GPS單點定位原理教學實踐研究

張守建

摘 要 GPS單點定位是各種GPS精密定位的基礎，目前課堂教學中僅講授GPS單點定位的幾何原理，很少提及其詳細的數值求解過程。本論文給出了GPS單點定位中的兩個關鍵步驟的算法：1）GPS衛星信號發射時刻和衛星位置的計算方法；2）GPS單點定位的計算方法，這兩個部分結合形成了GPS單點定位的迭代計算方法，為學生掌握單點定位的原理和算法打下基礎。

關鍵詞 GPS 單點定位 最小二乘

全球定位系統（Global Positioning System，簡稱GPS）可為車輛、船只、飛機等各種移動用戶提供全天候高精度導航、定位與授時，極大地促進了社會信息化水平。GPS單點定位技術是指采用單臺接收機的偽距觀測值求解接收機位置和接收機鐘差的方法，是導航、定位與授時等功能中的核心算法。

在高精度定位領域，大地測量學者發展出了更高定位精度的差分定位技術、RTK定位技術和精密單點定位技術等多種高精度定位方法，在這些定位技術中，其核心也是依托于單點定位技術，不同之處在于如何更加精細地處理各種系統誤差。

因此，在“GPS原理與方法”這門課程中，把單點定位技術講清楚是后續學習各種精密定位方法的關鍵所在，目前我們在講授單點定位內容時，一般只講授幾何定位原理，其求解的具體過程涉及很少。為了更好地讓學生掌握這部分內容，本論文闡述了GPS單點定位中幾個關鍵步驟，并給出了詳細分析過程，以期達到讓學生掌握這一核心算法的目的。

1 偽距觀測方程

接收機以確定的時間間隔（通常情況下為30s）來讀取并記錄數據，假設接收機的讀取時間為，那么接收機對衛星的觀測方程可以寫為：

（1）

其中為信號接收時刻，為GPS衛星信號發射時刻，為真空中光的傳播速度，需要注意的是，由于接收機和衛星上自帶的時鐘系統均包含有各自的系統誤差，與標準的GPS時間系統并不能保持一致，上述接收時刻和發射時刻分別可以表示為：

（2）

（3）

為了表述清晰起見，這里將時刻定義為鐘面時刻，將t定義為真實時刻，將公式（2）和（3）代入到公式（1），偽距觀測方程可以整理為：

為了更清楚地闡明單點定位求解過程，上述偽距觀測方程中沒有考慮相對論效應，電離層延遲，對流層延遲等系統誤差，但在實際定位中需加以考慮。

假設已知信號發射真實時刻ts，根據GPS導航電文中給出的衛星軌道根數和衛星鐘差等參數，即可計算出對應時刻的衛星軌道和衛星鐘差s，將衛星軌道和衛星鐘差代入到觀測方程（4）后，剩下4未知參數，分別為接收機位置和接收機鐘差，然后采用第3節的最小二乘方法可得到這些未知參數的解。

在計算衛星軌道和衛星鐘差時，需要已知信號發射的真實時刻，而在接收機觀測值文件中（比如RINEX文件中），我們僅知道信號接收鐘面時刻和對應時刻的偽距觀測值，是否可以利用信號接收鐘面時刻代替發射真實時刻來計算衛星軌道和鐘差呢？答案是否定的。因為GPS衛星軌道高度在20000公里左右，信號從衛星到地面接收機大概需要0.075s，GPS衛星運動速度約為3.9km/s，因此其誤差可達為290m左右，這會嚴重降低單點定位精度，因此GPS衛星信號發射真實時刻的計算是求解單點定位的關鍵所在。

2衛生信號發射真實時刻計算方法

為了計算信號發射真實時刻，把觀測方程（1）進行整理：

（7）

將方程（3）代入上式，可得信號發射真實時刻為：

（8）

從公式（8）可以看出，根據信號接收鐘面時刻和偽距觀測值，并根據導航電文，就可以計算出衛星信號發射的真實時刻，然而衛星鐘差的計算也需要信號發射真實時刻，因此需要對公式（8）進行迭代計算，過程如下：

需要注意的是，衛星鐘差數值一般10-4s到10-5s之間，其精度一般跟GPS衛星搭載的原子鐘的精度相關，目前搭載的GPS衛星有三類原子鐘，包括銣原子鐘，銫原子鐘和氫原子鐘，其中銣原子鐘相對穩定度在10-12s/s，銫原子鐘為10-13s/s，氫原子鐘為10-14s/s?？紤]到上述衛星鐘差的數量及精度，上述迭代公式一般需要計算2次就可以滿足單點定位精度求。此外，上述求解過程中，偽距的觀測誤差也是可以忽略的，因為其距離誤差約為10m，對應時間誤差為10-8s，衛星運動距離小于1mm。

上述迭代計算過程是基于偽距觀測方程的，事實上衛星信號發射真實時刻還可以從真實幾何距離方程得到，我們知道幾何距離方程為：

（9）

變換上述方程可得：

（10）

可見上述方程也需要進行迭代計算，具體過程為：

上述迭代過程，接收機真實時刻t的計算需要知道接收機鐘差，而接收機鐘差是未知的，因此只能利用接收機鐘面時刻T代替，其最大誤差為1ms，對應的衛星運動距離為3.9m左右，與偽距觀測值精度相當，可以忽略。幾何距離的計算需要知道接收機位置和衛星位置，接收機位置可以先假設一個合理的大概位置，一般可設置為（0，0，0），衛星位置可以根據衛星發射時刻利用導航電文計算得到，具體請參考（李征航，黃勁松，2005）。需要注意的是，導航電文中GPS衛星位置是地心地固坐標系，不同時刻衛星位置所屬的參考框架是不同的，由于信號發射時刻和信號接收時刻參考框架是不同的，因此需要對由于地球自轉引起的參考框架旋轉進行改正。

上述兩種迭代算法在單點定位中都常用到，第一種迭代算法速度更快，也更容易理解；第二種迭代算法需要根據接收機位置計算幾何距離，所以需要和單點定位整體迭代過程結合在一起，也更加復雜。此外，實際計算時，上述算法均需考慮相對論效應，否則定位精度會受到影響。

3 GPS單點定位參數估計方法

從GPS偽距觀測方程（6）可以看出，單點定位觀測方程是一個非線性觀測方程，為了數值求解這個方程，首先應該將其線性化，然后采用最小二乘法來估計未知參數。

首先，將觀測值表達為一個模型值和誤差項：

（11）

根據泰勒級數展開法則（Taylor's theorem），將模型在初始值（也稱為先驗值）附近展開，并舍棄掉二階及高階小項，可得：

（12）

注意上述偏導數也需要使用先驗值進行計算，于是殘差觀測值也就是實際觀測值與模型計算值之差，此時線性化觀測方程可寫為：

（13）

寫成矩陣形式：

（14）

假設在當前歷元觀測了m顆衛星，那么觀測方程可以寫為：

（15）

將其寫成矩陣形式： （16）

上述觀測方程描述了殘差觀測向量b與未知參數向量x之間的線性函數，因此被稱為線性化觀測方程，觀測方程中殘差向量v是未知的，需要在參數估計后確定。假設未知參數向量x的估值為，根據最小二乘原理，其解為：

=（ATA）-1ATb （17）

需要注意的是，由于觀測方程是非線性的，上述計算過程需要進行多次迭代，直到待估參數的解收斂為止。（下轉第131頁）（上接第108頁）

根據上述衛星發射時刻計算時間和參數估計方法，GPS單點定位的流程圖如圖1所示。

4 結語

GPS單點定位技術是導航、定位和授時的基礎，也是差分GPS和RTK技術等精密定位技術的基礎，本論文從GPS單點定位實現的流程著手，給出了兩種不同的衛星發射時刻和衛星軌道計算方法，然后介紹了單點定位估計方法和注意事項，最后給出了GPS單點定位的整個數值計算流程圖，為學生掌握單點定位技術的核心流程和關鍵點提供指導。

參考文獻

[1] 李征航，黃勁松.GPS測量原理與數據處理.武漢大學出版社，2005： 152-278.

[2] 周中謨，周琪.GSP衛星測量原理與應用[M].北京測繪出版社，1997.

[3] Blewitt， G. （1997）. Basics of the GPS Technique： Observation Equations. In Geodetic Applications of GPS， p. 10-54， ed. B. Johnson， Nordic Geodetic Commission， Sweden， ISSN 0280-5731.

[4] GNSS - Global Navigation Satellite Systems： GPS， GLONASS， Galileo （2008）. More Hofmann-Wellenhof， Lichtenegger， Wasle， Springer/Wien New York.