泛Kriging法在海上短波通信頻率預測中的應用

(海軍大連艦艇學院 信息系統系,遼寧 大連116018)

1 引 言

短波通信在艦岸通信、艦空通信、艦艇編隊通信等方面具有重要意義。2017年9月，在美國空軍授意下，柯林斯公司成功演示了8 000 km新短波通信系統，旨在支持衛星通信盲區的作戰通信?，F代技術的進步推動著短波通信快速建鏈[1]、大容量數據傳輸的發展，但頻率預測及選擇問題一直制約著短波遠程通信質量的提升。由短波信道模型發展建立的中長期預報軟件實現了復雜鏈路的程序化[2]，但輸入參數條件苛刻，適用范圍受限，嚴重影響其在海上通信中的應用效果?；谀：〔?、神經網絡、混沌理論等現代算法的預測方法雖提升了預測精度，但工程實現的難度較大[3]。因此，頻率預測仍是短波通信中急需解決的關鍵問題。目前，已有研究人員將普通克里格法(Ordinary Kriging Algorithm)應用于短波通信可用頻率插值中，但該方法的應用前提是電離層處于平穩狀態[4]?？紤]到電離層變化的連續性及等離子體、不均勻體的漂移特性[5-6]。本文將泛克里格法(Universal Kriging Algorithm)引入海上短波通信頻率預測中。泛克里格方法基于數據的變化趨勢，給出變化方向上的漂移方程，利用樣本數據反映的空間結構信息，可在空間相關變程內對區域化變量進行無偏最優估計。本文利用艦艇海上活動中的通信頻率數據，對基于泛克里格法的海上短波通信頻率預測方法的可行性進行驗證，研究通信頻率沿水平方向的變化特性和變異函數理論模型的應用選擇，給出具體的方法步驟和預測過程。

2 泛克里格法和變異函數

克里格法屬于地質統計學范疇，起初被應用于地質礦石的研究中，隨研究目的和研究條件的變化派生出多種形式，逐步應用于地質污染、降水分析、氣溫預報等多方面的研究[7-9]。由于電離層沿水平方向存在漂移，且區域化變量在實際應用中很難滿足二階平穩假設，因此選用適于通信環境的線性泛克里格方法對頻率的變化特征進行描述。

2.1 泛克里格法

假設空間位置x上的區域化變量Z(x)在研究范圍內是非平穩的，即Z(x)的數學期望是一個函數，表示為E[Z(x)]=f(x)。該函數被定義為Z(x)的漂移函數，描述了區域化變量隨主導因素的變化情況，通常采用多項式的表達形式：

式中：fi(x)是與空間位置相關的已知函數，ai為未知參數。取n個空間點xi(i=1,2,…,n)，可得對應的Z(xi)，應用線性泛克里格法對樣本區域內任意一點上的區域化變量進行估計，重構結果Z*(x)如式(1)所示：

(1)

在無偏最優估計條件下求解系數λi(i=1,2,…,n)，代入式(1)，可得估計值Z*(x)。

2.2 理論變異函數

變異函數γ(h)描述了樣本數據的空間結構特征，記作點x和x+h處區域化變量Z(x)和Z(x+h)差的方差的一半，具體表達式為

(2)

式中：滯后距h為向量。

由于樣本數據有限，通常在定量的描述區域特征時，需根據實測數據下離散的實驗變異函數值構建理論變異函數模型即滯后距h與變異函數γ(h)的關系模型，表達區域變量的空間相關性。具體的求解步驟如下：

Step1 計算樣本點間的滯后距h：

(3)

式中：Long(A)、Lat(A)分別表示估值點A處的經度和緯度;φ是電離層距離轉化比例系數，一般取0.8～4[4]。

Step2 計算實驗變異函數γ*(h)，如公式(4)所示：

(4)

式中：N是樣本點間滯后距為h的點對數。

Step3 利用最小二乘法、加權回歸法或遺傳算法等方法對實驗變異函數進行擬合，獲得變異函數γ(h)與滯后距h的關系曲線。

3 泛克里格法在海上短波通信頻率預測中的應用

3.1 數據來源及方法應用

在艦船參與海上活動的過程中，頻率管理系統保存了大量實用短波通信頻率數據。為避免電離層結構受晝夜更替、季節變化等因素的影響，綜合數據量的要求，提高預測精度，選取太陽活動低年的夏季上午9～11時，艦船與同一地面固定臺站間的通信頻率，對理論變異函數模型進行構建。該頻率通過了鏈路質量分析篩選，接收端的信號強度較好，傳輸時延較低，具有良好的通信質量和傳輸效果。通過隨機選取的實測最高可用頻率，驗證基于泛克里格法的海上短波通信頻率預測方法的有效性。預測方法應用的具體流程如圖1所示。

圖1 短波通信頻率預測流程圖Fig.1 Flow chart of shortwave communication frequency prediction

對應的步驟如下：

Step1 輸入未知點坐標信息，在空間相關變程內搜索與預測時間點相近的鄰域點,作為參與頻率預測的待用點。

Step2 基于大量實測數據由2.2節的算法步驟構建理論變異函數模型。依式(3)計算未知點與鄰域點和鄰域點間的滯后距，并計算各滯后距對應的理論變異函數值，應用泛克里格法對未知點的通信頻率進行重構。

Step3 驗證預測頻率的有效性和可靠性，若通信質量較好，輸出結果并記錄于數據庫中，更新理論變異函數模型；若通信質量較差，重新搜索鄰域點直至輸出良好的通信頻率。

3.2 變異函數擬合

由式(3)和式(4)計算實驗數據下的(h,γ*(h))值，距離間隔設為2 km。選用有基臺值的理論模型即球狀模型、指數模型和高斯模型，應用最小二乘法，對離散數據(h,γ*(h))進行曲線擬合。塊金值、基臺值和變程是描述變異函數曲線的重要指標，分別描述了區域化變量的隨機性、變化幅度和空間相關尺度。各模型的線性表達及塊金值、變程、基臺值的求解方法均記錄在表1中。

表1 基于最小二乘法的理論模型表達及參數求解Tab.1 Expression of theoretical models and parameter solving based on least squares

(1)球狀模型

球狀模型的表達式為

(2)指數模型

指數模型的表達式為

(3)高斯模型

高斯模型的表達式為

各模型擬合曲線如圖2所示，可觀察到隨著滯后距的增加，變異函數呈現單調遞增趨勢。這一現象表明，在與地面固定臺站建立短波通信的過程中，當海上移動臺站間的距離變遠時，短波通信頻率的相關性變弱；當海上移動臺站間的距離變近時，短波通信頻率的相關性變強。表2詳細列出了各模型下參數計算值。

(a)球狀模型擬合

(b)指數模型擬合

(c)高斯模型擬合圖2 各模型擬合曲線Fig.2 Fitting curve of each model

表2 各模型對應參數Tab.2 Corresponding parameters of each model

3.3 泛克里格預測及精度對比

隨機選取5個移動通信位置點(記作A點～E點)，其相對位置如圖3所示。記錄各點與同一固定臺站進行短波通信時的最高可用頻率，作為區域化變量Z(x)，如表3所示。假設任意一點為未知點，基于泛克里格方法，利用已知鄰域點的通信頻率數據，估計未知點的短波通信最高可用頻率并計算出相對誤差。下面以A點為例，對其最高可用頻率進行估計，并依照此方法對其余各點進行交叉驗證。

圖3 A～E點相對位置圖Fig.3 Relative position of point A～E

表3 各點實測短波最高可用頻率Tab.3 The highest available frequency of measured shortwave at each point

由公式(3)計算已知的鄰域點與未知點及鄰域點之間的滯后距，并依次代入各變異函數模型，得到對應的理論變異函數值，其中電離層距離轉化比例系數取φ=2。表4是球狀模型下以A點為未知點的(h,γ(h))值。

表4 上三角是滯后距下三角是理論變異函數值Tab.4 The upper triangle is h and the lower triangle is γ(h)

泛克里格矩陣可寫為

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Z*(x0)=ZA-1B。

(5)

式中：

(6)

(7)

(8)

n為鄰域點個數。

由于電離層等離子體在水平方向上存在漂移，且不均勻體的漂移速度沿傳播方向線性增加[5-6]，因此，采用沿緯度方向的線性漂移形式，其表達式為f(x)=a0+a1x，x表示緯度。將n=4代入式(6)～(8)，同時代入理論變異函數值及B點～E點經、緯度，求得A點處的短波最高可用通信頻率預測值Z*(x0)為

Z*(x0)=Z(A-1B)=9.750 5。

重構得到的頻率值與實際頻率值間的相對誤差σ*(%)為

(9)

代入A點實測值和預測值，求得A點重構的相對誤差σ*(%)=4.406 9。

表5 各變異函數模型下的泛克里格預測值Tab.5 Predicted values for each variation function model by Universal Kriging

表6 基于泛克里格法的各變異函數模型下的相對誤差及相對誤差均值Tab.6 Relative error and average relative error of each variogram model based on Universal Kriging

在REC533模型參數設置如表7所示，其余參數設置依照系統設置的缺省值[10]的條件下，比較基于普通克里格法和REC533模型的海上短波通信頻率預測方法的可靠性，結果如表8和表9所示。

表7 REC533模型參數設置Tab.7 REC533 model parameter settings

表8 基于普通克里格法的各變異函數模型下的相對誤差及相對誤差均值Tab.8 Relative error and average relative error of each variogram model based on Ordinary Kriging

表9 REC533模型預測結果Tab.9 Predicted result by REC533 model

3.4 實驗結果分析

通過以上數據分析，結合實際應用情況，可得出如下結論：

利用太陽活動低年期間某海域艦船活動的通信數據，構建了多種變異函數模型，實現了基于線性泛克里格法的通信頻率預測。實驗結果表明，在通信頻率沿緯度方向存在線性漂移時，各模型預測結果的相對誤差均值均低于2.5%。高斯模型下B點預測值與實測值的相對誤差低至0.517 6%，具有良好的預測精度。在實際應用中，通信部門為避免信息傳輸過程中多次換頻，通常取最高可用頻率的85%作為最佳工作頻率。因此，泛克里格法適用于海上短波通信頻率的預測。在空間相關變程內，利用泛克里格法進行頻率預測，能夠為未知海域短波通信提供保障，具有工程應用價值。

(2)鄰域點均勻分布時短波通信頻率預測結果更準確

由表6可以觀察到，變異函數模型相同時，隨未知點位置變化，估計誤差值存在明顯差異。結合圖3中各點位置信息，綜合大量數據分析可知，該算法的預測精度與鄰域點的分布有關。觀察圖3可知A、C、D、E點較均勻地分布在B點周圍，使B點能夠克服各向異性，得到較高精度的預測值。而當未知點位置相對較偏時，各向異性顯著，其預測結果偏離實測值。因此，在進行泛克里格法頻率預測時，均勻地選取鄰域點可以有效提高預測精度。

(3)基于泛克里格法的海上短波通信頻率預測結果的可靠性較高

比較基于普通克里格法和REC533模型可以看出，基于泛克里格法的海上短波通信頻率預測結果更貼近真實值，預測效果更好。普通克里格法不考慮電離層等離子體、不均勻體的漂移特性，導致各模型預測結果差異較大，受鄰域點方向的變異特性影響嚴重。REC533模型建立時中國區域電離層結構信息較少有關，導致預測精度受限。在應用泛克里格法預測時，各模型預測精度由高至低為高斯模型>球狀模型>指數模型，但差異較小，均具有較高的估計精度，在實際應用中可依據通信設備選擇合適的預測模型。

4 結束語

本文結合電離層漂移特性，確定了沿緯度方向的漂移形式，驗證了泛克里格法在海上短波通信頻率預測中具有良好的應用性，且估計精度較高，可用于保障海上通信。此方法充分利用歷史數據的空間相關性，彌補了以往在時間維度上進行頻率預測的不足，同時還避免了探測選頻過程耗時長、占用信道、目標易暴露等弊端，對未知海域的短波頻率預測工作具有重要意義。在實際應用中，需盡可能地使鄰域點均勻分布在未知點周圍，以提高預測精度。因此，可進一步研究適合海上通信的鄰域選點技術，完善基于泛克里格法的海上短波通信頻率預測方法。