張 瑜, 黃 麗, 趙紅利
(太原科技大學應用科學學院,太原 030024)
B(H)表示Hilbert空間H上所有有界線性算子的全體.如果A是包含恒等算子的B(H)的C*-子代數且具有前對偶,即存在一個Banach空間使其對偶空間為A,則稱A是von Neumann代數。集合Z(A)={S∈A|ST=TS,?T∈A}叫做A的中心.若Z(A)只包含數量算子,即滿足Z(A)=I,則稱A是因子von Neumann代數。
von Neumann代數作為性質最好的代數,近些年吸引了越來越多學者的注意.而因子von Neumann代數作為特殊的von Neumann代數,也備受關注。于是,對因子von Neumann代數上相關保持問題的研究也成為了保持問題的發展趨勢.2009年,崔建蓮、李長京[7]刻畫了因子von Neumann 代數上保持斜Lie積的非線性雙射.2013年,李長京、陸芳言[1]兩位學者證明了因子von Neumann代數上的非線性雙射Φ:A→B滿足Φ(AB+BA*)=Φ(A)Φ(B)+Φ(B)Φ(A*)當且僅當Φ是*-環同構。特別地,若von Neumann代數是I型因子,則Φ是酉同構或者共軛酉同構。次年,戴麗清[2]等將上述結論推廣到了沒有中心可交換投影的von Neumann代數上,并證明了滿足Φ(AB+ηBA*)=Φ(A)Φ(B)+ηΦ(B)Φ(A)*的非線性雙射Φ要么是線性*同構(η不是實數);要么是線性*同構與共軛線性*同構的和(η是實數)。
完全保持問題:定義映射Φn:A?Mn(F)→B?Mn(F)為Φn((Sij)n×n)=(Φ(Sij))n×n,?n∈N.若Φn保持Jordan 零積,則稱Φ是n-保Jordan 零積的;若對于每個n∈N,Φ都是n-保Jordan 零積的,則稱Φ是完全保Jordan 零積的。
完全保持問題對代數結構有很強的約束性,能更確切地反映同態映射的本質.但是,通過查找文獻,這方面的結果還比較少(Banach空間的標準算子代數上:完全保冪等性和平方零元、可逆性和譜、譜函數、交換性和Jordan零積、零因子分別參見文獻[3-6、10];有限von Neumann代數上:完全保跡秩的映射參見文獻[9];無限維復Hilbert空間的*-標準算子代數上:完全保斜Lie零積的映射參見文獻[13]),需進一步拓展.鑒于此,本文將在完全保持的框架下討論Jordan 零積,并證明因子von Neumann代數上這樣的滿射是線性同構或共軛線性同構的非零常數倍。
定理令H,K是£上無限維Hilbert空間,A,B分別是H和K上的因子von Neumann代數。Φ:A→B是一個滿射.則下列敘述等價:
(1)Φ雙邊完全保Jordan零積;
(2)Φ雙邊2-保Jordan零積;
(3)Φ是線性同構或共軛線性同構的非零常數倍。
證明滿足敘述(3)的映射是雙邊完全保Jordan零積的,從而(3)?(1)?(2)是顯然的。我們只需證明(2)?(3).下面我們假設Φ是雙邊2-保Jordan零積的。
斷言1Φ(0)=0,Φ(I)=cI對某一非零數c成立。
對于?T∈A,
將Φ2應用于上述等式,可以得到
因此,Φ(0)2=0.
(1)
3Φ(0)2+Φ(0)Φ(T)=0.
(2)
由Φ的滿射性知,存在某個T0∈A, 使得Φ(T0)=iI. 在(2)式中令T=T0,則3Φ(0)2+iΦ(0)=0. 結 合 (1)式有Φ(0)=0.
下證Φ(I)=cI,對某一非零數c成立。
對于?T∈A, 一方面
Φ(I)Φ(T)+Φ(I)Φ(-T)=0.
(3)
另一方面
Φ(T)Φ(I)+Φ(I)Φ(-T)=0.
(4)
由(3)和(4)可得:Φ(I)Φ(T)=Φ(T)Φ(I)?Φ(I)∈Z(B). 因為B是因子von Neumann代數,所以Φ(I)=cI, 對于任意非零數c都成立。
如果有必要,用c-1Φ來替換Φ. 顯然c-1Φ仍然是雙邊2-保Jordan零積的,故可以假設
Φ(I)=I.
斷言2Φ是單射且Φ(-T)=-Φ(T),?T∈A.
對于?T,S∈A, 假 設Φ(T)=Φ(S), 則
用Φ(S)代替Φ(T), 得
此蘊涵T=S.于 是Φ是單射,從而是A到B上的雙射。
由(4)和Φ(I)=I可得Φ(-T)=-Φ(T) ,即Φ(-T)=-Φ(T).
(5)
斷言3Φ??杉有?,即Φ(T+S)=Φ(T)+Φ(S).
對于?T,S∈A,
將Φ2應用于上述等式,結 合 (5)式可得Φ(T+S)+Φ(S-T)=2Φ(S).
(6)
又
將Φ2應用于上述等式,結 合 (5)式可得Φ(T+S)+Φ(T-S)=2Φ(T).
(7)
由(5)、(6)、(7)聯立得到Φ(T+S)=Φ(T)+Φ(S).
斷言4Φ??沙诵?,即Φ(TS)=Φ(T)Φ(S).
對于?T,S∈A,
Φ(TS)=Φ(T)Φ(S).
斷言5Φ(iI)∈Z(B).
對于?T∈A,
將Φ2應用于上述等式,從而有Φ(iI)Φ(T)=Φ(T)Φ(iI)?Φ(iI)∈Z(B).
斷言6Φ具有線性或共軛線性。
將Φ2應用于上述等式,從而有Φ(iI)2=-I. 根據斷言5知Φ(iI)∈Z(B),因此可令Φ(iI)=μI.則(μI)2=-I?μ=±i.于是,Φ(iI)=iI或Φ(iI)=-iI.
若α是實數,則Φ(αI)=αI.那么Φ(αA)=Φ(αI·A)=Φ(αI)·Φ(A)=αΦ(A).
若α是復數,令α=a+bi,則Φ(αI)=Φ((a+bi)·I)=Φ(aI)+Φ(b·iI).
根據斷言6得到Φ(b·iI)=bΦ(iI)=bI或Φ(b·iI)=bΦ(iI)=-bI.
因此Φ(αI)=Φ(aI)+Φ(b·iI)=aI+b·iI=(a+bi)I=αI