一種球形滾動機器人的路徑跟蹤控制器設計

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(1.遼寧工業大學 機械工程與自動化學院，遼寧 錦州 121001；2.北京郵電大學 自動化學院，北京 100876； 3.北京印刷學院 信息工程學院，北京 102600)

0 引言

球形滾動機器人是近些年發展起來的一種新型移動機器人，此類移動機器人采用內部驅動單元實現外部球殼滾動。球形滾動機器人具有完全封閉、滾動靈活、抗傾翻和耗能低等特性，這些特性使此類移動機器人對外界環境表現出很強的適應力，因而逐漸受到國內外學者的關注[1-11]。球形滾動機器人是一種內驅動式非完整滾動球體，點接觸式滾動形式雖然減小了球形滾動機器人的運動阻力，但也增大了球形滾動機器人的控制難度。因此，球形滾動機器人的控制問題逐漸成為球形機器人領域的研究熱點之一。

球形滾動機器人的跟蹤控制問題一般包括球形滾動機器人的軌跡跟蹤控制問題和球形滾動機器人的路徑跟蹤控制問題。與軌跡跟蹤控制[11]相比，路徑跟蹤控制[1-8]僅要求球形滾動機器人的運動路徑與參考幾何路徑一致，而不要求球形滾動機器人于指定時刻到達指定位置。文獻[1-3]提出了基于曲率控制的球形滾動機器人路徑跟蹤控制方法，通過調節球形滾動機器人的橫向姿態和縱向速度來實現球形滾動機器人對于期望路徑的漸近跟蹤。文獻[4]提出了一種基于相對曲率半徑控制的球形滾動機器人路徑跟蹤控制方法，通過改變球形滾動機器人的滾動軸水平傾角來實現球形滾動機器人對于參考路徑的跟蹤控制。文獻[5]提出了一種基于運動學模型和動力學模型分析的球形滾動機器人路徑跟蹤控制策略，并基于所提出的控制策略分別設計了PD控制器和自適應滑?？刂破?。文獻[6]提出了一種基于模糊分級滑?？刂频那蛐螡L動機器人路徑跟蹤控制方法，所提出的控制方法能夠實現球形滾動機器人穩定的路徑跟蹤。文獻[7]基于滑?？刂圃O計了一種球形滾動機器人的路徑跟蹤控制器，實現了球形滾動機器人對于傾斜平面上參考路徑的漸近跟蹤。文獻[8]提出了一種基于神經網絡補償的模糊控制方法，實現了球形機器人系統對于滾動平面上期望路徑的跟蹤控制。綜上可見，目前對于球形滾動機器人路徑跟蹤控制問題的研究相對較少，已取得的研究成果還處于理論探索和初步實驗階段，相關的理論與方法仍然有待于進一步完善和探索。

在建立一種球形滾動機器人運動模型的基礎上，本文設計了一種基于自適應滑?？刂撇呗缘穆窂礁櫩刂破?。首先推導球殼純滾動和無自轉非完整約束條件下球形滾動機器人的運動方程，然后在此基礎上設計一種滑模增益自適應控制器，該自適應滑?？刂破髂軌虮ＷC球形滾動機器人的運動路徑收斂于期望的參考路徑，最后通過數值仿真與樣機實驗驗證本文設計的路徑跟蹤控制器的有效性和理論分析結果的正確性。

1 球形滾動機器人的運動方程

BYQ-III型球形滾動機器人[9-10]是一種配重驅動式球形滾動機器人，該球形滾動機器人的基本結構如圖1所示。BYQ-III型球形滾動機器人主要由球殼1、框架2和配重5三個部分構成，該球形滾動機器人內部配置了兩臺獨立的驅動電機，分別為框架電機3和配重電機4?？蚣茈姍C3和配重電機4的旋轉軸通過球殼中心并且相互垂直，在兩臺驅動電機的作用下配重5在球殼1內可以進行橫向和縱向的擺動。配重5的擺動使該球形滾動機器人的重心偏移，從而實現該球形滾動機器人在地面上的橫向運動和縱向運動。

圖1 BYQ-III型球形滾動機器人的基本結構

球形滾動機器人的運動模型是分析球形機器人系統的運動學特性和動力學特性的重要基礎，也是有效實現球形滾動機器人穩定運動控制的前提條件。因此，為建立有效的控制方法以實現BYQ-III型球形滾動機器人準確的路徑跟蹤，需要首先建立該球形滾動機器人的運動模型。

在推導BYQ-III型球形滾動機器人的運動方程之前，首先對該球形機器人系統作出如下合理性假設。

假設1：BYQ-III型球形滾動機器人的外殼為均質對稱的薄壁球殼，并且該球形滾動機器人在地面上運動時球殼純滾動且無自轉[5-8, 11]。

圖2 具有2個輸入的均質薄壁球殼模型

當BYQ-III型球形滾動機器人在地面上滾動時，若忽略球殼與內部驅動單元的耦合動力學特性，則該球形機器人系統可以等效為如圖2所示的具有2個輸入的均質薄壁球殼。ΣO{X,Y,Z}為固連于地面的慣性坐標系，ΣC{X1,Y1,Z1}為固連于球殼的運動坐標系，ΣC的坐標原點位于球殼中心C。由慣性坐標系ΣO到運動坐標系ΣC的Z-Y-X歐拉角分別為航向角φ、橫滾角θ和俯仰角φ。τφ和τθ分別為框架電機的輸出力矩和配重電機的輸出力矩。由于球形外殼具有全向對稱性，球殼與XOY平面的接觸點P和球殼中心C的運動路徑完全一致。設球殼與地面的接觸點P在XOY平面內的慣性坐標為(x,y)，球殼的半徑為r，球殼的質量為m，球殼的轉動慣量為I。

該球形滾動機器人純滾動和無自轉的非完整約束可以表示為[5-8, 11]：

(1)

式中，廣義坐標向量q和約束矩陣A(q)分別為：

(2)

(3)

分別計算該球形滾動機器人的動能K和勢能P，可得該球形機器人系統的拉格朗日函數L為：

L=Κ-P=

(4)

利用含約束乘子的拉格朗日方程，可得該球形滾動機器人的動力學模型為：

(5)

定義矩陣C(q)為:

(6)

式中，

由約束條件式(1)，可得該球形機器人系統的運動學模型為：

(7)

(8)

引入新的控制輸入u為:

(9)

將式(9)代入式(8)，可得該球形機器人系統的簡化動力學模型為:

(10)

至此，該球形機器人系統的運動方程可以表示為：

(11)

2 路徑跟蹤控制器設計

2.1 滑模自適應增益控制律設計

對于球形滾動機器人，其路徑跟蹤的控制目的是實現球殼與地面的接觸點P對于地面上參考幾何路徑的準確跟蹤。

設地面上給定的參考幾何路徑為：

f(x,y)=0

(12)

這里，假設參考路徑的描述函數f(x,y)足夠光滑，光滑函數f(x,y)存在關于x和y的二階偏導數。

定義球形機器人系統的路徑跟蹤誤差為：

ep=f(x,y)

(13)

至此，式(11)所示的球形機器人系統的路徑跟蹤的控制目標轉化為選取適當的控制律u，使式(13)所示的球形滾動機器人的路徑跟蹤誤差ep收斂至零。

基于球形機器人系統路徑跟蹤控制的上述目標，分別設計機器人系統的滑動變量s1和s2為：

s2=υ2-c2

(14)

式中，c1和c2為正常數。

由式(13)和式(11)，可以得到:

(15)

式中，

對式(15)求導，進一步可得:

(16)

式中，d1=J1(q)C(q)ud。

由式(7)和式(11)，可以得到:

(17)

對式(14)求導，由式(15)至式(17)可得：

(18)

式中，

由式(6)、式(15)和式(17)，可以得到：

B=

(19)

u=B-1ν-B-1G

(20)

將式(20)代入式(18)，可以得到：

(21)

(22)

在式(21)基礎上，設計滑模自適應增益控制器為：

ν=-α(t)sign(S)-βS

(23)

式中，

式中，β1和β2為正常數；切換增益αi(t)如下所示：

(24)

式中，γi>0，αi(0)>0；εi、σi和μi為很小的正常數。在式(24)中，引入參數σi和μi的目的只是為了保證控制器的切換增益αi(t)>0。為求清晰起見，在本文后面的分析和討論中不失一般性地假設：對于任意時刻t，均有αi(t)>σi。

對于本文設計的路徑跟蹤控制器式(23)，這里進一步作出如下幾點說明：

(1) 路徑跟蹤控制只要求式(13)所示的路徑跟蹤誤差ep收斂至零，即僅需保證式(14)中滑動變量s1的收斂性。由此可以看出，式(14)中滑動變量s2的設計并不唯一。一般而言，可以選取式(7)所示的準速度υ1或υ2作為被控量來設計機器人系統的滑動變量s2，從而使式(18)所示的矩陣G和B具有相對簡單的形式。對于式(14)中滑動變量s2，其中的正常數c2的取值與穩態時球形滾動機器人的運動速度有關。由式(7)不難看出，正常數c2的取值越大，機器人系統進入滑動模態后球殼的滾動速度就越快。

(2) 由式(23)和式(24)可以看出，本文設計的滑?？刂坡蓪嶋H上由變速趨近項-αi(t)sign(si)和指數趨近項-βisi兩部分構成。在本文控制律式(23)中，變速趨近項能夠根據滑動變量si的變化自適應地調節控制器的切換增益αi(t)。當|si|>εi時，切換增益αi(t)逐漸增大使其足以壓制擾動和不確定項di。當si減小至|si|<εi時，切換增益αi(t)逐漸減小，以減輕滑?？刂破鞯亩墩瘳F象。與文獻[12]方法相比，本文方法在控制律式(23)中進一步加入了指數趨近項-βisi，指數趨近項-βisi能夠動態地適應滑動變量si的變化，可使滑動變量si更快地收斂至零。系統狀態越遠離滑動面si=0，指數趨近項的控制作用就越強。

(3) 受建模誤差和外部干擾等不確定性的不良影響，實際機器人系統無法產生理想的滑動模態si=0，只能在較小的零鄰域內建立真實的滑動模態。對于本文設計的自適應滑?？刂破魇?23)，滑動變量si能夠在有限時間內收斂至零鄰域|si|<εi，并在此后始終保持在一個更大的收斂域|si|<δi內，即機器人系統的真實滑動模態在零鄰域|si|<δi內存在。該零鄰域收斂半徑δi的具體表達式如式(25)所示，收斂半徑δi的大小可以通過調節參數γi來進行控制，正常數γi取值越大，收斂半徑δi越小。

(25)

2.2 穩定性分析

定理1：對于式(11)所示的球形機器人系統，按式(14)設計機器人系統的滑動變量s1和s2，若采用式(20)和式(23)所示的輸入變換和控制輸入ν，則機器人系統的滑動變量s1和s2能在有限時間內收斂至|si|<δi。

證明：首先，證明控制器的切換增益αi(t)是有界的。

關于控制器的切換增益的有界性，本文此處只進行定性的說明，更為詳細的分析請參閱文獻[12]。

不妨設初始時刻為t0，并且當t=t0時|si(t0)|>εi。由切換增益的自適應律式(24)可知，從初始時刻t0開始切換增益αi(t)逐漸增大。又由擾動和不確定項di的有界性可知，必然存在某時刻t1，當t=t1時切換增益足以克服擾動和不確定項di，并使滑動變量si(t)從t1時刻開始逐漸減小。設當t=t2時，滑動變量si(t)已減小至|si(t2)|<εi。由切換增益的自適應律式(24)可知，從t2時刻開始切換增益αi(t)逐漸減小，并且當t=t2時切換增益達到最大值αi(t2)。由于切換增益αi(t)不斷減小，因此必然存在某時刻t3，當t=t3時切換增益已不足以壓制擾動和不確定項di，于是滑動變量si(t)從t3時刻開始逐漸增大。設當t=t4時滑動變量si(t)已增大至|si(t4)|>εi，于是上述過程又從頭開始不斷重復、循環。

?t>0

(26)

然后，分別對|si|>εi和|si|<εi兩種情況進行分析。

(1) 對于|si|>εi的情況，這里采用Lyapunov穩定性理論證明滑動變量si能夠在有限時間內收斂至|si|<εi。定義Lyapunov函數Li(t)為：

(27)

式中，ξi為小于γi的正常數。

對式(27)求導，由式(21)至式(24)可得：

(28)

當|si|>εi時，由式(28)進一步可得：

(29)

由式(29)可見，滑動變量si必能在有限時間內由初始值|si(0)|>εi收斂至|si|<εi。

由上述分析過程容易看出，當|si|<εi時滑動變量si并不能始終維持在該零鄰域內，但是能夠始終保持在一個具有更大收斂半徑的零鄰域中。對于式(23)所示的自適應滑?？刂坡?，當|si|<εi時顯然有βi|si|?αi(t)，此時可忽略控制律式(23)中的指數趨近項-βisi。然后再按照文獻[12]的證明過程可證，當|si|<εi時滑動變量si能夠始終保持在零鄰域|si|<δi內。限于篇幅，關于滑動變量si的收斂域的詳細分析請參閱文獻[12]，本文此處不再贅述。

由以上證明過程可知，機器人系統的滑動變量si能在有限時間內收斂至零鄰域|si|<δi，即機器人系統的真實滑動模態在零鄰域|si|<δi內存在。

3 仿真研究

為驗證本文所提出的路徑跟蹤控制策略的有效性，在Matlab環境中進行路徑跟蹤控制的數值仿真實驗。BYQ-III型球形滾動機器人的物理參數分別為:

為測試本文設計的路徑跟蹤控制器的魯棒性，假設實際機器人系統各物理參數與其名義值相差10%。數值仿真實驗中，分別取:

設球形機器人系統的初始條件為：

圖3 球心位置的變化曲線(仿真結果)

本文設計的路徑跟蹤控制器的各參數分別取為：c1=4.8，c2=0.9，ε1=ε2=0.05，β1=4.5，β2=1.3，γ1=3.4，γ2=7.5，σ1=σ2=0.1，μ1=μ2=0.1。需要說明的是，所設計的路徑跟蹤控制器中并未計入機器人系統模型參數的變化。數值仿真實驗中，選取式(30)所示的直線路徑作為球形滾動機器人的參考路徑：

f(x,y)=x-y=0

(30)

由式(30)可以看出，本文選取的參考路徑與文獻[11]選取的期望軌跡雖為同一直線，但在不同的跟蹤控制問題中參考路徑(或期望軌跡)的描述方式是完全不同的。

圖4 直線路徑跟蹤的仿真結果

仿真時間設為10 s，基于自適應滑?？刂扑惴ǖ穆窂礁櫩刂破鞯目刂菩Ч鐖D3和圖4所示，圖4中星號指示機器人的出發位置。由圖3和圖4可以看出，球形滾動機器人先由參考路徑外的初始位置出發，經過1.7 s左右球形滾動機器人準確地到達了給定的參考路徑，并在此后始終在指定的參考路徑上滾動。由仿真結果可見，本文設計的路徑跟蹤控制器控制性能良好，被控對象中存在的參數變化不確定性得到了有效抑制，從而表明本文設計的路徑跟蹤控制器具有很強的魯棒性。

4 實驗結果

為進一步驗證本文設計的路徑跟蹤控制器的有效性，利用BYQ-III型球形滾動機器人實物樣機在室外的塑膠跑道上進行路徑跟蹤控制實驗，實驗環境如圖5所示。路徑跟蹤控制實驗中，借助安裝在內部框架上的姿態測量系統和框架電機的光電碼盤，可以得到球殼的姿態角和角速度。在此基礎上，利用式(6)可得出球殼中心的速度，然后采用對速度積分的方法可以計算出球殼中心位置[11]。

圖5 塑膠跑道控制實驗環境

(30)

式中,ti表示第i次采樣時刻，m表示采樣點數量。

圖6 直線路徑跟蹤的實驗結果

5 結論

針對一種球形滾動機器人的路徑跟蹤控制問題，本文提出了一種自適應滑?？刂撇呗?。所提出的控制策略無需知道有界擾動和不確定性的上界，能夠通過動態調整控制器的切換增益使機器人系統在有限時間內進入真實的滑動模態。理論分析和仿真結果表明，本文提出的控制策略能夠保證球形滾動機器人的實際運動路徑收斂于期望的參考路徑。樣機實驗結果進一步驗證了理論分析的正確性和本文設計的滑模自適應增益控制器的跟蹤性能?；诙囿w動力學模型和視覺定位的球形滾動機器人路徑跟蹤問題是本文下一步研究工作的重點。