改進型雙頻相關的整周模糊度單歷元解算算法

權 源，趙修斌，龐春雷，張 豪，王 勇，伍劭實

(1.空軍工程大學 信息與導航學院，陜西 西安 710077;2. 空軍通信士官學校，遼寧 大連 116000)

隨著全球衛星導航系統載波差分定位測向技術的不斷發展，其在各個領域的作用愈加不可或缺[1]，如飛機精密編隊飛行、飛行器空間交互對接、無人機進近著陸等，并且越來越多的領域對該技術的快速性、可靠性指標要求日益苛刻．由于載波差分算法的核心便是解算全球定位系統載波相位測量值中的未知量——整周模糊度，因而如何快速、可靠地解算整周模糊度成為載波差分定位測向技術的熱點與難點[2]．

目前，常用的模糊度解算方法有模糊度函數法[3]、最小二乘搜索法[4]、LAMBDA算法[5]等，但該類算法需要較多歷元數據方能實現整周模糊度的固定過程．于是國內外學者們嘗試對其改進完善，如采用慣性器件輔助[6-7]、基線長度約束[8]等手段，通過壓縮模糊度搜索空間，從而實現較短歷元甚至單歷元固定整周模糊度．也有學者提出根據載波相位測量值間的內在關系[9-11]，通過剔除大多數錯誤解以增大搜索空間稀疏度，從而實現整周模糊度的快速解算．

雙頻相關法(DUal Frequency COorrelation Method， DUFCOM)[9]便是一種利用不同頻率載波相位測量值之間的相關特性以壓縮模糊度搜索空間的算法．它以各頻率衛星位置與接收機位置間的幾何距離相等為依據，結合雙頻載波相位測量值之間的相互關系，構造了一個以L2整周模糊度為橫軸、L1整周模糊度為縱軸的觀測域雙頻整周模糊度誤差帶．該誤差帶以偽距解得的L2整周模糊度范圍作為誤差帶帶長，僅保留誤差項落在誤差帶內的L1整周模糊度備選值，從而完成模糊度備選空間的篩選過程．

但基于偽距解算誤差帶帶長的方式會導致兩類情況發生: 一是由于偽距精度設置過低造成誤差帶帶長區間較大，使得同樣帶寬寬度的模糊度備選值較多，造成誤差帶篩選效率降低; 另一類則是由于精度設置過高，導致正確模糊度備選值遺漏．但該算法僅考慮了L1、L2頻率上的載波相位測量值，未考慮不同載波相位測量值間的線性組合方式[12]對雙頻相關法的影響．故筆者首先利用基線長度與觀測向量信息構造雙差幾何相關模型，以定量解算誤差帶帶長，由于該方式利用到更多的已知信息，使得帶長長度小于原算法，進而提高了誤差帶篩選效率; 然后分析了模糊度搜索空間稀疏性、載波相位波長、誤差帶帶長、誤差帶帶寬之間的相互關系；最后通過構造寬巷整周模糊度與L1整周模糊度之間的雙頻誤差帶，既實現了對原雙頻相關法的擴展，又進一步壓縮了帶長長度，增強了模糊度搜索空間稀疏性．

1 原雙頻相關法

1.1 雙頻整周模糊度誤差帶

由雙差載波相位方程可知[13]:

λ(φij-Nij)=G·b+Δεφij,

(1)

其中，λ為載波波長，φij為載波相位測量值，Nij為雙差整周模糊度，G為接收機與衛星之間構成的視線向量矩陣，b為基線矢量，Δεφij為雙差載波相位誤差項．

由式(1)結合各頻率衛星與接收機間構成的幾何距離相等這一條件，推得

λ1(-)-λ2(-)=

式(2)中各字母下角標數字分別代表頻率L1、頻率L2．

令u= (λ1，將其代入式(2)，可以得到

(3)

1.2 誤差帶帶長

聯立雙差載波相位方程式與雙差偽距觀測方程式[13]，可知

λ(φij-Nij)=ρij+Δεφij+Δερij≈ρij+Δερij,

(4)

其中，ρij為雙差偽距測量值，Δερij為雙差偽距測量值誤差項．由于雙差載波相位誤差遠小于雙差偽距誤差，故忽略不計[14]．

(5)

1.3 誤差帶帶寬

對誤差項u=(進行分析．假設L1、L2頻率以周為單位的載波相位測量值精度相同，設其均方差分別為δφ1、δφ2，且由誤差傳播公式推知利用方差性質推得誤差項u的均方差為 (4/+ 4/)1/2．若取u的3倍均方差作為上下限，則式(5)以概率99.7%使得下式成立:

(6)

2 改進雙頻相關法

2.1 基于雙差幾何相關模型解算誤差帶帶長

(7)

圖2 雙差幾何相關模型解算誤差帶帶長示意圖

(8)

(9)

根據雙差載波相位觀測方程，得

(10)

(11)

(12)

2.2 波長與搜索空間稀疏性的關系

未使用雙頻相關法篩選前，單個維度的L1整周模糊度是一組連續的整數變量．經過誤差帶篩選后的單維整周模糊度由連續變得離散，于是整個模糊度搜索空間由緊密變得稀疏．假設已知一組整周模糊度真值，將其帶入式(1)，可得到

(13)

(14)

ΔL-λK→0 ,

(15)

其中，λ為載波波長，K與ΔL同維．λ越小，該式越容易成立，即符合某一精度標準的模糊度組合越多；λ越大，符合條件的組合數量越少．而λ與由于搜索空間稀疏性造成模糊度空間縮小的性質類似，即搜索空間稀疏性越強，候選模糊度對應的次優解殘差越大，對應的比值也更易通過統計檢驗．

由式(7)和式(12)可知，誤差帶帶長與載波波長有著直接的關系，即載波波長越長，誤差帶帶長越短，在同樣寬度的帶寬情形下，誤差帶篩選效率越高．即使帶寬寬度有所增長，只要滿足由于帶長縮短帶來的增益大于帶寬增加造成的損失，整體篩選性能便有所提升．下面以波長較長的寬巷載波進行分析說明．

2.3 基于寬巷組合拓展雙頻相關法

假設寬巷組合的載波波長為λw，寬巷整周模糊度為Nw，將式(2)改寫為

(16)

令uw=(將其代入上式，可得

(17)

該數學模型以寬巷模糊度作為誤差帶橫軸，以L1整周模糊度作為誤差帶縱軸．下面分別從帶長、帶寬兩方面對拓展算法進行分析．

(1) 若采用寬巷偽距測量值解算誤差帶帶長，則其誤差項為假設L1和L2頻率的偽距測量值精度相等，且均服從N(0，)分布，可推知寬巷雙差偽距測量值誤差服從N(0，8)分布，從而確定誤差帶帶長處于以下范圍:

(18)

(3) 對帶寬而言，先將誤差項改寫為uw=(由上文已知結合方差性質推得誤差項uw的均方差為 (8/+ 4/)1/2．若取uw的3倍均方差作為限差，則式(17)以概率99.7%使得下式成立:

(19)

由上式可知，寬巷組合對應的帶寬相對于原帶寬僅增加 (1.5)1/2倍．為了驗證采用寬巷組合方式有利于整體上提高誤差帶的篩選效率，假設原雙頻相關法的誤差帶帶長長度為5，帶寬為1(此時誤差帶篩選效率為0)，由式(3)和式(17)得知誤差帶坐標系橫縱坐標數值之間存在一對一的映射關系，則L1整周模糊度的有效個數為5．同時由式(18)和式(19)可知，采用寬巷組合后的誤差帶帶長長度約為2，帶寬約為1.22(效果等同于帶寬為1的情形)，此時L1整周模糊度的有效個數為2．可見，采用寬巷組合方式可以提升算法的整體篩選效率．

3 實驗結果及分析

3.1 實驗環境

選取學院操場作為本次試驗的場地．首先將兩個NovAtel型號GPS-703-GGG天線分別固定在長度為 1.9 m 的基線兩端，然后將兩臺NovAtel型號OEM628接收機板卡與天線互連．接收機采集頻率設為 1 Hz．本次試驗分多次采集，每次采集 20 min 左右的歷元數據．計算機的處理器為Intel Core i5-4590，主頻為 3.3 GHz．原始數據處理平臺為Matlab 2013b．試驗前半段時間基線處于靜止狀態，后半段時間開始繞操場運動．以某次試驗為例，設衛星截止角為20°，此時可視衛星數量為6顆，同時以仰角最高的31#衛星作為基準星，從而構成5組衛星對：(31，32)，(31，14)，(31，25)，(31，3)，(31，16)．將經過LAMBDA算法過長時間解算得到的整周模糊度視作模糊度真值．

為分析筆者提出算法的性能，設方案1為原雙頻相關法，方案2為僅采用雙差幾何相關模型的改進算法，方案3為在方案2基礎上采用寬巷組合方式的改進算法．

3.2 實驗步驟

首先，設本次試驗L2頻率的偽距測量值精度為 1.5 m．根據3δ準則，模糊度初始值的上下限各為25周，總帶長即為51周．圖3為方案1解得的3組雙差整周模糊度初始值與真實值之間的距離．由于上下限各為25周，而圖3中最大距離在15周以內．可見設定的誤差帶帶長可將正確整周模糊度包含在內，但該方案存在誤差帶帶長過長的弊端．

圖3 方案1解得的模糊度初始值與真值間距離示意圖 圖4 各方案解得的誤差帶上下限與模糊度真值間距離示意圖

然后，以(31，32)衛星組合為例，比較各方案解得的帶長區間長度．由于方案3的誤差帶橫軸由寬巷整周模糊度組成，而方案1、方案2為L1整周模糊度，故對各方案進行單位化處理以同時比較3個方案帶長區間長度的差異，即將各方案解得的帶長上下限減去對應的整周模糊度真值．若“0”包含在新的“限差”內，則表明原誤差帶帶長包含整周模糊度真值，如圖4所示．可見3個方案解得的誤差帶帶長均包含模糊度真值，且誤差帶帶長效果依次為方案3>方案2>方案1，方案2、方案3較方案1的帶長長度分別縮小74.3%，90.63%．

由式(6)和式(20)可知，3種方案的誤差帶帶寬近似相等．理論上當帶寬相等時，帶長越短，算法篩選效率越高．對(31，32)衛星組合解得的誤差帶帶長代入誤差帶進行篩選，結果如圖5所示，備選模糊度數量由小到大依次為方案3<方案2<方案1，方案2、方案3較方案1的備選模糊度數量分別減少71.34%，87.15%．

圖5 各方案經誤差帶篩選后的備選模糊度數量示意圖圖6 各方案在不同歷元解得的比值示意圖

接下來，將各方案解得的備選模糊度代入雙差載波相位方程，并利用比值檢驗法對其進行固定．由于部分歷元之間的比值相差大至3個量級，為反映所有歷元的比值解算情況，故將全體比值對數化．同時假設：如果模糊度固定時僅剩一組候選模糊度，定義其比值取最大，同時將對數化的比值設為R，如圖6所示．

由圖6可知，R值整體上從大到小依次為方案3>方案2=方案1．這是由于方案2經過誤差帶篩選后的備選模糊度空間是方案1的子集，由于解得的次優解一致，故兩方案的R值在本次試驗中相等．而方案3較方案1、方案2篩選后的模糊度搜索空間大大減小，可能存在某個歷元的某一維度候選模糊度僅保留了正確值左側值或右側值，剔除了方案1、2中的次優解，導致R值增大．以第494歷元時Ratio檢驗過程為例，結果如表1所示．

表1 第494歷元各方案的候選模糊度集合統計結果

表1是3個方案在第494歷元固定模糊度時的候選模糊度集合．方案1、方案2包含第1～8組模糊度，方案3僅包含第1、8組模糊度，故方案1和方案2的次優解為第2組，其 lbR值為1.36；方案3的次優解為第8組模糊度，其 lbR值為4.372．可見，對該算法而言，載波波長越長，空間稀疏性則越強，使得R值更易通過統計檢驗．

最后，對比本次試驗各方案的性能，結果如表2所示．

表2 各方案性能對比統計結果

由表2可知，筆者所提算法誤差帶平均帶長、誤差帶篩選后的平均備選模糊度數量較原算法大大減少，從而使得改進算法的成功率及解算效率得到提升．

4 結 論

筆者對雙頻相關法進行研究，首先采用載波相位測量值代替原算法的偽距觀測量，實現了定量解算誤差帶帶長；然后根據波長與搜索空間稀疏性之間的關系，構造了寬巷整周模糊度與L1整周模糊度誤差帶．試驗結果表明:

(1) 采用載波相位測量值解算誤差帶帶長，可以避免采用偽距精度中誤差的3δ準則對帶長長度進行估計，使得誤差帶帶長上下限的解算結果更接近真實值，有利于壓縮模糊度搜索空間．

(2) 構造寬巷整周模糊度與L1整周模糊度間的誤差帶，一方面可以進一步壓縮模糊度搜索空間，另一方面使得比值更易通過統計檢驗，提高模糊度解算的成功率與可靠性．

同時可知，改進后的雙頻相關法雖然可以有效定量、準確地解算誤差帶帶長區間，但在誤差帶帶寬確定環節仍然采用經驗取值的方式進行估計．因此，下一步需要對影響誤差帶帶寬大小的不同因素進行分析，以定量解算各顆衛星對應的誤差帶帶寬，進一步提高誤差帶的篩選效率．