分圓跳頻序列的時頻二維漢明相關性

許成謙，李 鑫

(1. 燕山大學 信息科學與工程學院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室, 河北 秦皇島 066004)

0 引言

隨著跳頻通信技術的高速發展，用戶對網絡性能要求提高，用戶數快速增長，硬件成本降低，提高跳頻通信抗干擾性越來越重要。跳頻序列的漢明相關函數值是跳頻通信抗干擾性標準之一。跳頻序列的漢明相關函數值越小，跳頻通信抗干擾性越好。

目前跳頻序列漢明相關性由只包含時延變量的一維漢明相關函數表示。對跳頻序列時延一維漢明相關性的研究取得了顯著的成果[1-4]。然而，跳頻信號在傳輸過程中不僅有傳輸的時延還可能有頻率的偏移。文獻[5]基于矩陣轉換構造了低碰撞區(No Hit Zone,NHZ)跳頻序列集。文獻[6]首先將跳頻序列無碰撞區概念從時延一維擴展到同時考慮跳頻序列的時延和頻移，給出了時頻二維無碰撞區的定義，分析推導了時頻二維無碰撞區的跳頻序列理論界，并且給出了基于矩陣變換、映射和“等間隔去頻隙”構造NHZ跳頻序列集的方法，并且這些方法構造的NHZ跳頻序列集的序列長度都是ZNt+1(ZNt是一維時延無碰撞區長度)的整數倍。隨后針對時頻二維相關跳頻序列(集)的研究得到了許多結果。文獻[7]給出了跳頻序列由時頻低碰撞區邊長值、時頻二維移位漢明相關值、頻隙個數、序列的長度、序列的個數構成的理論界。文獻[8]給出了兩種分別基于Welch Costas陣列和Golomb Costas陣列構造時頻二維低碰撞區跳頻序列集的方法，并指出所構造的序列集在理論界意義下的最優性。文獻[9]研究了跳頻序列集時頻最大周期漢明相關值的理論界，分析了Cai跳頻序列集和多項式同余法構造的跳頻序列集的時頻二維周期漢明相關性。

本文給出了跳頻序列長度為奇素數，可供跳頻的載頻集分別為Ze和Ze∪{∞}上的分圓跳頻序列的時頻二維漢明自相關性的計算公式，根據計算公式可以得出分圓跳頻序列的時頻二維漢明自相關性與每個分圓集大小和分圓類個數有關，進而得到頻隙集為Ze∪{∞}的分圓跳頻序列(集)具有最優時頻二維漢明相關性的結論。

1 相關符號和概念

在本文中設a∈Ze,C?Ze其中e為正整數，Ze{0,1,2,…,e-1}為模e的剩余類環，定義：

C+a={c+a;c∈C}，

aC={ac;c∈C}。

用于控制載波頻率跳變的地址碼序列稱為跳頻序列。跳頻序列是頻率集合F={f0,f1,…,fq-1}上周期為p的序列，表示為x=(x0,x1,…,xp-1)，xi∈F，i=0,1,…,p-1。由跳頻序列組成的集合稱為跳頻序列集[10]。

1.1 跳頻序列的時頻二維漢明相關函數

定義1[7]設頻率集F={f0,f1,…,fq-1}是一個加法群，x=(x0,x1,…,xp-1)和y=(y0,y1,…,yp-1)為長度為p的兩個跳頻序列，若

其中，0≤τ≤p-1，ω∈F,

i+τ≡(i+τ)modp,i=0,1,…p-1，則稱Hxy(τ，ω)為x和y的時頻二維周期漢明互相關函數。當x=y時，稱Hxx(τ，ω)為x的時頻二維周期漢明自相關函數。

本文中用

設S是包含M個序列的跳頻序列集，其時頻二維漢明自相關最大值Ha(S),時頻二維漢明互相關最大值Hc(S)和時頻二維漢明最大值Hm(S)分別定義為

在以下討論中，為簡化起見，令HaS=Ha(S)，HcS=Hc(S),Hm=max{Ha(S)},Hc(S)}。

1.2 跳頻序列的時頻二維周期漢明相關值的理論界

文獻[7]中給出了時頻低碰撞區跳頻序列理論界。

定理1[7]設頻隙集合F={f0,f1,…，fq-1}為q階加法群。S是F上M個長度為L的跳頻序列組成的集合，[0,LHt]×[0,LHf]是S的時頻低碰撞區，Ha(S)和Hc(S)分別是最大周期漢明自相關值和互相關值，對于任意正整數Z1,Z2,0≤Z1≤LHt，0≤Z2≤LHf，有

qZ1HaS+qZ1Z2HaS+q(M-1)(Z1+1)(Z2+1)HcS≥
(Z1+1)(Z2+1)ML-Lq。

(1)

在定理1中取Z1=LHf=L-1，Z2=LHf=q-1，就可以得到跳頻序列集S的周期時頻二維漢明相關理論界。

引理1[9]設F={f0,f1,…，fq-1}為頻隙集合，F為Q階加法群。S是F上M個長度為L的跳頻序列組成的集合，那么跳頻序列集S的時頻二維漢明自相關最大值Ha(S)，時頻二維漢明互相關最大值Hc(S)和時頻二維漢明最大值Hm(S)滿足

(L-1)qHa(S)+Lq(M-1)Hc(S)≥(ML-1)L，

(2)

(3)

推論1 設頻隙集合F={f0,f1,…，fq-1}是q階加法群。在頻率集F上的跳頻序列x=(x0,x1,…，xL-1)，那么跳頻序列x的時頻二維漢明自相關最大值為

(4)

跳頻序列x的時頻二維漢明相關最大值為

(5)

證明：由引理1可知當跳頻序列集S只包含一個序列即M=1時，帶入不等式(2)即可得到不等式(4)，同理也可得到不等式(5)，證畢。

定義2 使得不等式(2)或(3)成立的跳頻序列集稱為時頻二維相關最優跳頻序列集，使得不等式(4)或(5)成立的跳頻序列稱為時頻二維相關最優跳頻序列，當Ha(x)≥[L/q]+1時，跳頻序列稱為時頻二維相關次最優跳頻序列。

2 分圓跳頻序列的時頻二維漢明相關性分析

2.1 分圓和分圓數的性質

設p=ef+1為奇素數。在有限域GF(p)上的分圓類是C0，C1，…，Ce-1，Ci={αi+te|0≤t≤f-1},0≤i≤e-1,其中α是GF(p)上的一個本原元。e階分圓數定義為(i,j)=|(Ci+1)∩Cj|，(上角標均為模運算)。

引理2[11]對于任意ω∈Ze

引理3[12]

1)對于任一整數m和n，

(i+me,j+ne)=(i,j)；

2)(i+j)=(e-i,j-i)；

2.2 頻率集上的分圓跳頻序列的時頻二維漢明相關性分析

定理2 設p=ef+1為奇素數，并且C0,C1,…Ce-1是有限域GF(p)上分圓類，α是GF(p)上的一個本原元。設F=Ze是頻率集，構造一個長度為p的跳頻序列x=(x0,x1,…，xp-1)如下：

C0={k|xk=0,0≤k

Ci={t|xt=i,0≤t≤p-1}，1≤i≤e-1，

則序列x形成一個參數為(p,e,Ha)的跳頻序列，其中

式中，n1，n2為正整數。當e和f滿足如下關系：e=2n1+1,f=2n2，或者e=2n1，f=2n2+1 ，α>2時，跳頻序列x為次最優跳頻序列。

證明：由文獻[4]可知分圓法中e階分圓類Ci(0≤i≤e-1)的每一個元素表示跳頻序列x的頻率i在序列x中位置數即時間間隔，那么跳頻序列x的時間的延遲等價于分圓類C1中每一個元素的延遲，跳頻序列x的頻率偏移即碼元占用的頻段的改變等價于分圓類Ci的i的改變，又由定義1可知h[x(i),x(i+τ)ω]=|(Ci+ω+τ)∩Ci|,則在該構造下跳頻序列x的二維漢明相關性計算公式如下：

max|{-τ}∩Cω|+|{τ}∩C-ω|，

其中，0<τ

由引理2的2)知

所以,Ha(x)的值主要由max{|{-τ}∩Cω|+|{τ}∩C-ω|}決定，由分圓時間和頻率的周期性和模運算可知-τ=p-τ，C-ω=Ce-ω，則有

max{|{-τ}∩Cω|+|{τ}∩C-ω|}=

max{|{p-τ}∩Cω|+|{τ}∩Ce-ω|}，

而|{τ}∩Ce-ω|=1必成立，|{p-τ}∩Cω|的值等價于方程

p-τ=αω+kemodp，0≤k

解數，因此有

當e=2n1，f=2n2，n1，n2為正整數時，

|{p-τ}∩Cω|=1；

當e=2n1，f=2n2+1，α=2，n1，n2為正整數時，

|{p-τ}∩Cω|=1；

當e=2n1，f=2n2+1，α>2，n1，n2為正整數時，

|{p-τ}∩Cω|=0；

當e=2n1+1，f=2n2，n1，n2為正整數時，

|{p-τ}∩Cω|=0。

綜上所述

式中，n1，n2為正整數。

當e為奇數，f為偶數，或者e為偶數，f為奇數，α>2時，將分圓跳頻序列的頻率集大小q=e，序列長度L=p，代入到推論1的式(4)中，且由定義3可知Ha(x)=f+1，跳頻序列x為次最優跳頻序列，證畢。

2.3 頻率集F=Ze∪{∞}上的分圓跳頻序列的時頻二維漢明相關性分析

定理3 設p=ef+1為奇素數，C0,C1,…，Ce-1是有限域GF(p)上分圓類，α是GF(p)上的一個本原元。設頻率集是F=Ze∪{∞}，構造一個長度為p的跳頻序列x=(x0,x1,…,xp-1)如下：

x0=∞,
Ci={t|xt=i，0≤t≤p-1},0≤i≤e-1，

則序列x形成一個參數為(p,e+1,f)的跳頻序列，且該序列為時頻二維相關最優跳頻序列。

證明：由定理2的證明可知當ω=∞時，等式(1)的右邊的最大值為0，因此

又因為頻隙集大小為e+1，然而頻隙的變化對于頻隙∞產生的變化相對于其本身值可以忽略不計，所以此時跳頻序列集時頻二維漢明相關性所對應的頻隙集大小為e，則將L=p，頻隙數為e，代入到推論1不等式(4)中Ha=「p/e?=f。又由定義3知該序列為時頻二維漢明相關最優跳頻序列。證畢。

3 頻率集F=Ze∪{∞}上的分圓跳頻序列集的時頻二維漢明相關性分析

則序列集S={x0,x1,…,xe-1}為(p,e+1,f)跳頻序列集，并且該序列集為時頻二維相關最優跳頻序列集。

證明：定理3已經證明Hxkxk(τ,ω)=f成立。下面計算xk和xl的互相關性Hxkxl(τ,ω)的值，其中0≤τ≤p-1，ω∈(0，e-1],k≠l。

當τ≠0，ω=0時，

當τ=0，ω≠0時，

其中1表示兩個序列只有一個頻率為∞時產生了碰撞,其余都沒有產生碰撞；

當τ=0，ω=0時，

當τ≠0，ω≠0時，

設τ∈Ch，由引理3的2)得

由引理3的4)得

f-1+1=f。

綜上可得Hxkxl(τ,ω)=f，即Hc(S)=f。

將L=p，q=e，代入到引理1的式(3)中滿足Hm(S)=「L/e?=f，由定義3得該跳頻序列為時頻二維漢明相關最優跳頻序列集，證畢。

4 實例

例1 設p=13=2×6+1其中e=6，f=2，并且α=2是有限域GF(13)上的本原元，分圓類如下：

C0={1,12},C1={2,11},C2={4,9}

C3={5,8},C4={3,10},C5={6,7},

根據定理2，可以構造一個(13,6,4)跳頻序列

x=(0,0,1,4,2,3,5,5,3,2,4,1,0)，
Ha(x)=f+2=4。

根據定理3，有(13,7,2)時頻二維漢明相關最優跳頻序列，

y=(∞，0，1，4，2，3，5，5，3，2，4，1，0)，
Ha(y)=2=f。

滿足最優性條件。

例2 設p=23=2×11+1，其中e=11，f=2，α=5是有限域GF(23)上的本原元，分圓類如下：

C0={1,22},C1={5,18},C2={2,21}

C3={10,13},C4={4,19},C5={3,20},

C6={8,15}，C7={6,17}，C8={7,16}，

C9={11,12}，C10={9,14}

根據定理4，可以構造一個跳頻序列y0如下：

y0=(∞，0,2,5,4,1,7,8,6,10,3,9,9,
3,10,6,8,7,1,4,5,2,0)，

Ha(y0)=2=f。

類似地，可以構造一個跳頻序列y3如下：

y3=(∞，3,5,8,7,4,10,0,9,2,6,1,1,
6,2,9,0,10,4,7,8,5,3),

Ha(y3)=2=f，Hc(y0，y3)=2=f。

同理可構造所有的yi，0≤i≤10，計算所有跳頻序列yi得Hm(yi)=2=f，則跳頻序列集S={y0,y1,…,y10}，Hm(S)=2=f，滿足最優性，所以跳頻序列集S為時頻二維漢明相關最優跳頻序列集。

5 結論

本文分別對載頻集為Ze和Ze∪{∞}的分圓跳頻序列(集)的時頻二維漢明相關函數進行了計算，由計算結果知在載頻集為Ze∪{∞}上分圓跳頻序列(集)當跳頻序列長度為奇素數時具有時頻二維漢明相關最優性。