張昱
摘 要 在日常生活中,我們經常遇到諸如產量多少、利潤多少、用料多少、效率高低等問題,而這些問題我們稱之為生活中的優化問題。數學中的導數是求函數最大(?。┲档挠辛ぞ?,我們利用這個工具,往往很方便解決這些優化問題。
關鍵詞 生活 優化 導數
導數是數學中一個重要的概念,它在日常生活、工作和科學研究中有著廣泛的應用,當需要定量研究相對于自變量的函數變化時,比如:物體的運動速度,電流強度等參數,我們可以利用數學中的一個重要工具——導數來處理這些問題,如果要進行這些問題的優化時,其中導數在這些解決方法或工具中顯得最方便、快捷。
1 生活中的優化問題
1.1 優化問題
在實際生活中,導數的應用主要是解決有關函數最大值或最小值問題,包括以下幾個方面:與幾何有關的最值問題; &與物理學有關的最值問題; 與經濟中利潤及其成本有關的最值問題; o效率最值問題。
在經濟學中,我們經常用到邊際成本的概念:生產成本關于產量的導函數。邊際成本是這樣定義的:當產量為時,生產成本的增加速度。另一種意思表述為:當產量為時,每增加一個單位的產量,需要增加個單位的成本。
1.2 解決優化問題的基本方法與思路
常用解決優化問題的基本方法與思路又是怎樣的呢?首先是需要分析這些問題中有哪些變量,這些變量關系如何?然后建立合適的數學模型,也就是轉換用函數表示的數學問題,注意一定要確定函數的定義域。最后就是要通過解決數學模型來解決實際問題,當然解決方法有很多很多,而導數最實用、方便。具體路線見圖1。
2 解決生活中的優化問題注意事項
利用導數解決優化問題,其本質上就是求函數的最大值或最小值,需要注意:
(1)當問題涉及多個變量時,應該搞清楚這幾個變量的之間關系,然后想辦法建立這幾個變量之間的數學函數關系式;
(2)要注意數學函數關系式中自變量的取值范圍,也就是確定它的定義域,這一步非常關鍵;
(3)最后我們通過解答數學模型所得的結果,必須與我們所要解決生活優化問題一致,不能失去它的實際意義。
3 利用導數解決生活中的優化問題
利用導數解決生活中的優化問題的一般步驟:
(1)首先建立數學模型,研究變量間的關系,確定自變量的取值范圍,列出函數關系式;
(2)然后令導數,可以得到所有實數根;
(3)將所有實數根代入函數得到各個根的函數值大小,與函數在定義域內端點的函數值進行比較,從而確定函數的最大值或最小值,當然我們必須考慮這些最值在生活中的實際意義。
3.1 用料問題
某一農民想利用自家現有的一面墻,利用籬笆圍成一個面積為100平方米的長方形圍場,如圖2所示,要使圍場所用的籬笆最節省,則這個圍場的長和寬應該為多少米?
(2)由(1)知,
令,得,所以=64。
當時<0,在區間(0,64)內單調遞減;
當時,在在區間(64,640)內單調遞增,
所以在=64處取得最小值,此時,。
故需新建9個橋樁才能使最小。
用料最省、費用最低問題出現的形式多與幾何體有關,解題時根據題意明確哪一項指標最?。ㄍ獜膸缀误w的面積、體積入手),我們可以將該項指標表示為關于自變量的函數,在自變量的變化范圍內,利用導數求出函數的最小值。
3.3 利潤問題
為了適應市場的不斷變化,某工廠為提高經濟效益,現對現有的一條加工生產線進行升級改造,經過調查研究測算,工廠產值的增加值與升級改造投資之間滿足函數關系式:,其中;為常數;,。工廠產值的增加值與升級改造投資的單位均為萬元。(已知) 求:
(1)工廠產值的增加值的表達式;
(2)工廠升級改造后利潤的最大值(保留一位小數)。
解:(1) 由條件可得解得:
則
(2),
則
令,則或,
當1≤x<5時,P'(x)<0,故P(x)在(1,5)內是減函數;
當5
當50 又∵(萬元), P(1)=0.545(萬元)。 ∴當x=50時,P(x)取最大值,(萬元)。 即該工廠升級改造后利潤P(x)的最大值為24.8萬元. 3.4 效率問題 假設W為消耗汽油量(單位:L),s為汽車行駛的路程(單位:km),g為汽油平均消耗率(即汽車平均每小時消耗的汽油量,單位:L/h),v為汽車的平均速度(單位:km/h)。 (1)汽油的使用效率含義是什么? (2)若g與v之間有所示的函數關系: ,則汽油的使用效率最高時,汽車速度是多少(L/km)? 解:(1)我們一般定義汽油的使用效率為:消耗汽油量與汽車行駛距離之比,假設y為平均每千米消耗的汽油量,則?!捌偷氖褂眯省眴栴}就轉化為求平均每千米消耗的汽油量y的最小值。 (2)由題意,每千米汽油平均消耗量為,當且僅當,,即時,取得最小值。故汽油的使用效率最高時,汽車速度。 4 小結 通過前面分析與總結,我們將利用導數解決優化問題的基本方法歸納為如下:首先分析實際問題的各變量的關系,建立合適的數學模型,并確定函數自變量的定義域,從而根據數學模型來解決優化問題。在這個解決問題的過程中,我們可以充分利用導數的特點,快速、正確地解決問題。我們必須注意的是,我們建立的數學模型中的自變量不一定是求導的最“佳”變量,我們可以采用換元的方法解決問題。當然,在實際問題中,常常得到定義域內的根只有一個,無需與函數別的值比較,我們可以判斷該極值就是最值。 參考文獻 [1] 嚴士健,王尚志.數學(選修2-2)[M].北京師范大學出版社,2008.5. [2] 曲一線.高中數學知識清單[M].首都師范大學出版社,2013.4. [3] 邱天沖.關于高中階段導數知識的深入討論[J].科技風,2017(24). [4] 林海芹.如何利用導數解決生活中的許多優化問題[J].數理化學習(高中版),2012.1. [5] 吳紅.課題:生活中的優化問題舉例[J].新課程(中),2015.5.