題時，需從復雜的圖形中分化出最簡單的具有實質性意義的點、線、面，讓幾何圖形的實質“形銷骨立”，即從混沌中找出秩序，是解決“動態”問題的關鍵.

圖1

例1如圖1，直線l⊥平面α，垂足為O.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2.點A是直線l上的動點，點B1在平面α內，則點O到線段CD1中點P的距離的最大值為______.

分析從圖形分化出4個點O，A，B1，P，其中△AOB1為直角三角形，固定AOB1，點P的軌跡是在與AB1垂直的平面上且以AB1的中點Q為圓心的圓，從而

當且僅當OQ⊥AB1，且點O，Q，P共線時取到等號，此時直線AB1與平面α成45°角.

2 極端位置巧分析——窮妙極巧

在解決立體幾何中的“動態”問題時，對于移動問題，由圖形變化的連續性，窮盡極端特殊之要害，往往能直取答案.

例2在正四面體A-BCD中，E為棱BC的中點，F為直線BD上的動點，則面AEF與面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍是______.

分析本例可用極端位置法來加以分析.

先尋找垂直：記O為△ACD的中心，G為OC的中點，則BO⊥面ACD，EG⊥面ACD.如圖2，過點A，E，G的平面交直線BD于點F.此時，面AEF與面ACD所成二面角的正弦值為1.

圖2 圖3

3 用法向量定平面——定海神針

在解決立體幾何中的“動態”問題時，有關角度計算問題，用法向量定平面，可將線面角或面面角轉化為線線角.

圖4

4 鎖定垂面破翻折——獨擋一面

在解決立體幾何中的“動態”問題時，對于翻折或投影問題，若能抓住相關線或面的垂面，化空間為平面，則容易找到問題的核心.

例4如圖5，在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，BC=2，M為BC的中點，N為AC的中點，D為線段BM上一個動點(異于兩端點)，△ABD沿AD翻折至B1D⊥DC，點A在面B1CD上的投影為點O，當點D在線段BM上運動時，以下說法錯誤的是

( )

A.線段NO為定長

C.∠AMO+∠B1DA>180°

D.點O的軌跡是圓弧

圖5 圖6

∠B1DB2<180°-∠B1DA，

得

∠B1DK>∠B1DA，

于是

∠AMO+∠B1DA<180°.

故選C.

5 覓得定值明軌跡——動中有靜

在解決立體幾何中的“動態”問題時，探尋變化過程中的不變關系，是解決動態問題的常用手段.

例5如圖7，已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是⊙O上的兩個點，H是點B在AC上的射影，當點C運動時，點H運動的軌跡是

( )

A.圓 B.橢圓

C.拋物線 D.不是平面圖形

圖7 圖8

分析如圖8，設⊙O的半徑為r，取BC的中點M，則

OM⊥BC，MH=MC.

因為AB⊥面BCD，所以BC是AC在面BCD上的射影，從而OM⊥面ABC，得OM⊥MH，于是

OH2=MO2+MH2=MO2+MC2=r2，

即OH=r，亦即動點H在以O為球心、r為半徑的球面上.又因為BH⊥AD，B為定點，所以動點H又在過點B且垂直于直線AD的定平面上,故點H運動的軌跡是圓.

6 構建函數求最值——以數解形

在解決立體幾何中的“動態”問題時，對于一些很難把握運動模型(規律)的求值問題，可以通過構建某個變量的函數，以數解形.

圖9

例6如圖9，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外一點P和線段AC上一點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體P-BCD的體積的最大值是______.

(2016年浙江省數學高考理科試題第14題)

分析設M，N分別為AC，AP的中點，因為BA=BP=BC，PD=DA,所以點B在平面PAC上的射影為△PAC的外心O，且點O在直線ND上.又因為AB=BC=2，∠ABC=120°，所以

當且僅當點M與點D重合時取到等號.因此，四面體P-BCD的體積為

此時點O，M，D重合,即點D為AC的中點，且平面PBD與平面ABC垂直相交于BD.

總之，解立體幾何動態問題的過程實質是數學建模的過程，是創新的過程．方程、函數和圖形變換是基礎，因此夯實基礎是解決此類問題的關鍵．化整為零的思想、轉化思想、數形結合思想、函數思想、分類討論思想等是解決立體幾何動態問題的最佳策略．真正破解動態立體幾何問題，需要整體把握動態變化過程，更需要深厚的空間想象之內功．如果說招式是術，那么內功就是修行，即不斷積累知識與技巧、經驗與經歷．所謂模式就是在特定環境下人們解決某類重復出現問題的一套成功或有效的解決方案．在平時教師要引導學生作適當的變化和拓展訓練，開闊視野，培養動態思維，鍛煉數學思想，積累解題經驗，提高應變能力，創造性地使用所學知識，如此才能從容應對新的動態問題．