數學教學中培養學生幾何直觀能力實踐探索

潘立方

摘要：幾何直觀是新課程標準的十大核心概念之一，對構建學生整體的幾何框架，培養學生的幾何能力有著不可替代的作用，但因其“細小”和“簡單”教學中往往會被忽視。筆者從幾何直觀下圖形的認識、組建、構建到幾何直觀下圖形的整合和拓展四個步驟來闡述了如何對幾何直觀從“知”到“構”的培養過程，總結了自己的實踐探索過程。

關鍵詞：幾何直觀能力；構建直觀；思維動態建構

幾何直觀作為新課標的十大核心概念，可以幫助學生直觀地認識數學、理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用，但是目前很多教師在幾何教學中太重視邏輯推理能力的培養，卻忽視了對學生幾何直觀地培養，甚至有些教師是一筆帶過，導致學生的思維更加難以建立本質的直觀概念。在學的層面上，在某些圖形中學生對幾何直觀只停留在最基礎的層面，看到整體圖形的對稱性，卻忽視了“看圖”過程中相關圖形的全等性，對圖形認識的表征某種屬性存在過程性的缺陷，導致過程性幾何直觀和幾何直觀思維的難以形成。對此，如何才能在我們的教學中構建對幾何直觀的能力，筆者有了自己的思考和探索：

1、認圖：幾何直觀下圖形的認識

正如裴斯塔洛奇指出那樣：“直觀是全部認識的基礎”，認圖是圖形感官的第一知覺，學生對圖形的認識使他們學習幾何圖形的基礎。那教師如何對學生進行幾何直觀下圖形的認識，筆者認為主要分為以下兩種方式：

（1）在圖形認識和構建的過程中按技術手段分類，我們可以分為兩類：傳統作圖工具下圖形的認識和多媒體等現代化手段下圖形的認識。傳統的作圖工具作圖就是運用三角板、刻度尺、圓規等傳統工具，按照題目要求作出圖形，再輔以不同顏色或陰影等具有區分度的手段，使學生更直觀的感受到幾何圖形的特征。

但是傳統的作圖工具作圖的圖形一般都是“靜態”的，如何能讓圖形“動起來”，多媒體等現代化手段應用而生。采用了電子白板、PAD等現代化教學工具，按照題目要求作出圖形，比起傳統的教學手段，能進行圖形動態化的研究，如在學習三類典型函數的過程中，教師往往會告訴學生，按照這樣的操作，在某些區域之間你可以選取無數的點然后進行描繪，可以直觀地看到得知正比例函數的圖像是一條直線，反比例函數是一條曲線等結論，但在板書中特殊點的選取可操作性困難重重。反過來若通過現代技術手段，在多媒體上設計無數點的選取、連接、縮放等操作，便可以直觀地展現函數的特征，同樣對構建學生平移、旋轉、折疊等多種變換型的幾何問題，能更加直觀，更加形象。

（2）在圖形認識和構建的過程中按作圖的精確性分類：我們可以大致也可分為兩類：標準圖和草圖。標準圖就是按照題意或者原有圖形作出相應圖形，在作圖過程中把基本的幾個圖形要素再次拼裝起來，往往對一些缺失的動態建構幾何條件能起到“再現”的效果，從而引導思維的發生。草圖即在限定的時間內，或者當題目條件相對簡單時，可以按題意作出的圖形，但是在這些圖形中，對題意的基本幾何特征應有所體現，所以草圖不草，簡潔明了。

2、組圖：幾何直觀下圖形的組建

當一幅幾何圖形呈現出來時，并不是所有圖形的元素或者性質都是對題目有效的條件，那如何分析圖形基本要素的組建，擯棄無效條件，篩選有效條件在幾何直觀的構建中就尤為重要。

案例一，如圖1等邊△ABC內有一點E，連接AE，BE和CE，再以CE為邊作等邊△DEC，連接AD。已知∠AEB=110°，∠CEB=α°，當△ADE為直角三角形時，求α的值。

一般拿到該題，許多學生會無從下手，思路的構建也較為復雜，但是要求學生去試著畫一畫該圖，就會達到意想不到的效果：

師：如果讓你來畫這幅圖，你覺得可以從那個角度來分析特征量，再作圖？

生1：哦，兩個等邊三角形題意很明顯.

師：好，我們先來畫這兩個等邊三角形，那先畫哪一個？想想看為什么？

生2：（想了一下）等邊△ABC吧，因為按此圖可以大致估計出整個圖形大小，確定點C，再作等邊△DEC.

師：好，我們先作出這兩個等邊三角形，觀察一下是否有新的發現？

學生作圖約2分鐘（如圖2）

生3：我看到了AB=BC=CA，∠A=∠B=∠ACB=60°，另一等邊三角形也是

師：如果我們不把兩個三角形重疊在一起這些性質也存在的啊。這兩個三角形一部分重疊，又會有什么新的結論呢？

生4：哦，∠BCE=∠DCA類似于同角的余角相等，只是把90°變成了60°.

生5：我還發現△BCE≌ACD，那么∠BEC=∠ADC，問題就好解決了.

此例中，教師通過步步誘導，學生3對圖形直觀的認知還停留在第一層次：未進行組合、推理，只是把基本圖形形狀性質的直接表述；學生2對圖形能整體把握，估算圖形的具體大小，也是直觀能力的側面體現；學生4對圖形直觀的認知在第二層次，能在組合圖形中對基本要素角和邊能進行適當的推理，并類比出相關知識；學生5已經能綜合1、2層次的結論，從而能推理出該題第一步的解決方案。教師的作圖要求和層層設計提問，把學生認識幾何直觀的認識反饋都“串聯”在了一起，慢慢的組建了學生對幾何直觀的不同梯度認知。

3、構圖：幾何直觀下圖形的構建

直觀既是抽象思維問題的信息源，又是途徑信息源，如果能巧妙的利用幾何直觀，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，學生便更容易接受和理解。尤其是近幾年核心素養的提出，幾何直觀的要求的增強，對學生作圖能力的要求有了很大的提升，所以幫助學生如何構圖，是一個亟待解決的新問題。

常態下，筆者認為圖形的構建主要分以下三類進行思考：

（1）按圖作圖：圖形從靜止到運動

在無特殊條件的情況下，圖形的呈現都是以靜態為主，在教學過程中可以引導讓學生自己繪制標準圖（如上述案例一），學生在自己作圖的過程中，層次性思維構建出了先作什么，再作什么，把一幅靜止的平面圖形，動態結構性的出現在認知之中；亦或在動點問題中，按照參考圖作出圖形運動到特殊位置時的圖像，以便達到更好的直觀性的呈現。

（2）按題作圖：圖形從抽象到形象

“題”是“圖”的文字和數字的抽象呈現；“圖”是“題”的直觀數量和位置表形象表達。往往構建的程序按以下流程進行：

理解題意→分析題中所需作圖形的幾個要素概念→按照圖形要素條件作出草圖→題目和圖形是否對應的再次檢驗→思考按照題意或者圖形的位置特征是否需要分類→必要時作出標準圖

案例二：點A，B，C都在半徑為 的圓上，直線AD⊥直線BC，垂足為D，直線BE⊥直線AC，垂足為E，直線AD與BE相交于點H，若 ，則∠ABC所對的弧長等于（長度單位）.

通讀此題，我們會發現此題為幾何背景下的無圖題，這就需要我們將相對抽象的思考對象“圖形化”，以作圖、識圖來理解題意，探求解題思路。以幾何問題中的位置條件和數量條件為抓手，用位置關系來確定分類標準定類，用數量條件來約束圖形多樣性，縮小范圍，再根據所畫圖形直觀，結合位置和數量關系進行探索轉化。此思路也可在幾何教學中較多運用。這整個思維的過程，就是“幾何直觀”核心概念的本質體現。

（3）按物構圖：從現象到本質

我們可以讓學生從豐富多樣的現實具體問題（圖形）中，抽象出類似的幾何圖形，通過研究圖形的數量和位置關系，從而解決實際的幾何問題，其過程如下：

如浙教版八年級上冊2.7節探索勾股定理的例二，求一個物體中兩個孔洞AB間的距離，解決問題的關鍵就是能構造出以AB為斜邊的直角三角形，看到了這個直觀圖形的話，就可以用勾股定理來解決問題了，所以解決實際物體的位置關系時要通過給實際物體“定定位”、“找找形”、“構構圖”，體現建立基本數學圖形模型這一核心本質。

（4）按知構圖：圖形從平面到立體

幾何直觀中的空間觀念是對一個人周圍環境和實物的直接感知，是周圍三維空間在認知上的構建，所以它的形成必然是從低維度到高維度循序漸進式地構建的。初中數學的教材內容編排中很好的體現了這個過程：如七年級中數軸是一維線性的幾何直觀；八年級中的平面直角坐標系是二維面性的幾何直觀；九年級中的投影和立體圖形的是三維空間的幾何直觀的，所以在教與學的過程中，應很好的感悟并實施這類直觀思維的螺旋上升。

4、整圖：幾何直觀下圖形的整合和拓展

（1）整合幾何直觀中的典型錯誤構圖：

①概念混淆型：對相同或者相似的概念混淆下作圖或者是把一個圖形的性質和判定混淆了，如需作角平分線的，卻作成了中垂線。

②作圖不完整型：對圖形的認知和理解不到位，作圖時往往會缺失某個細節，如做中垂線上下缺一個點（未理解兩點確定一條直線）；忘記標記所要標記的點（影響了下一步的推導或闡述）等等。

③理解不透徹型：對某些概念理解不到位所產生的錯誤，如添加一個條件使兩個三角形全等，有些同學就添了圖形直觀中的隱藏條件（公共角、公共邊等），亦如要作要上的高與另一腰的夾角，理解成與底邊的夾角或者未進行高的位置分類討論等.

④“眼見為實”型：缺乏對特征量的條件或者邏輯剖析，以錯誤的直觀數據關系或者位置關系替代了邏輯說理過程。

（2）提取幾何直觀中圖形的組合

萬變不離其宗，雖然有形形色色的題目和圖形的構建，但是他們的本質是不會變化的：如邊、角某些特定組合的性質：四邊形問題的本質看成三角形的性質與判定；角平分線和平行線會構成等腰三角形模型；一線三直角或者一線三等角組合模型中會出現相似三角形（全等三角形）等，在教學過程中，應當學會理解、歸納并有意識的強化對基本圖形的認識和運用，不斷用這些基本圖形去發現、理解我們的學校過程，應該會成為教學中的亮點。

（3）建立動態化的幾何直觀意識

圖形的研究不僅僅是靜態的，平移、旋轉、軸對稱、中心對稱變換都可以使之達到動態效果。如等邊三角形和120°的等腰三角形均可以看成是含30°的直角三角形的軸對稱變換后的組合圖形；又如平行四邊形是一個中心對稱圖形，這是一個剛性的、靜態的圖形，但是也可理解為圍繞中心旋轉180°，去認識、理解、記憶平行四邊形的其他性質，也不失為一種好的方法。

（4）構建類比中的幾何直觀

類比思想是一種極其重要的數學思想，幾何圖形中的類比也比比皆是，如當兩個有公共頂點60°的角一部分重疊在一起，那余下部分就相等了就是類比同角的余角相等這一性質而直觀推理得到的；再如三角形研究到特殊三角形的研究：三角形主要研究邊、角的基本性質和高、中線、角平分線等其他性質，到了特殊三角形時，類比研究仍舊是邊、角的基本性質和高、中線、角平分線等其他性質，只是當條件強化時，對應的性質也適當特殊化了。這個從課程結構上的類比認識和構建對應的幾何直觀，能大大提升教與學的“格局”。

（5）“栽培”生長式的幾何直觀樹

幾何直觀的認識不是一蹴而就的，是隨著學生學習知識點增加和學習能力的增長而慢慢“生枝長葉”的，亦如此樹：

所以只有增長式、漸變式地看待我們的教學，理解和把握學生幾何直觀的構建，像園丁一樣“栽培”學生的思維構建，才能讓思維之樹經得起“風吹雨打”，最終開花結果。

抽象的數學語言與直觀的圖形語言的結合，第一步就需要憑借幾何直觀圖形的直觀性，發現數學圖形對象的幾何直觀是我們理解該類問題的第一部分，所以我們要把眼光從“知其然”到“知其所以然”，再要到“何由以知其所以然”的跨越，只有明白了這些問題，才能使學生在獨立面對一個數學對象時知道從哪里下手研究性質，才能使學生自主探究，才能使發現問題、提出問題的能力的培養落在實處。

參考文獻

[1]《義務教育初中數學教材》 浙江教育出版社 2011年版

[2]《核心素養導向的數學教學變革》講稿 人民教育出版社 章建躍 2018.03

[3]《義務教育數學課程標準》2011年版 人民教育出版社 2011年版

[4]《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀 》北京師范大學出版社 教育部基礎教育課程教材專家工作委員會編寫 2015年7月第16次版

（作者單位：浙江省杭州市蕭山區寧圍街道萬向初中）