一種復合局部與非局部梯度的圖像去噪變分模型

吳 洋1,楊平先1,黃坤超2,陳明舉1，張 雷

(1.四川理工學院 自動化與電子信息學院，四川 自貢 643000；2.中國西南電子技術研究所,成都 6100362； 3.航空工業成都飛機工業(集團)有限責任公司，成都610092)

1 引 言

圖像在獲取、傳輸等一系列過程中不可避免地受到噪聲的干擾，在很多領域中又需要清晰的、高分辨率的圖像，因此，圖像去噪問題是圖像處理最基本的研究課題之一?；谄⒎值淖兎帜Ｐ驮趫D像去噪中表現出較好的性能，經典的局部變分模型是由 Rudin等[1]提出的ROF模型，該模型用L1范數空間描述圖像梯度信息，并利用圖像梯度控制擴散速率以實現圖像去噪，同時較好地增強圖像的結構輪廓信息。由于ROF模型通過極小化局部梯度實現去噪，不可避免地模糊圖像的紋理細節信息，并在圖像的平滑區域產生階梯效應。針對ROF模型的缺點，先后出現了一些改進模型，如不同的圖像特征區域采用不同的擴散方式的前后向擴散變分模型[2]、基于圖像方向特性的變分模型[3]以及基于Lp范數的自適應全變分模型[4]等。這些模型在一定程度上提高了圖像的去噪性能，但無法克服局部梯度的局限性，未能有效利用圖像相鄰區域的信息。

Buades等人[5]利用圖像相似塊的信息，將非局部均值濾波理解為一種幾何擴散模型，引入正則化技術建立非局部變分模型，該模型通過極小化非局部梯度的L2范數以實現圖像的去噪。Gilboa等人[6-7]對該模型進行研究，將非局部化G空間的概念引入到非局部均值濾波模型中，提出了基于L1范數的非局部梯度的變分模型(Nonlocal Total Variation,NLTV)，并通過理論與實踐證明非局部變分模型比局部變分模型具有更好的圖像去噪性能，有效地重構圖像的重復細節信息，克服階梯效應。但非局部變分無法重構孤立的圖像區域信息，模糊圖像的輪廓信息。為同時利用局部變分與非局部變分的優點，文獻[8]針對核磁共振圖像的特性，采用局部與非局部變分交替迭代，有效地增強了核磁共振圖像。該方法采用局部與非局部變分交替進行，在每次迭代中不可避免局部與非局部變分的缺點，因此，對常規圖像處理效果并不理想。文獻[9]將局部變分與非局部變分分別作用于圖像的紋理部分與結構部分，以提高圖像的去噪性能。該方法涉及到圖像不同成分的分解與極小化，運算量較大，且在強噪聲干擾下，圖像的紋理與結構成分分解困難，從而造成去噪性能下降。

針對上述方法的不足，為充分利用局部變分增強圖像的輪廓邊緣與非局部變分能有效重構圖像的紋理信息的優點，本文構建了一種同時極小化圖像局部梯度與非局部梯度的復合變分模型，并給出了該模型的Bregman求解過程。該模型通過限制每次迭代后的圖像接近原始圖像的情況下，同時極小化圖像局部梯度與非局部梯度，使去噪后的圖像具有局部變分與非局部變分的優點。對比實驗證明本模型能有效地重構圖像細節信息，增強圖像輪廓，獲得更好的去噪性能。

2 局部與非局部變分去噪模型

圖像的獲取、傳輸不可避免地受到干擾，獲得的噪聲圖像可以表示為

f=u+n。

(1)

式中：f是獲得的噪聲圖像，n為干擾噪聲。圖像在有界變分空間Ω×Ω∈，全變分通過最小化圖像泛函獲得估計的圖像u。Rudin等人通過極小化圖像梯度L1范數，提出了經典的變分模型(ROF模型):

(2)

圖1 Cameraman圖像TV與NLTV去噪的結果Fig.1 Cameraman image before and after denoising

非局部變分是近幾年興起的圖像處理技術，通過極小化非局部梯度L1范數實現去噪后的圖像逼近原圖。非局部變分模型為

(3)

(4)

wf(x,y)為以x、y為中心的相似兩塊權值函數，表達式為

(5)

非局部梯度考慮到圖像相似塊的信息，利用相似塊的信息獲得去噪圖像，能夠消除局部變分的階梯效應，重構重復的細節信息。然而，對于孤立圖像區域，非局部變分無能為力,從而造成對圖像孤立輪廓的破壞，如圖1(c)紅色橢圓區域。

為有效利用局部與非局部變分的優點，我們構建一個同時極小化圖像局部與非局部變分的復合變分模型(Local and Nonlocal Total Variation,LNLTV),該模型表達式為

(6)

該模型同時極小化圖像的局部梯度與非局部梯度的L1階范數，限制項使去噪后的圖像逼近原始圖像。因此，該模型兼顧局部變分與非局部變分的優點，能消除局部變分的階梯效應并增強重復紋理信息，克服非局部均值對圖像輪廓的破壞。

3 局部與非局部變分模型數值求解

(7)

借助于分裂Bregman迭代求解L1范數約束問題，用bw代替wu，bx代替xu，by代替yu,引入松弛因子dx、dy、dw與限制項參數λ1、λ2,式(7)帶限制項的極小化問題可進一步表示為

(8)

(9)

(10)

(11)

采用交替極小化求解式(8)中的bx、by、bw[11]，可得

(12)

(13)

(14)

式中：shrink(u,δ)=sign(u)max(0,u-δ)。u極小化迭代求解，可以對式(8)求導，并令其導數為0，有

(15)

從而可以得到uk+1的迭代求解表達式為

uk+1=(1+λ1Δ+λ2Δw)-1·

(16)

綜上所述，可以得到LNLTV模型的分裂Bregman迭代求解步驟如下：

While ‖uk+1-uk‖2>toldo

Gauss-Seidel算法求解uk+1

end while

4 試驗結果與分析

為證明本文的復合局部與非局部梯度的LNLTV模型去噪性能，將本文提出的LNLTV模型與ROF變分模型、NLTV模型以及文獻[8-9]的聯合局部梯度與非局部梯度的變分模型進行對比分析。實驗采用CPU為 Intel i7、4 GB內存的的臺式電腦，操作系統為64位Windows 10，各個模型程序由Matlab編寫。在實驗所涉及到的非局部變分模型中，對于像素點x的相似區域搜索范圍限制在以x為中心的21×21區域,相似區域大小為5×5方形區域，迭代停止條件為tol≤0.001。在LNLTV模型中，參數μ1=μ2=0.25，λ1=λ2=0.01。選用標準圖Lena、Women、Texmos、Cameraman進行對比實驗，如圖2所示。

圖2 實驗中選用的標準圖Fig.2 Original images for experiments

采用峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio,PSNR)、結構相似度(Structural Similarity Index,SSIM)與運算時間t作為客觀評價指標。表1～3給出選用的標準圖片在不同強度噪聲干擾下采用不同變分模型去噪的結果，可以看出，ROF模型去噪后的PSNR與SSIM最低，這是由于ROF模型采用局部梯度，未能有效利用圖像的相鄰信息；相對于ROF模型，NLTV模型PSNR與SSIM提高較明顯，運算時間t相對較大，這是由于NLTV模型利用圖像相似區域的信息去重構圖像，去噪性能有一定的提高，但相似度的尋找計算量大、耗時多。文獻[8-9]與本文的LNLTV模型都綜合利用局部變分與非局部變分的優點，相對于NLTV模型，PSNR與SSIM都有一定的提高。其中，文獻[9]獲得最大的2組PSNR與SSIM，其余10組最大的PSNR與SSIM由本文的LNLTV模型獲得。進一步觀察發現，在強噪聲干擾下(σ=40)，本文的LNLTV模型的PSNR值高于文獻[9]的PSNR值0.5 dB以上，去噪提高效果明顯。另外，在運行時間方面，本文LNLTV模型運算時間約為文獻[9]的一半。綜上分析，在客觀評價方面，本文提出的LNLTV模型表現最優，這是由于本文的LNLTV模型將局部變分與非局部變分同時作用于圖像，在迭代過程中更好地保留各自的優點，在有效地增強圖像輪廓的同時更好地重構相似區域的信息。

表1 不同圖片不同模型去噪后的PSNRTab.1 PSNR of different images after denoising with different models

表2 不同圖片不同模型去噪后的SSIMTab.2 SSIM of different images after denoising with different models

表3 不同圖片不同模型的去噪時間Tab.3 Computation time of different models

圖3給出了Texmos圖像在受高斯噪聲污染下(σ=20)采用5種模型去噪后的圖像與殘差圖像，誤差圖像為去噪后圖像與原始的差值。通過圖3可以觀察在噪聲干擾情況下各種模型對圖像平滑區域與邊界的影響情況。從圖3(b)中可以看出，ROF模型在平滑區域存在嚴重的階梯效應。NLTV雖然克服了ROF模型的階梯效應，但對圖像的邊緣輪廓造成了破壞(圖3(c)中殘差圖像輪廓明顯)。文獻[8]方法對圖像的輪廓保護較好，平滑區域仍然存在較大的殘留噪聲(圖3(d)所示)。文獻[9] 方法(圖3(e))與本文的LNLTV(圖3(f))在噪聲的去除與圖像信息保持方面表現較好，比較兩者的誤差圖像可以看出本文的LNLTV能更好地重構圖像的細節。

圖3 Texmos圖像去噪前后的結果(σ=20)Fig.3 Texmos image before and after denoising(σ=20)

圖4給出了Lena圖像在受高斯噪聲污染下(σ=30)各模型去噪后的局部放大圖。通過帽子區域的對比觀察可以發現，ROF模型去噪后的圖像細節模糊嚴重，NLTV模型能保持圖像的一些細節，文獻[8]方法增強帽子邊緣的同時模糊圖像較小的細節，文獻[9]方法與本文的LNLTV模型在細節保持方面表現最好。

圖4 Lena圖像去噪前后放大圖(σ=30)Fig.4 Zoomed version of the denoised Lena image(σ=30)

圖5和圖6給出了Woman與Cameraman在強噪聲污染(σ=40)下去噪后的局部放大圖。對去噪后圖像的細節部分(圖5中頭巾區域、圖6中照相機區域)進行對比觀察，再一次證實，ROF模型去噪后的圖像細節模糊嚴重，NLTV模型破壞圖像的輪廓，文獻[8]方法的結果存在大量的噪聲且對邊界造成了破壞，文獻[9]方法邊界保持較好，但平滑區域仍存在大量的噪聲。本文的LNLTV去噪圖像的殘留噪聲最少，同時圖像輪廓也較好地保持。因此，在強噪聲干擾下，本文提出的LNLTV模型在去除噪聲的同時更好地保留了圖像信息，去噪性能最優。

圖5 Woman圖像去噪前后放大圖(σ=40)Fig.5 Zoomed version of the denoised Woman image(σ=40)

圖6 Cameraman圖像去噪前后放大圖(σ=40)Fig.6 Zoomed version of the denoised Cameraman image(σ=40)

5 結束語

本文針對局部變分模型模糊圖像的細節、在圖像的平滑區域產生階梯效應，以及非局部變分模型對圖像的結構輪廓破壞的缺點，提出了一種復合局部梯度與非局部梯度的變分去噪模型。在確保去噪后的圖像接近原始圖像的情況下，采用分裂Bregman迭代極小化圖像局部梯度與非局部梯度的L1范數實現模型的求解。與經典ROF變分模型、NLTV模型以及復合變分模型進行對比分析證明，本文提出的基于局部與非局部梯度的變分模型兼顧局部與非局部變分的優點，能更好地重構圖像的細節信息，增強圖像的輪廓，去除平滑區域的階梯效應。因此，本文提出的復合變分模型具有更好的應用前景。另外，將局部與非局部變分相結合應用到特殊圖像處理中，如遙感圖像、電子顯微圖像、紅外圖像等相關領域，是將來研究的重點。