以生為本，在“數”“形”之間探索規律
——《數與形》磨課及思考

○馬向葵

“數學廣角”的教學內容活動性和操作性較強，我們應力求為學生創設充分探究的空間，突出學生的主體地位，彰顯“把學生放在課堂正中央”的教學理念。出于這樣的考慮，磨課前，我們一起研讀了課標，鉆研了教材，決定對原有的教學素材進行再創造。

本節課教學例1：借助圖形計算從1開始連續奇數相加的和。教學內容中“形”的問題包含著“數”的規律，“數”的問題也可以用“形”來幫助解決，數形聯系緊密。對于情境圖的呈現方式，備課中大家出現了分歧：先出示算式？還是先出示圖形？我們從不同角度進行分析，各有各的道理。情境圖中“數”與“形”該如何呈現？接下來該如何組織教學？一系列的問題擺在面前。除了要考慮教學內容外，我們還需研究學生，做到有效教學。帶著這樣的疑惑與思考開始磨課。

一、“數”“形”誰先行？

1.“數”先行。

先出示1=（ ）2，1+3=（ ）2，1+3+5=（ ）2，目的是讓學生通過計算得到4=22，9=32。學生能夠在教師的引導下看到平方數聯想到正方形，但是這種“數”“形”之間的對應關系是在引導下一步步找到，至于這些連續的奇數在圖形中的什么地方，平方數代表的又是圖形中的什么，學生似乎并不關心，他們只關注怎樣算。課后隨機采訪，有學生說：“老師，你出示算式讓我們計算，我們都能算對。為什么還給圖形呢？”

學生的話引發了我的思考：先出示“數”，這樣的設計有些行不通，沒有考慮到學生的認知水平和思維方式。學生在解決問題時并沒有把圖形的變化與求自然數奇數列的和對應起來，沒有發現其中蘊含的數學規律，所以也就沒有體會到借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象。

要想把課設計得更合理，把握數學本質和研究學生同樣重要。我們要努力站在學生的角度去分析問題，尊重學生的已有知識經驗。了解到學生的已有認知，教學環節需要進一步調整。

2.“數”與“形”并行。

討論后決定遵循教材試講。圖形與算式同時出示，預設學生在完成計算的同時能夠與對應圖形建立聯系：比如算出“1+3=22”后能夠與邊長是2的正方形建立聯系，算式中的連續奇數對應著圖形與圖形之間增加的小正方形。但是，算式中的加數不斷增加時，學生又開始脫離圖形，去研究算式中加數的個數與平方數之間的關系，沒有達到預期的效果。

這次學生能夠自主探索規律，比較、發現并歸納出結論。雖然課堂比較順暢，但是沒有突顯“數”與“形”的緊密聯系。

3.“形”先行。

先出示圖形，學生認真觀察，然后用不同的“數”來表達自己發現的規律。學生因為觀察角度的不同，匯報交流時出現了不同的規律：有的用“1，4，9，16”，有的用“1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16”，還有的用“1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16”。雖然觀察、思考的角度不同，但是他們已經把“數”與“形”建立起了關系。

這次試講做到了從學生的角度看待問題，真正讓學生做了學習的主人。好的數學課堂一定是從“教師的教”走向“學生自主的學”，讓學生多一點合作，多一點分享，多一點探究，多一點發現。學生有了個性的思考和清晰的表述，他們的主體地位就突顯了出來。

二、“數”“形”不分家

因為尊重了學生的認知，學生既能發現加數中有規律，又能發現和中也有規律，進而通過推理，逐步抽象，形成模式，得到“計算從1開始的連續奇數之和等于加數個數的平方”這樣的結論。

通過上面的研究，學生已經得出1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42這樣的等式，如果繼續出示像前面那樣更多的算式，學生很容易發現規律，得到結論?？墒俏也]有這樣安排，既然學生的思維已經被充分調動起來，我更愿意看到學生更深入的思考，通過以下環節讓學生充分地感受“數”與“形”之間的關系。

首先出示“1+3+5+7+9”，提出更為發散的問題：看到這個算式，你會想到什么？有了前面積累的學習經驗，學生不僅得到“1+3+5+7+9=52”這樣的等式，和等于25，而且還想到邊長是5的正方形。此時下結論還過早，讓學生慢慢感悟“數”與“形”之間的關系，比如怎樣理解52中的“5”。通過觀察、比較，學生很容易說出“5”既是算式中加數的個數，也是對應的正方形邊長的數量。抽象的數與直觀的圖很好地結合在一起，同時也可以進一步驗證學生的已有猜想。

然后出示“72，100”，目的是充分引發學生的想象，利用數值的變化讓他們充分感受“數”與“形”的聯系。創設合情的推理過程，遵循學生的認知規律，讓學生積極參與進來，體驗觀察、猜想、比較、驗證的過程，讓學生在逐步感知的過程中“悟”出道理。

三、應用規律，拓展學生視野

在解決問題環節出示“1+3+5+7+9+7+5+3+1=（ ）”和“5+7+9=（ ）”兩道題。第一道題可以看成兩個算式：1+3+5+7+9=52，7+5+3+1=42，和就是52+42=41。第二道題有意把“1+3”舍去，加大了難度，看似不同，但與第一題有緊密聯系，思維含量更高。經過思考，學生很快有了結果，說：“假設前面加上1+3，這樣可以組成‘1+3+5+7+9’，和等于52，然后減去22。也可想象成一個邊長是5的正方形里面減去一個邊長是2的正方形，所以‘5+7+9’就是52-22=21?！钡人f完，我動態演示課件，借助直觀的圖形，讓學生充分感受“數”與“形”之間的密切聯系。

接下來和學生一起感受乘法分配律、勾股定理中的“形”，體會“數”與“形”相互依存、不可分割的關系。

課已經結束，思考卻未停止。這次磨課使我認識到：在備課中要充分研讀教學素材，結合自身實際做到恰當的取舍，改變原來的“教教材”，同時要結合學生實際設計合理的教學環節。學生是課堂的主人，走進學生，才能懂得學生是怎樣思考問題；聆聽學生，才能使教與學逐步達到統一；放開學生，才能讓他們的思考更加有序、有深度。