大偏差方法在投資組合中的應用

王開宏

(武漢大學數學與統計學院,湖北武漢 430072)

1 引言

確定最優投資組合的準則一直是人們關注的熱點,可能最早的理論是由Bernoulli提出的期望財富最大化準則,類似的還有對數財富最大化、財富增長率最大化和Kelly投資策略.MacLean等[1]指出Kelly投資策略從沒有提到破產風險,但通常情況這種策略會使投資者承擔失去本金的較大風險.傳統方法還包括期望效用最大化的準則,在這個準則下,首先要明確代表投資者偏好的效用函數,顯然這是帶有一定主觀性并且很難準確估計的.同時,面對不同規模的風險選取合適的效用函數類型來計算也是比較困難的.

鑒于之前準則的缺陷,Browne[2,3]對于連續時間的投資行為,提出了赤字概率最小化準則,并且與標準的冪效用函數準則作了對比,發現冪效用函數最大化和赤字概率最小化是可以同時實現的.Stutzer[4,5,6]建立了新的投資準則,提出在相當長的投資期限內,選取一個投資組合,使得期望收益率小于目標收益率的概率衰減到0的衰減速率達到最大,以此作為最優投資組合,這個準則簡稱衰減速率準則.并且證明了當不同時刻的投資組合收益率獨立同分布時,這樣的最優投資組合對于任何期限T,相比其他投資組合,收益率小于目標收益率的概率都是最小的.Stutzer開創性地將大偏差方法引入到了最優投資組合的研究中,通過大偏差方法計算得到衰減速率準則下的最優投資組合.而Chu[7]從另外的角度,利用大偏差方法研究了證券組合包含的資產種類充分大情況下的最優投資組合,計算了資產種類為有限個時的赤字概率上界.并且研究了資產間的非線性相關關系對于最優投資組合和赤字概率上界的影響.

Pham[8,9]提出了連續時間下客觀的最優投資組合準則,即在時間充分大的條件下,使得真實收益率大于目標收益率的概率達到最大的投資組合.將這個問題歸結為大偏差控制問題,證明了在一定條件下可以將大偏差控制問題轉化為它的對偶問題進行求解,而它的對偶問題是一個在對數矩母函數最大值處的遍歷風險敏感度控制問題,具體給出了最優投資組合的確定方法,并且研究了模型在邊界點的最優投資組合.

關于相依隨機序列的大偏差,Schonmann[10]證明了弱混合有界平穩序列滿足大偏差原理,Yakimavichyus[11]證明了一維的一致強混合序列滿足大偏差原理,Bryc[12]在前人研究的基礎上證明了有界φ混合平穩序列和有界ψ混合平穩序列滿足大偏差原理.但這些研究都是基于有界隨機變量進行的.

基于前人的研究,在離散時間下,投資者將財富投資于兩類資產:風險資產和無風險資產,風險資產價格的增長率獨立同分布,每個時刻的最優投資組合依賴于前一時刻風險資產價格的變動表現,在這種情況下,本文結合引理3.2,通過借鑒Bryc[12]的定理4的證明思路并且運用分塊法思想、Hlder不等式、函數的凹凸性性質等技巧,給出了時均對數收益率滿足大偏差原理的證明,定理不需要隨機序列有界的假設.

基于投資組合固定不變的假設,利用MATLAB計算了風險資產價格服從兩點分布時的最優投資組合;接著以投資組合是前一時刻風險資產收益率的線性函數為假設,利用MATLAB計算了風險資產價格服從均勻分布時的風險資產最優投資比例函數.

2 大偏差準則

基于投資期限充分長的假設,利用大偏差方法建立一個最優投資組合的確定準則,這個準則與個人偏好無關.假設在離散時間下,財富只投資于兩種資產:風險資產與無風險資產,并且假定風險資產價格的增長率是i.i.d.的,即為獨立同分布的,認為每一時刻的投資組合只與前一時刻風險資產價格的增長率有關,建立模型

風險資產:Sn=Sn?1ξn,ξn～f(x),n=1,2,3···;

其中Sn表示n時刻風險資產的價格,S0表示風險資產的初始價格,ξn表示n時刻風險資產價格的增長率,f(x)為ξn的概率密度函數,表示n時刻無風險資產的價格,r為無風險利率.

用π(ξn?1)表示n時刻投資于風險資產的比例,它是前一時刻資產價格增長率的函數,Xn表示n時刻投資者的財富,于是有

其中X0,π0為常數,從而有

對(2.1)式兩邊取對數,有

前n項連加,得到

定義n時刻財富Xn的對數增長率

其中

定義0到n時刻之間的平均對數增長率

考慮投資期限充分長的條件下,給定一個目標增長率l,在投資組合集里尋找能使以下概率達到最大的組合作為最優投資組合.如果滿足大偏差原理,則可以建立最優投資組合的大偏差準則

可以看出,這個準則只依賴于客觀的概率P和目標增長率l,與效用函數無關,并且是在投資期限充分大的情況下確定的.

3 時均對數收益率的大偏差定理

定義3.1[13]設G是C(E)中一個子集,稱G為一個分離類,若

(i)G包含所有常值函數;

(ii)G對有限逐點下端運算封閉,即g1,g2∈G?g1∧g2∈G;

(iii)G分離E中的點.即若x,y∈E且則對任意a,b∈R,?g∈G使g(x)=a,g(y)=b,

其中C(E)表示E上實值連續函數的全體.

引理3.2設(με,ε>0)是Polish空間E上一族指數胎緊概率測度,設G是E上一個分離類,假若對任意g∈G,

存在,則對任意φ∈Cb(E),Λ(φ)存在,令

則{με,I,λ(ε)}滿足LDP,I下緊,其中Cb(E)表示E上有界實值連續函數的全體.

定理 3.3?θ,假定E(eθξi)<∞,則

存在,且對任何閉集F,

對任何開集G,

其中Iπ(x)=sup[θx?Γ(θ,π)].即在風險資產價格增長率獨立同分布,投資決策只依賴于前一時刻風險資產價格的變動表現的情況下,時均對數收益率滿足大偏差原理.

證令

其中R?表示R上線性有界泛函的全體.

證明對于任意θ∈G,極限

考慮分塊法,對n≥1,有n=k(M+1)+l,0≤l≤M+1,k=k(n)=[n/(M+1)],l=n?k(M+1),有

從而Zn可以表示為凸組合

由θ(x)的凹性

由θ(x) 的定義,?a>0,有,從而有

結合(3.1)式,因此有

另一方面,Zk(M+1)可以表示為凸組合

令

令

由θ(x)的凹性有

同理利用θ(x)的定義,有

結合(3.3)式,可以推出

結合(3.2)式,有

其中

由于風險資產的投資比例π(ξi?1)有界,所以有Eeθ(Yi)<∞,l≤M+1,所以

由于

對于θ(Yj(M+1)),總能找到常數cj和常數dj,使得,所以有

因此有

結合 (3.4)–(3.6) 式,得到

由于

故有

因此有

再證{μn,n>0}指數胎緊.其中對集合.?M∈[0,∞),?α>0,有

1)顯然,G?C(R)且包含所有常值函數;

2) 假設θ1,θ2∈G,

其中d=d1+d2,

因此G對有限逐點下端運算封閉得證;

得到λ1∈R?,因此G分離R中的點得證.由引理3.2,的大偏差原理成立.

4 最優投資組合的確定

給定π,給定一個目標收益率l,要求,平均增長率的速率函數Iπ(?)是Γ(?,π) 的 Legendre 變換Iπ(l)=I(l,π)=supθ[θl?Γ(θ,π)].由定理 3.3 得到

因此有

定義

引理4.1[9]假定Λ+在上是有限且可微的,其中是區間(0,∞]中的某個實數,?θ∈(0,θ),存在 Λ+(θ)的解(θ),則對于所有的,有,并且當時,ν(l)的最優控制為,當時,ν(l)=0的近似最優控制為

此時有

引理4.1說明了收益率高于目標收益率的概率最大化的大偏差控制問題,在一定條件下可以通過它的對偶控制問題予以求解.可以看到,當目標收益率l小于時,此時ν+(l)=0,也就是說,在投資期限充分長的情況下,投資者的實際收益率高于目標收益率的概率幾乎為1,這時的近似最優投資組合與目標收益率無關.而當目標收益率l介于和Λ0+(θ)之間時,最優投資組合由目標收益率決定.當時,對于所有的l都可以得到準確的最優投資組合;而當時,若,這時無法確定最優投資組合.

以風險資產價格增長率ξ服從二點分布,投資組合固定不變為例進行計算,假定無風險利率r=0.02,ξ的概率分布為

則

Λ+(θ)在 [0,1)上是可導的,,根據引理4.1,

圖1:風險資產最優投資比例曲線

接著以每一時刻的投資組合依賴于前一時刻的資產價格變動表現為假設,做模擬計算,假設風險資產的投資比例π是前一時刻風險資產收益率的線性函數,即

令初始時刻風險資產的投資比例π1=0.3,對

進行數值計算.

假設ξi服從區間[0.9,1.1]的均勻分布.根據引理4.1,對于收益率高于目標收益率的概率最大化投資準則,θ∈[0,1),在每一個θ下,關于a、b取Γ(θ,π)的最大值,在這些最大值中,再關于θ取[supπΓ(θ,π)?θl]的最小值,其對應的線性函數即為最優投資組合的確定方法.選取無風險利率r=0.02,設定目標收益率l=0.07,對a以0.02為步長在區間[-4.5,-3.6]選取46個值,對b以0.02為步長在區間[3.6,4.5]選取46個值,對θ以0.02為步長在區間[0.05,0.95]選取46個值,計算得到風險資產的最優投資比例函數為