黃秀旺
數學知識之間是彼此聯系的,如果我們明晰這種聯系,必將使我們的學習更加輕松且更為有效?!皟绲倪\算”與哪些數學知識有必然的聯系呢?我們將從整式運算的角度分析學習“冪的運算”的必然性,再從數的運算的角度分析“式(代數式)”與“數”的一致性。
一、為什么要學冪的運算?
回答“為什么要學冪的運算”,先要回顧整式及其運算。我們已經學習了單項式及其系數、次數,多項式及其項數、次數,整式及整式的加減運算等,而整式的加減運算的實質是合并同類項,并且整式的加減運算中我們運用了加法的交換律和結合律。
類比有理數的運算,你認為接下來我們要研究整式的什么運算?回顧研究有理數運算的過程,我們經歷了有理數的加法、減法,然后是乘法、除法,最后是乘方的學習。因此類似的,在學習了整式的加減運算后,也應當學習整式的乘法、除法,乃至乘方。
整式是單項式與多項式的統稱,我們可以設想整式的乘法包括單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式。其中,多項式乘多項式較為復雜,比如(3x+2y)(2x-3y),我們可以把(3x+2y)看成一個字母A,則(3x+2y)(2x-3y)=A·(2x-3y)=A·2x-A·3y=(3x+2y)·2x-(3x+2y)·3y=3x·2x+2y·2x-3x·3y-2y·3y(還需繼續計算)。這其實就是利用分配律將多項式乘多項式轉化為單項式的乘積之和,再利用乘法交換律、結合律進行單項式乘單項式的運算。所以,上述三種基本類型的乘法,是以單項式乘單項式為基礎的。而單項式的乘積有三種基本類型:同底數冪的乘法am·an,冪的乘方(am)n,積的乘方(ab)n。只要我們知道了它們的運算法則,就可以用乘法的交換律、結合律以及這些法則進行單項式的乘法運算了。
因此,學冪的運算就是為了進一步學習整式的乘法運算。