福建省南平市高級中學(353000)葉 燕
構造函數一向備受命題者的青睞,其中函數同構問題更成為近幾年的高考命題熱點,值得教師關注。2020年山東高考卷數學第21題把函數不等式恒成立與函數同構巧妙對接,成為函數同構的標志性試題,掀起的高潮延續至今。
函數同構一般是對題干中的方程、不等式做合理變形,使得方程或不等式兩邊呈現出相同的結構,然后根據相同結構構造函數f(x),并判斷函數f(x)的單調性,最后利用函數f(x)的單調性求解。運用函數同構思想解題,能極大地優化解題過程,但并非所有的導數綜合題都能運用函數同構解答。
那么,如何識別哪些題型適合運用函數同構來解題呢?又怎樣才能更好地運用函數同構解題呢?歸類解析就是一種好辦法。為此,本文著重對指、對數函數的同構問題進行歸類解析。
當題干或問題同時包含有ex和lnx的結構特征時,可考慮函數同構。對于指數、對數函數同構,多數可歸為如下五種情形。
[例3]若不等式xm(ex+x) ≤emx+mxm(x?lnx)恒成立,則實數m的取值范圍是___________。
解:因為x>0,所以原不等式等價于ex+x≤+mx?mlnx,即ex+x≤emx?mlnx+(mx?mlnx)恒成立。
[例5]已知函數f(x)=x(ex+1),g(x)=(x+1)lnx,則下列結論正確的是( )。
解:僅對D選項進行分析。
∵g(x2)=(x2+1)lnx2=(elnx2+1)lnx2=f(lnx2),
∴f(x1)=g(x2)=t(t>0),
∴f(x1)=f(lnx2)=t,可得x1>0,x2>1,
[例6]實數x1,x2滿足x1ex1=e3,x2(lnx2?2)=e5則x1x2=__________。
當x∈(?2,?1)時,h′(x) >0,h(x)單調遞增,
當x∈(?1,+∞)時,h′(x) <0,h(x)單調遞減,
∵lna>h(x)max=h(?1)=1,∴a>e。
解法2:因為a>0,所以由f(x)=?2 >0(x>?2),可得ex+lna+lna>ln(x+2)+2,兩邊加 上x,則ex+lna+(x+lna) >(x+2)+ln(x+2)=eln(x+2)+ln(x+2),
設g(x)=ex+x,則g(x+lna) >g[ln(x+2) ],∵g(x)=ex+x單調遞增,∴x+lna>ln(x+2),即lna>ln(x+2) ?x,
當x∈(?2,?1)時,h′(x) >0,h(x)單調遞增,
當x∈(?1,+∞)時,h′(x) <0,h(x)單調遞減,
∵lna>h(x)max=h(?1)=1,∴a>e。
上述題目若按常規解法處理,將迷霧重重,相當棘手,而運用函數同構思想解決,則可撥云見日,柳暗花明。
在運用函數同構時,應當明確:
第一,先把相同變量放在同一邊,再由內向外同構。對內同構,即通過合理變形實現左、右兩邊各自內部同構,這是同構的重點,也是難點。在例4 的分析中,方程左邊兩處經過變形匹配出的“2x+a”,即方程左邊的內部同構,方程右邊兩處經過變形匹配出的“lnx”,即方程右邊的內部同構。內部同構一旦完成,對外同構就自然生成。
第二,充分發揮恒等式“x=elnx和x=ln ex”在同構轉化中的橋梁作用。同構的基本變形方法有兩種:(1)變形為指數;(2)變形為對數。而具體的同構式,因變形的組合不同,可以有多種,如:
設a,b都為正數,若aea+1+b A.ab>e B.b>ea+1C.ab 解:把相同變量放在同一邊,一邊一個,得 第三,同構的相互轉化。同構函數f(x)=xex和同構函數g(x)=xlnx可以相互轉化;同構函數f(x)=ex+x和同構函數g(x)=x+lnx也可以相互轉化。而例6和例7的兩種解法,給了最直觀的說明。 在上述題目中,指數、對數函數唱戲,冪函數搭臺。下面分析一道冪函數、指數函數、對數函數、三角函數齊聚一堂的“恐怖題”,以再次感受運用同構思想解題之神奇魅力。