非等邊三面角反射器RCS的解析表達與有效散射區域分析

閆華，李勝，殷紅成

(1.中國傳媒大學信息工程學院 北京 100024；2.電磁散射重點實驗室，北京 100854)

1 引言

在較大入射角度范圍內，三面角反射器能將入射電磁波反射到相反的方向上去，從而具有較強的后向雷達散射截面積(RCS)。正是由于該優點，三面角反射器被廣泛應用到雷達標定、雷達干擾、海上搜救、雷達目標物理模擬等領域[1][2]。另外，三面角結構普遍存在于車輛、艦船等實際人造目標中，是目標散射特性的主要貢獻源。因此，研究三面角反射器的散射特性具有重要的實用價值。

三面角反射器主要由三個相互垂直的平板構成，較為常用的三面角反射器包括正方板角反射器、三角板角反射器和圓板角反射器[2]。由于它們都是采用完全相同的三塊平板組成，所有它們均屬于等邊的三面角反射器。一些經典著作與若干文章對等邊三面角反射器的RCS進行了詳細的探討[3]-[6]，給出了RCS計算公式、半功率點寬度和全姿態角平均RCS值等特性。盡管如此，實際目標中的三面角結構都屬于非標準的、非等邊的三面角反射器，因此需要研究非等邊三面角反射器RCS特性及計算公式，但關于這方面的工作相對較少。文章[7]通過一些類典型體散射的解析式來表征復雜目標用于SAR目標識別，但典型體中三面角仍然采用標準的等邊角反射器結構，從而造成其RCS在大角度范圍內偏離實際目標中的非標準三面角反射器結構。本文作者在前面的文章[8]中給出了非等邊的三角板角反射器和正方板角反射器RCS的解析計算公式，并通過電磁仿真數據進行了驗證，但文中沒有給出詳細的推導過程，而這在新型RCS模擬單元設計等一些感興趣的研究和應用場合往往是必要的。本文將針對非等邊三角板型三面角反射器，給出RCS計算公式的詳細推導過程，并著重分析對目標后向RCS具有實際貢獻的有效散射面積。

2 理論推導

圖1 三面角反射器幾何外形、坐標系與雷達方向等參數的定義

rx=sinθcosφry=sinθsinφrz=cosθ

(1)

根據文獻[3]，一般的三面角RCS可以表示成一等效平板RCS，計算公式為：

(2)

(3)

其中

l=min{rx，ry，rz}m=mid{rx，ry，rz}n=max{rx，ry，rz}

(4)

min{·，·，·}、mid{·，·，·}、max{·，·，·}分別表示取括號內三個元素的最小值、中間值和最大值。

對于一般的非等邊三面角情形，(3)不再適用，下面將基于幾何光學(GO)法推導其解析形式。推導過程分成三個步驟，首先給出直線傳播射線的投影變換公式和單次彈射射線的方向變換公式，詳見2.1節和2.2節；其次，基于前兩節得到的公式推導射線經過三面角三個面的三次彈射過程中彈射點之間的投影變換矩陣和方向變換公式，詳見2.3節；第三，確定有效散射區域，詳見2.4節；最后，給出等效散射面積Seff的解析表達式，實現非等邊三面角反射器的解析表示，詳見2.5節。

2.1 直線傳播射線的投影變換公式

(5)

其中s為路程參數，此時，位置矢量P表示成單參數s的函數。 式(5)的分量形式為：

x=x0+stxy=y0+styz=z0+stz

(6)

(7)

寫成坐標的線性方程：

nxx+nyy+nzz=d

(8)

設入射射線在平板Ф上的彈射點為PΦ，則反射點PΦ可由式(6)和(8)確定，將式(6)代入(8)，有

nx(x0+sΦtx)+ny(y0+sΦty)+nz(z0+sΦtz)=d

(9)

于是，可以得到反射點的s參數值：

(10)

由于反射點PΦ可以表示成

(11)

則將(10)代入(11)，可得射線投影公式：

(12)

(13)

2.2 單次彈射射線的方向變換公式

(14)

(15)

2.3 三次彈射射線的投影變換公式與方向變換公式

顯然，對于三面角的三次彈跳射線，存在著6種射線傳播路徑：S1→S2→S3、S3→ S2→ S1、S1→ S3→ S2、S2→ S3→ S1、S2→ S1→ S3、S3→ S1→ S2。

(16)

(17)

同樣，第二次在S2上發生鏡面反射的彈射點與反射射線方向

(18)

(19)

同樣，第三次在S3上發生鏡面反射的彈射點與射線方向

(20)

(21)

假設第三次反射射線投射到一個垂直于射線方向并且通過O點的平面(記為S4)上，于是

(22)

也就是說，PS4與P0在平面S4上投影兩者對于O點對稱(即互為中心反演)。

另外，根據上面的推導，定義投影變換矩陣

(23)

(24)

(25)

(26)

分別對應特定射線軌跡上的點從P0→ S1、S1→ S2、S2→ S3、S3→ S4的映射矩陣。顯然，平面S1、S2、S3中的線段之間的變換關系仍然滿足這四個映射矩陣。

2.4 投影到平面S4上的等效散射區域

三面角反射器的三個三角板S1(三角形OBC圍成的區域)、S2(三角形OAC圍成的區域)、S3(三角形OAB圍成的區域)分別沿射線傳輸路徑S1→S2→ S3→S4向面S4投影。

首先，面S3(OAB)沿射線路徑S3→S4直接投影到S4面上得到三角形區域OA′B′，此時需要考慮投影矩陣T34，則投影點A′、B′的坐標是

(27)

(28)

其次，面S2(OAC)沿射線路徑S2→S3→S4經一次反射投影到S4面上得到三角形區域OA″C″，此時需要考慮投影矩陣T234=T34T23，則投影點A″、C″的坐標為

(29)

(30)

也就是說投影點A″與A′重合，C″為C′關于O點的中心反演。

最后，面S1(OBC)沿射線路徑S1→S2→S3→S4經二次反射投影到S4面上得到三角形區域OB′″C′″，此時需要考慮投影矩陣T1234=T34T23T12，則投影點B′″、C′″的坐標為

(31)

(32)

也就是說投影點B′″、C′″分別為B′、C′關于O點的中心反演。

圖2給出了三個三角板區域S1、S2、S3沿射線傳輸路徑S1→S2→ S3→S4在面S4上的投影。其中，三角形OA′B′為OAB在S4面上的投影區域；三角形OA″C″為OAC在S4面上的投影區域；三角形OB′″C′″為OBC在S4面上的投影區域。顯然，所有沿三次彈射路徑S1→S2→ S3→S4的出射射線對應三個投影區域OA′B′、OA″C″、OB′″C′″的重疊區域(即圖中粉色區域)，該區域即為投影到S4面上的有效散射區域，其面積為路徑S1→S2→ S3→S4所對應的等效散射面積。

圖2 沿著S1→S2→S3→S4路徑傳輸射線的等效散射區域 (即OA′B′、OA″C″、OB′″C′″三者的重疊區域)

對于其它5種路徑，可以進行類似的分析。綜合考慮所有的6種路徑，可以得到如圖3所示的等效散射區域。三面角三次反射的有效區域為三角形ABC在S4上直接投影的三角形區域A′B′C′、ABC經一次反射在S4上投影的六邊形區域A′C′″B′A′″C′B′″，以及ABC經二次反射在S4上投影A′″B′″C′″(即A′B′C′關于O以雷達視線為軸的中心反演)三者之間的重疊區域(六邊形區域)。重疊區域的面積即為三面角反射器的總等效散射面積Seff。下一小節將計算這個等效散射面積Seff。

圖3 三面角反射器總等效散射面積 (即投影的三角形區域A′B′C′與A′″B′″C′″的重疊區域，A′″B′″C′″可由A′B′C′繞O點以雷達視線為軸旋轉180°所得到)

2.5 等效散射面積的計算公式

由非等邊三面角的直角邊長為a、b、c，則三個三角板的面積為

(33)

于是，對于A、B、C在S4上的直接投影A′、B′、C′，有

(34)

(35)

(36)

則一次彈射投影區域A′B′C′的面積為

(37)

如果設

wx=bcrx，wy=cary，wz=abrz

(38)

于是，式(34)-(37)變為

(39)

(40)

(41)

(42)

由于等效散射面積Seff等于SA′B′C′減去三個小三角形(分別以A′、B′、C′為頂點的小三角形區域，記為SA′m、SB′m、SC′m)的面積。

先來計算SA′m。設A′A′″分別與B′″C′″和B′C′交于E′和F′(如圖3所示)，有

(43)

由于顯然有|OE′|=|OF′|，則

(44)

即

(45)

同理，對于SB′m和SC′m有

(46)

(47)

于是，有效面積Seff為

(48)

實際上，上面的推導隱含了條件A′、B′、C′在三角形ABC的外面，此時有

l+m≥n

(49)

其中

l=min{wx，wy，wz}=min{bcrx，cary，abrz}m=mid{wx，wy，wz}=mid{bcrx，cary，abrz}n=max{wx，wy，wz}=max{bcrx，cary，abrz}

(50)

其中雷達視線方向分量(rx，ry，rz)由式(1)給出。

那么，當(49)不滿足時，例如，當wy+wz≤wx，等效面積Seff應為

(51)

考慮，一般的情況

l+m≤n

(52)

滿足時，有

(53)

于是，總結一下式(48)和(53)，非等邊三角板型三面角反射器的等效散射面積為

(54)

得到了等效散射面積Seff，由公式(2)即可計算非等邊三角板型三面角反射器的RCS值。

3 在三個板面上的有效散射區域

2.4節給出的是投影到平面S4上的等效散射區域，下面進一步分析三面角反射器的三個板面上的有效散射區域。

圖4 傳播路徑S1→S3→S2和S2→S3→S1上的射線集經過的三個三角板面的有效散射區域(標黃色的區域)

圖5 傳播路徑S1→S2→S3和S3→S2→S1上的射線集經過的三個三角板面的有效散射區域(標綠色的區域)

圖6 傳播路徑S2→S1→S3和S3→S1→S2上的射線集經過的三個三角板面的有效散射區域(標紅色的區域)

圖7 所有傳播路徑的所有射線經過的三個三角板面的有效散射區域(標不同顏色的區域，與圖4-6中的顏色定義相同)

由于6個傳播路徑上存在著兩兩互為可逆的傳播路徑，而可逆的傳播路徑經過三個板面的有效散射區域是相同的，因此圖4-6分別針對每一對可逆傳播路徑給出了射線集經過的各三角板平面的有效散射區域(以在S4平面上投影的方式顯示)。從圖中可以看出，在特定可逆傳播路徑下不同板面的有效散射區域的位置存在差異。例如圖4所示，OAC和OBC上的有效散射區域為以OA和AC上線段為邊的四邊形區域，而OAB上的有效散射區域則是以OA和OB上線段為邊的四邊形區域，該區域靠近三面角的頂點O。圖5、圖6的情況類似。如果將圖4、圖5、圖6所對應的三個有效散射區域合并在一起顯示，如圖7所示，可以看出，三個板面靠近三面角頂點O的區域對兩組互逆傳輸路徑的射線起作用，而遠離三面角頂點O的區域只對一組互逆傳輸路徑的射線起作用。因此，如果三個板面靠近三面角頂點O的區域發生變化，對目標的RCS將產生更大的影響。該分析結果可為三面角反射器的新型改進設計提供依據。

4 結論

本文針對非等邊的三角板型三面角反射器，基于幾何光學原理詳細推導了角反射器RCS計算公式。在推導過程中，根據幾何關系確定了對目標后向RCS具有實際貢獻的等效投影區域，得到了等效散射面積的解析表達形式。本文也分析了三面角反射器三個板面上的有效散射區域，以及不同位置對目標RCS貢獻的重要程度。本文的方法與結果對目標識別中目標三面角結構的幾何特征提取以及目標特征控制中三面角反射器的改進設計等應用具有指導意義。