踩點到位 分數到手

康 敏

“方程與不等式（組）”是初中數學最重要的基礎知識之一，是數學中考的重點內容和必考內容之一。這類問題都是按照先學習定義，再學習解法，最后解決實際應用問題的順序研究的。做這類題目，若抓住問題的本質，踩點解答，則可分數到手。

踩點就是踩對考試中某一些得分的點，也可以說答到點子上；踩點得分,其實就是分段得分。中考的閱卷評分辦法是踩對了多少知識點就給多少分。踩點得分的基本思想是：學會“肢解”題目，多去爭取踩分點，會做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭多得分，要有每分必爭的信念。我們一起看下面的例題。

例1求不等式組的正整數解。

【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大取中間、大大小小無解，確定不等式組的解集，在這個解集的范圍內找正整數解。

解：

解不等式①，得：x＞-2，（解一元一次不等式）

∴不等式組的正整數解是1，2，3，4。（寫出整數解）

例2已知關于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0有一個根為0，則m=______。

【解析】根據一元二次方程的解的定義，由根為0，把m=0代入原方程，列出關于m的方程。通過因式分解法解關于m的一元二次方程，求得m的值。特別考慮一元二次方程的定義，二次項系數不為0，最終確定m的值即可。

解：∵關于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0有一個根為0，

解①得m=0或m=2，（解一元二次方程）

綜上得：m=2。（綜合求出最終結果）

例3求證：不論m取何值，關于x的方程（x-1）（x-2）=m2總有兩個不相等的實數根。

【解析】要判斷一元二次方程的根的情況，就要想到一元二次方程的根的判別式，而求根的判別式的前提是一元二次方程是一般形式。計算出根的判別式的值為1+4m2，利用平方的非負性、不等式的性質判斷出判別式的符號。

解：化簡，得：

x2-3x+2-m2=0，（化一元二次方程一般形式）

∵m2≥0，

∴4m2≥0，

∴1+4m2＞0，（判斷根的判別式與0的大小關系）

∴b2-4ac＞0，

∴不論m取何值，關于x的方程（x-1）（x-2）=m2總有兩個不相等的實數根。

例4已知a、b、c均為實數，且|b+1 |＋（c+3）2=0，求方程ax2+bx+c=0的根。

【解析】由二次根式非負性、絕對值的非負性、平方的非負性，可以得出3個分別關于a、b、c的一元一次方程，解一元一次方程，求出a、b、c的值，再把它們代入所求方程，最后用公式法或配方法求出一元二次方程的解。

解：∵≥0，| b +1 |≥0，（c+3）2≥0，且＋ |b +1 |＋（c+3）2=0，

∴a-1=0，b+1=0，c+3=0，（由具有非負性的3個整體之和為0得出方程）

∴a=1，b=-1，c=-3，（解一元一次方程）

把a=1，b=-1，c=-3代入ax2+bx+c=0得：

x2-x-3=0，（代入得方程）

即x1=。（解一元二次方程）

例5已知關于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=p（p+1）。

（1）試證明：無論p取何值，此方程總有兩個實數根。

（2）若原方程的兩根 x1、x2滿足 x12+x22-x1x2=3p2+1，求p的值。

【解析】（1）將原方程變形為一元二次方程的一般式，根據方程中各項的系數，計算出根的判別式b2-4ac的值，正好符合完全平方公式的特征，把它寫為平方形式，即可證出：無論p取何值，此方程總有兩個實數根；（2）由完全平方公式的變形，把x12+x22-x1x2=3p2+1轉化為兩根之和與兩根之積的整體形式，這樣就需要利用一元二次方程根與系數的關系，代入后化為關于p的方程，解出即可。同學們即使不會做第一問，也可以直接做第二問，得第二問的分數。

（1）證明：原方程可變形為x2-5x+6-p2-p=0，（化一般形式）

∵a=1，b=-5，c=6-p2-p，（求出根的判別式）

∴b2-4ac=（-5）2-4×1×（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，

∴無論p取何值，此方程總有兩個實數根。（配方后再判斷）

（2）解：∵原方程的兩根為x1，x2，且a=1，b=-5，c=6-p2-p，

∴x1+x2=-=6-p2-p，（計算根與系數關系）

又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，

∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，（完全平方公式的變形）

∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，（代入變為方程）

∴25-18+3p2+3p=3p2+1，

∴3p=-6，

∴p=-2。（解方程，求出p的值）

例6“綠水青山就是金山銀山”。為保護生態環境，A、B兩村準備各自清理所屬區域養魚網箱和捕魚網箱，每村參加清理人數及總開支如下表：

10 16 68000村莊清理養魚網箱人數/人清理捕魚網箱人數/人總支出/元A B 15 9 57000

（1）若兩村清理同類漁具的人均支出費用一樣，求清理養魚網箱和捕魚網箱的人均支出費用各是多少元。

（2）在人均支出費用不變的情況下，為節約開支，兩村準備抽調40人共同清理養魚網箱和捕魚網箱，要使總支出不超過102000元，且清理養魚網箱人數小于清理捕魚網箱人數，則有哪幾種分配清理人員方案？

【解析】本題主要是二元一次方程組與一元一次不等式組的實際應用問題。（1）學會審題，找出已知量、未知量，設清理養魚網箱的人均費用為x元，清理捕魚網箱的人均費用為y元，根據A、B兩村莊總支出的數量關系列出關于x、y的方程組，解之可得；（2）設m人清理養魚網箱，則（40-m）人清理捕魚網箱，根據“總支出不超過102000元，且清理養魚網箱人數小于清理捕魚網箱人數”列不等式組求解即可，特別注意最后的解要符合實際情況。

解：（1）設清理養魚網箱的人均費用為x元，清理捕魚網箱的人均費用為y元，

解這個方程組，得：x=2000，y=3000，（求出方程組的解）

答：清理養魚網箱的人均費用為2000元，清理捕魚網箱的人均費用為3000元。（寫出答案得分）

（2）設m人清理養魚網箱，則（40-m）人清理捕魚網箱，根據題意，得：（列不等式組）

解這個不等式組得：18≤m＜20，（解不等式組）

∵m為整數，

∴m=18或m=19，（取整數值）

則分配清理人員方案有兩種：

方案一：18人清理養魚網箱，22人清理捕魚網箱；方案二：19人清理養魚網箱，21人清理捕魚網箱。（分情況討論并寫出答案）

綜上，我們看到，對于方程與不等式類題目，要仔細找準題目中的已知、未知量以及與之相關的數學知識，學會分析。我們要下功夫去研究其命題特點、解題切入點與解題模型，注重知識間的聯系，萬變不離其宗，學會找準知識點，能拿的分數一定要拿到。